Vés al contingut

Resta

Modifica els enllaços
De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
(S'ha redirigit des de: Sostracció)
Aquest article tracta sobre l'operació entre nombres. Vegeu-ne altres significats a «diferència».
«5 - 2 = 3» (verbalment, «cinc menys dos és igual a tres»)

La resta, sostracció o subtracció és una de les quatre operacions bàsiques de l'aritmètica. És l'operació inversa de la suma.[1][2]

La resta s'expressa de la manera següent: a − b = c, on a s'anomena minuend, b s'anomena subtrahend i c és el resultat de la resta o diferència.[3]

També es pot expressar la resta com a suma de l'oposat. D'aquesta manera, , on −b és l'element oposat de b respecte de la suma.[1]

En el conjunt dels nombres naturals, N, només es poden restar dos nombres si el minuend és major que el subtrahend. Si el minuend i el subtrahend són iguals, la diferència és zero. Un minuend menor que el subtrahend, donaria origen a una diferència negativa, la qual quedaria fora del conjunt dels nombres naturals.[1] Això vol dir que la resta és una operació externa al conjunt dels nombres naturals. La resta és, en canvi, una operació interna dels conjunts de nombres enters, racionals, reals i complexos.

També es poden restar altres entitats matemàtiques, com polinomis, vectors o matrius.

Propietats de la resta

[modifica]
Uniforme
Si als dos membres d'una igualtat se'ls resta un mateix nombre, queda una altra igualtat com a resultat.[4]
Monotonia
Si als dos membres d'una desigualtat matemàtica se'ls resta un mateix nombre, queda una altra desigualtat del mateix sentit.[4]
Anticommutativitat

La resta és anticommutativa, és a dir, que si es reverteixen els termes en una resta d'esquerra a dreta, el resultat és el negatiu del resultat original. Simbòlicament, siguin a i b dos nombres, llavors

a − b = −(b − a).
No associativitat

La resta és no associativa, quan s'intenta definir la resta repetida. En general, l'expressió

"a − b − c"

pot entendre's com (a − b) − c o a − (b − c), però aquestes dues possibilitats donen lloc a resultats diferents, ja que en general c≠0. Per tal de resoldre aquest tema, s'ha d'establir un ordre de les operacions, ja que ordres diferents porten a resultats diferents.

Predecessor

En el context dels enters, la resta d'una unitat també té un paper especial: donat un nombre enter qualsevol a, l'enter (a − 1) és l'enter més gran inferior a a, també conegut com el predecessor d'a.

Unitats de mesura

[modifica]

Quan es resten dos nombres amb unitats de mesura com el kilogram o la lliura, han de tenir la mateixa unitat. En molts casos, la diferència tindrà la mateixa unitat que els nombres originals.

Percentatges

[modifica]

Es poden donar els canvis en percentatges de dues maneres, pel cap baix, com a canvi percentual o com a canvi en punts percentuals. El canvi percentual representa el canvi relatiu entre dues quantitats com a percentatges, mentre que el canvi en punts percentuals és simplement el nombre obtingut en restar dos percentatges.[5][6][7]

Com a exemple, suposi's que el 30% de dispositius fets en una fàbrica són defectuosos. Sis mesos més tard, el 20% dels productes són defectuosos. El canvi percentual és de 20% − 30%/30% = −1/3 = −33 1/3%, mentre que el canvi en punts percentuals és de −10 punts percentuals.

En informàtica

[modifica]

El mètode dels complements és una tècnica que es fa servir per restar un nombre d'un altre utilitzant només la suma de nombres positius. Aquest mètode s'utilitzava habitualment en calculadores mecàniques i encara s'utilitza en ordinadors moderns.

Binari



dígit		 Uns



complement
0 1
1 0

Per restar un nombre binari y (el subtrahend) d'un altre nombre x (el minuend), s'afegeix el complement a les unitats de y a x i s'afegeix la unitat a la suma. Aleshores, es descarta el dígit principal 1 del resultat.

El mètode dels complements és especialment útil en binari (base 2), ja que el complement a les unitats s'obté molt fàcilment invertint cada bit (canviant 0 a 1 i viceversa). I afegir 1 per obtenir el complement a dos es pot fer simulant un arrossegament al bit menys significatiu. Per exemple:

01100100 (x, igual a decimal 100)

- 00010110 (y, igual al decimal 22)

esdevé la suma:

01100100 (x)

+ 11101001 (complement a unitats de y)

+ 1 (per obtenir el complement a dos)

———————————

101001110

Si eliminem l'1 inicial, la resposta és: 01001110 (és igual a 78 decimals)

L'ensenyament de la resta a les escoles

[modifica]

Els mètodes utilitzats per ensenyar la resta a l'escola primària varien d'un país a un altre, i dins d'un país, s'adopten diferents mètodes en diferents moments. En el que es coneix als Estats Units com a matemàtiques tradicionals, s'ensenya un procés específic als estudiants al final del primer any (o durant el segon any) per al seu ús amb nombres enters de diversos dígits, i s'amplia a quart o cinquè grau per incloure representacions decimals de nombres fraccionaris.

A Amèrica

[modifica]

Gairebé totes les escoles americanes actualment ensenyen un mètode de resta mitjançant el préstec o la reagrupació (l'algoritme de descomposició) i un sistema de marques anomenades crosses.[8] Tot i que ja es coneixia. i s'havia publicat un mètode de préstec als llibres de text anteriorment, l'ús de crosses a les escoles americanes es va estendre després que William A. Brownell publiqués un estudi en què afirmava que les crosses eren beneficioses per als estudiants que utilitzaven aquest mètode.[9] Aquest sistema es va popularitzar ràpidament, desplaçant els altres mètodes de resta que s'utilitzaven als Estats Units en aquell moment.

A Europa

[modifica]

Algunes escoles europees utilitzen un mètode de resta anomenat mètode austríac, també conegut com a mètode de les sumes. Aquest mètode no fa préstecs. També hi ha crosses (marques per ajudar a la memòria), que varien segons el país.[10]

Comparació dels dos mètodes principals

[modifica]

Tots dos mètodes divideixen la resta com un procés de restes d'un dígit per valor posicional. Començant amb el dígit menys significatiu, una resta del subtrahend:

s j s j −1... s 1

del minuend

m k m k −1... m 1,

on cada s i m i és un dígit, es procedeix escrivint m1 − s1, m2 − s2, i així successivament, sempre que s i no excedeixi m i. En cas contrari, m i s'incrementa en 10 i es modifica algun altre dígit per corregir aquest augment. El mètode americà corregeix intentant disminuir el dígit del minuend m i +1 en un (o continuant el préstec cap a l'esquerra fins que hi hagi un dígit diferent de zero del qual prendre préstec). El mètode europeu corregeix augmentant el dígit del subtrahend s i +1 en un.

Exemple: 704 − 512.

El minuend és 704, el subtrahend és 512. Els dígits del minuend són m3 = 7, m2 = 0 i m1 = 4 Els dígits del subtrahend són s3 = 5, s2 = 1 i s1 = 2 Començant per la unitat, 4 no és menor que 2, de manera que la diferència 2 s'escriu per la unitat del resultat. Per la desena, el 0 és menor que 1, de manera que el 0 s'augmenta en 10, i la diferència amb 1, que és 9, s'escriu per la desena. El mètode americà corregeix l'augment de deu reduint en un el dígit per les centenes del minuend. És a dir, el 7 es ratlla i es substitueix per un 6. La resta continua per la desena, on 6 no és menor que 5, de manera que la diferència s'escriu per la desena. Ja hem acabat, el resultat és 192.

El mètode austríac no redueix el 7 a 6. Més aviat augmenta el dígit de les centenes del subtrahend en una unitat. Es fa una petita marca a prop o a sota d'aquest dígit (segons l'escola). Aleshores, la resta continua preguntant quin nombre, quan s'augmenta en 1 i se li suma 5, dóna 7. La resposta és 1 i s'escriu al lloc de les centenes del resultat.

Hi ha una subtilesa addicional en què l'estudiant sempre utilitza una taula de resta mental en el mètode americà. El mètode austríac sovint anima l'estudiant a utilitzar mentalment la taula de suma a la inversa. En l'exemple anterior, en lloc de sumar 1 a 5, obtenir 6 i restar-ho de 7, es demana a l'estudiant que consideri quin nombre, quan s'augmenta en 1 i se li suma 5, fa 7.

Resta a ma

[modifica]

Mètode austríac

[modifica]

Exemple:

Resta d'esquerra a dreta

[modifica]

Exemple:

Metòde americà

[modifica]

En aquest mètode, cada dígit del subtrahend es resta del dígit sobre seu començant de dreta a esquerra. Si el nombre superior és massa petit per restar el nombre sota seu, se li suma 10; aquest 10 és 'prestat' des del dígit superior cap a l'esquerra, al qual se li resta 1. Llavors es passa a restar el següent dígit i es presta si és necessari, fins que s'hagit restat cada dígit. Exemple:

Primer comerç

[modifica]

Una variant del mètode americà, en què tots els préstexs es realitzen abans de les restes.[11]

Exemple:

Diferències parcials

[modifica]

El mètode de les diferències parcials es diferencia d'altres mètodes de resta verticals perquè no s'hi realitza cap préstec o no es porta cap número. En lloc d'això, s'utilitzen uns lloc més o signes menys en funció de si el minuend és superior o inferior que el subtrahend. La suma de les diferències parcials és la diferència total.[12]

Exemple:

Métodes no verticals

[modifica]
Comptant cap a dalt
[modifica]

En lloc de trobar diferència dígit per dígit, es poden comptar els números que hi ha entre el subtrahend i el minuend[13]

Exemple:

1234 − 567 = pot ser trobat seguint els següents passos:

  • 567 + 3 = 570
  • 570 + 30 = 600
  • 600 + 400 = 1000
  • 1000 + 234 = 1234

Se suma el valor de cada pas per obtenir la diferència total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.

Trencant la resta

[modifica]

Un altre mètode que és útil per al càlcul mental és dividir la resta en petits passos.[14]

Exmeple:

1234 − 567 = pot ser resolta de la següent manera:

  • 1234 − 500 = 734
  • 734 − 60 = 674
  • 674 − 7 = 667
Igual canvi
[modifica]

El mateix mètode de canvi es basa en el fet que sumar o restar el mateix nombre del minuend i subtrahend no canvia la resposta. S'afegeix la quantitat necessària per obtenir zeros en el subtrahend.

Exemple:

«1234 − 567 =» pot ser resolta de la següent manera:

  • 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

Referències

[modifica]
  1. 1 2 3 «Definición de resta — Definicion.de» (en castellà). [Consulta: 24 gener 2022].
  2. ↑ Subtraction a MathWorld (anglès)
  3. ↑ «Subtraction - Encyclopedia of Mathematics». [Consulta: 24 gener 2022].
  4. 1 2 «Propiedades de la resta | Qué es una resta» (en castellà), 23-09-2015. [Consulta: 24 gener 2022].
  5. ↑ Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West (2014) Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them Brookings Institution Press, p. 163
  6. ↑ Janet Kolodzy (2006) Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media Rowman & Littlefield Publishers, p. 180
  7. ↑ David Gillborn (2008) Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? Routledge p. 46
  8. ↑ Klapper, Paul. The Teaching of Arithmetic: A Manual for Teachers, 1916, p. 80–.
  9. ↑ Ross, Susan C.; Pratt-Cotter, Mary School Science and Mathematics, 99, 7, 1999, p. 389–93. DOI: 10.1111/j.1949-8594.1999.tb17499.x.
  10. ↑ David Eugene Smith. The Teaching of Arithmetic. Ginn, 1913, p. 77–.
  11. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arxivat 2014-febrer-25 a la Wayback Machine. Subtraction: Trade First
  12. ↑ Resta de Diferencias-Parciales (en inglés) Arxivat 2014-juny-23 a la Wayback Machine.; Las muchas maneras de la aritmética en Matemáticas diarias UCSMP Arxivat 2014-febrer-25 a la Wayback Machine. Sustracción: Diferencias parciales
  13. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arxivat 2014-febrer-25 a la Wayback Machine. Subtraction: Counting Up
  14. ↑ The Many Ways of Arithmetic in UCSMP Everyday Mathematics Arxivat 2014-febrer-25 a la Wayback Machine. Subtraction: Left to Right Subtraction

Vegeu també

[modifica]

Enllaços externs

[modifica]
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Resta

Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/w/index.php?title=Resta&oldid=38410389»