En matemàtiques , el teorema multinomial és una expressió d'una potència d'una suma en termes de potències dels sumands. Per qualsevol enter positiu m i qualsevol enter no negatiu n , la fórmula multinomial és[ 1]
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
k
m
.
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}.}
El sumatori es realitza en totes les seqüències dels índexs enters no negatius k 1 a k m tals que
∑
i
=
1
m
k
i
=
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{k_{i}}=n}
[ 2] teorema binomial , les quantitats de la forma 00 que apareixen es consideren iguals a 1.
Els nombres
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
=
(
k
1
k
1
)
(
k
1
+
k
2
k
2
)
⋯
(
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
k
m
)
=
∏
i
=
1
m
(
∑
j
=
1
i
k
j
k
i
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}=\prod _{i=1}^{m}{\sum _{j=1}^{i}k_{j} \choose k_{i}}}
són els coeficients multinomials .[ 3]
Els coeficients multinomials tenen una interpretació directa en combinatòria, com el nombre de formes de posar n objectes diferents en m capses, amb k 1 objectes a la primera capsa, k ₂ objectes a la segona capsa, etcètera.
A més, el coeficient multinomial és també el nombre de formes diferents de permutar un conjunt de n elements, sent ki el nombre de cops que es repeteix cada un dels diferents elements. Per exemple, el nombre de permutacions diferents de les lletres de la paraula ARRANJAR, que té 3 As, 3 Rs, 1 N, i 1 J és
(
8
3
,
3
,
1
,
1
)
=
8
!
3
!
3
!
1
!
1
!
=
1120
{\displaystyle {8 \choose 3,3,1,1}={\frac {8!}{3!\,3!\,1!\,1!}}=1120}
El teorema binomial és un cas especial, per m = 2, del teorema multinomial.[ 2]
Aquesta demostració del teorema multinomial usa el teorema binomial i el teorema d'inducció en m .
Pel pas inicial (m = 1), els dos costats valen
x
1
n
{\displaystyle x_{1}^{n}}
Pel pas inductiu, suposa el teorema multinomial per m . Llavors
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
+
x
m
+
1
)
n
=
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=}
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
(
x
m
+
x
m
+
1
)
)
n
=
{\displaystyle =(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}=}
=
∑
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
−
1
,
K
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
(
x
m
+
x
m
+
1
)
K
=
{\displaystyle =\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},K}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}=}
per la hipòtesi d'inducció, sent
K
=
k
m
+
k
m
+
1
{\displaystyle K=k_{m}+k_{m+1}}
Aplicant el teorema binomial a l'últim factor,
=
∑
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
−
1
,
K
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
∑
k
m
,
k
m
+
1
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
=
{\displaystyle =\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},K}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m},k_{m+1}}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}=}
=
∑
k
1
,
k
2
,
⋯
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
{\displaystyle =\sum _{k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}
que completa la inducció.
L'últim pas se segueix de
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
=
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
,
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}
com es pot veure escrivint els tres coeficients usant factorials:
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
−
1
!
K
!
K
!
k
m
!
k
m
+
1
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
+
1
!
{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}}
↑ Knuth , D. E.. The Art of Computer Programming, Vol I. . Addison-Wesley, 1968, p. 64. 1 2 Stanley , Richard. «1.2 Sets and multisets». A: Enumerative Combinatorics, Vol I (PDF). 2a ed. Cambridge University Press, 2012 [Consulta: 6 maig 2025]. ↑ Aigner , Martin. Combinatorial Theory . Springer, 1997, p. 77.
