Halbachsen der Ellipse

Die große Halbachse (a) und die kleine Halbachse (b) einer Ellipse

Als Halbachsen einer Ellipse werden die beiden Extremwerte des Abstands zwischen einem Punkt der Ellipse und deren Mittelpunkt bezeichnet. Der größte Abstand ist hierbei die große Halbachse und der kürzeste Abstand die kleine Halbachse. Üblicherweise wird die große Halbachse durch $a$ ausgedrückt, die kleine Halbachse durch $b$.

Parameter einer Ellipse:

S1,S2	Hauptscheitel	S3,S4	Nebenscheitel
${\overline {S_{1}S_{2}}}$	Hauptachse	${\overline {S_{3}S_{4}}}$	Nebenachse
a	große Halbachse	b	kleine Halbachse
F1,F2	Brennpunkte	e	lineare Exzentrizität
M	Mittelpunkt	p	Parameter

Entsprechend nennt man die größte Länge einer Sehne durch den Mittelpunkt der Ellipse Hauptachse oder große Achse und die kleinste Länge einer solchen Sehne Nebenachse oder kleine Achse.

Die Begriffe werden sowohl für die hier beschriebenen Streckenlängen als auch für die Strecken selbst verwendet.

Eigenschaften

• Die große Achse hat die Länge $2a$, die kleine Achse die Länge $2b$.
• Die kleine Achse ist senkrecht zur großen Achse. Die beiden Achsen schließen also einen rechten Winkel (90°-Winkel) ein.

Sonderfall: Der Kreis ist eine spezielle Ellipse, bei der diese beide Halbachsen gleich lang sind. In diesem Fall entsprechen beide Halbachsen jeweils dem Radius des Kreises.

Haupt- und Nebenachse sind konjugierte Durchmesser, d. h. die Mittelpunkte aller zur Hauptachse parallelen Sehnen liegen auf der Nebenachse und umgekehrt. Diese Beziehung bleibt auch bei „schräger“ Betrachtungsweise der Ellipse erhalten, was zur geometrischen Konstruktion von anderen konjugierten Durchmessern genutzt werden kann.

Astronomie

In der Astronomie ist die große Halbachse einer keplerschen Umlaufbahn eines der sechs sogenannten Bahnelemente und wird oft auch ungenau als „mittlere Entfernung“ angegeben. Sie charakterisiert – zusammen mit der Exzentrizität – die Form von elliptischen Umlaufbahnen verschiedener Himmelskörper.

Solche Körper sind in erster Linie die Planeten und ihre Monde, künstliche Erdsatelliten, die Asteroiden und Doppelsterne.

Nach dem dritten Gesetz von Kepler ist die Umlaufzeit U einer Ellipsenbahn mit a gekoppelt ($U^{2}/a^{3}=\mathrm {const}$). Die Konstante hängt mit der Masse des Zentralkörpers zusammen – in einem Planetensystem also mit der Masse des Zentralsterns.

Die beiden Hauptscheitel nennt man Apsiden, die Hauptachse ist die Apsidenlinie: Wenn ein Körper im Brennpunkt F₁ liegt und ein kleinerer Körper ihn auf einer Ellipse umkreist, so spricht man beim kürzesten Abstand (${\overline {S_{1}F_{1}}}=a-e$) von der Periapsis und beim längsten Abstand (${\overline {S_{2}F_{1}}}=a+e$) von der Apoapsis (Perihel, Aphel bei der Sonne). Dabei steht $e$ für die lineare Exzentrizität.

In der Periapsis (Perizentrum, gravizentrumsnaher Hauptscheitel) ist die Orbitalgeschwindigkeit maximal, im Apozentrum minimal.

Die tatsächliche mittlere Entfernung ist neben der großen Halbachse auch von der numerischen Exzentrizität $\varepsilon =e/a$ abhängig und beträgt

$a\cdot \left(1+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}\right)$

Geodäsie

In der Geodäsie sind die Achsen der sogenannten Fehlerellipsen ein wichtiges Darstellungsmittel der mittleren beziehungsweise maximalen/minimalen Punktfehler. Bei der Ausgleichung von geodätischen Netzen lässt sich die Genauigkeit, mit der die einzelnen Vermessungspunkte des Netzes bestimmt sind, als Fehlerellipse darstellen.