Thompson-Gruppen

In der Mathematik sind die Thompsongruppen (auch Thompsons Gruppen genannt) drei Gruppen, oft geschrieben als $F\subseteq T\subseteq V$, die erstmals von Richard Thompson in seinen unveröffentlichten Handnotizen 1965 als mögliches Gegenbeispiel für die von Neumann Vermutung auftauchen. Die Gruppe $F$ ist bisher am gründlichsten untersucht worden und wird daher auch manchmal einfach als die Thompsongruppe oder Thomsons Gruppe bezeichnet.

All diese drei Gruppen, insbesondere $F$, haben eine Menge ungewöhnlicher Eigenschaften, wodurch sie zu wichtigen Gegenbeispielen für verschiedenste Eigenschaften und Vermutungen werden. Alle drei Gruppen sind endlich präsentiert. $T$ und $V$ sind zusätzlich auch einfach. $F$ selbst ist nicht einfach, ihre Kommutatorgruppe $[F,F]$ ist es wiederum.

Präsentationen

Eine Endliche Präsentation von F ist gegeben durch:

$\langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle$

wobei $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ der Kommutator ist.

Eine intuitivere Darstellung ist durch eine unendliche Präsentation möglich:

$\langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .$

Wobei die Präsentationen durch $x_{0}=A,x_{n}=A^{1-n}BA^{n-1}$ äquivalent sind.

F als Gruppe von Funktionen

Die Gruppe F lässt sich ebenso also die Gruppe der stückweise linearen Homöomorphismen des Einheitsintervalls, welche überall bis auf an endlich viele dyadischen rationalen Zahlen differenzierbar sind, sodass die Ableitung auf Intervallen der Differenzierbarkeit Potenzen von 2 annehmen.

Dabei entsprechen die beiden Erzeuger $A$ und $B$ der ersten Präsentierung den Funktionen $f$ und $g$.

$f(t)={\begin{cases}{\frac {t}{2}}&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\t-{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\leq t\leq {\frac {3}{4}}\\2t-1&{\frac {3}{4}}\leq t\leq 1\end{cases}}$ $g(t)={\begin{cases}t&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\leq t\leq {\frac {3}{4}}\\t-{\frac {1}{8}}&{\frac {3}{4}}\leq t\leq {\frac {7}{8}}\\2t-1&{\frac {7}{8}}\leq t\leq 1\end{cases}}$

Die Erzeuger $x_{n}$ der unendlichen Präsentation sind damit durch die Funktionen $f^{1-n}\circ g\circ f^{n-1}$ gegeben.

Literatur

• J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry: Introductory notes on Richard Thompson's groups. In: L'Enseignement Mathématique (= IIe Série). Band 42, Nr. 3, 1996, ISSN 0013-8584, S. 215–256 (universite-paris-saclay.fr [PDF]).