Medida invariante

En matemáticas, una medida invariante es aquella que es preservada al aplicarse alguna función, como una transformación geométrica. Por ejemplo, un ángulo circular es invariante bajo rotación, un ángulo hiperbólico es invariante bajo contracción, y una diferencia de pendiente es invariante en el caso de un cizallamiento.^[1]

La teoría ergódica es el estudio de las medidas invariantes en un sistema dinámico. El teorema de Krylov-Bogolyubov demuestra la existencia de medidas invariantes bajo ciertas condiciones según la función y el espacio considerados.

Definición

Sea $(X,\Sigma )$ un espacio medible y sea $f:X\to X$ una función medible de $X$ sobre sí mismo. Se dice que una medida $\mu$ sobre $(X,\Sigma )$ es invariante bajo $f$ si, para todo conjunto medible $A$ en $\Sigma ,$

\mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).

En términos de medida progrediente, esto establece que $f_{*}(\mu )=\mu .$

La colección de medidas (usualmente medidas de probabilidad) sobre $X$ que son invariantes bajo $f$ se denota a veces como $M_{f}(X).$ . La colección de medidas ergódicas, $E_{f}(X),$ es un subconjunto de $M_{f}(X).$ Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes es también invariante, por lo que $M_{f}(X)$ es un conjunto convexo, y $E_{f}(X)$ consiste precisamente en los puntos extremos de $M_{f}(X).$

En el caso de un sistema dinámico $(X,T,\varphi ),$ donde $(X,\Sigma )$ es un espacio medible como antes, $T$ es un monoide y $\varphi :T\times X\to X$ es la aplicación de flujo, se dice que una medida $\mu$ sobre $(X,\Sigma )$ es una medida invariante si es una medida invariante para cada aplicación $\varphi _{t}:X\to X.$ . Explícitamente, $\mu$ es invariante si y solo si

\mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{for all }}t\in T,A\in \Sigma .

Dicho de otro modo, $\mu$ es una medida invariante para una secuencia de variables aleatorias $\left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}$ (quizás un cadena de Márkov o la solución a una ecuación diferencial estocástica) si, siempre que la condición inicial $Z_{0}$ se distribuye según $\mu ,$ , también lo hace $Z_{t}$ para cualquier instante posterior $t.$

Cuando el sistema dinámico puede describirse mediante un operador de transferencia, entonces la medida invariante es un autovector del operador, correspondiente a un autovalor de $1,$ , siendo este el mayor autovalor según lo establecido por el teorema de Perron-Frobenius.

Ejemplos

Considérese la recta real $\mathbb {R}$ con su σ-álgebra de Borel habitual. Fíjese $a\in \mathbb {R}$ y considérese la aplicación de traslación $T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dada por: $T_{a}(x)=x+a.$ Entonces, la medida de Lebesgue $\lambda$ unidimensional es una medida invariante para $T_{a}.$

Más generalmente, en el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ de dimensión $n$ con su σ-álgebra de Borel habitual, la medida de Lebesgue $n$ de dimensión $\lambda ^{n}$ es una medida invariante para cualquier isometría del espacio euclídeo, es decir, una aplicación $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ que puede escribirse como $T(x)=Ax+b$ para ciertas matrices ortogonales de $n\times n$ $A\in O(n)$ y un vector $b\in \mathbb {R} ^{n}.$

La medida invariante en el primer ejemplo es única salvo una renormalización trivial mediante un factor constante. Esto no tiene por qué ser necesariamente así: considérese un conjunto que consta de solo dos puntos $\mathbf {S} =\{A,B\}$ y la aplicación identidad $T=\operatorname {Id}$ , que deja cada punto fijo. Entonces, cualquier medida de probabilidad ${\displaystyle \mu$ es invariante. Nótese que $\mathbf {S}$ tiene trivialmente una descomposición en $T$ componentes y $\{A\}$ invariantes bajo $\{B\}.$

La medida del área en el plano euclídeo es invariante bajo el grupo lineal especial $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ del $2\times 2$ de matrices reales de determinante $1.$