Lemme de Krasner

En théorie des nombres, plus spécifiquement en analyse p-adique, le lemme de Krasner est un résultat de base, dû à Marc Krasner, reliant la topologie d'un corps non archimédien complet à ses extensions algébriques.

Énoncé

Soit $K$ un corps valué complet non archimédien et soit ${\bar {K}}$ une clôture algébrique séparable de $K$. Étant donné un élément $\alpha$ dans ${\bar {K}}$, notons $\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ ses conjugués de Galois. Le lemme de Krasner s'énonce de la façon suivante.

Lemme de Krasner — Si un élément $\beta$ de ${\bar {K}}$ est tel que $\left|\alpha -\beta \right|<\left|\alpha -\alpha _{i}\right|$ pour $i=2,\dots ,n$, alors $K(\alpha )\subseteq K(\beta )$.

Applications

• Le lemme de Krasner peut être utilisé pour montrer que la complétion p-adique et la clôture séparable des corps globaux commutent. En d'autres termes, étant donné un idéal premier ${\mathfrak {p}}$ d'un corps global $L$, la clôture séparable de la complétion ${\mathfrak {p}}$-adique de $L$ est égale à la complétion ${\bar {\mathfrak {p}}}$-adique de la clôture séparable de $L$, où ${\bar {\mathfrak {p}}}$ est un idéal premier de ${\bar {L}}$ au-dessus de (qui contient) ${\mathfrak {p}}$.
• Une autre application consiste à prouver que $\mathbf {C} _{p}$, la complétion de la clôture algébrique de $\mathbf {Q} _{p}$, est algébriquement clos.

Généralisation

Le lemme de Krasner admet la généralisation suivante. Considérons un polynôme unitaire

$f^{*}=\prod _{k=1}^{n}(X-\alpha _{k}^{*})$

de degré $n>1$ à coefficients dans un corps hensélien $(K,v)$ et ayant ses racines dans la clôture algébrique ${\bar {K}}$. Soient I et $J$ deux ensembles disjoints non vides dont l'union est $\{1,\ldots ,n\}$. Considérons de plus un polynôme

$g=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i})$

à coefficients et racines dans ${\bar {K}}$ et supposons que . Supposons que

$v(\alpha _{i}-\alpha _{i}^{*})>v(\alpha _{i}^{*}-\alpha _{j}^{*})$ pour tout $i\in I$ et tout $j\in J$.

Alors les coefficients des polynômes

$g^{*}:=\prod _{i\in I}(X-\alpha _{i}^{*})$ et $\ h^{*}:=\prod _{j\in J}(X-\alpha _{j}^{*})$

sont contenus dans l'extension de $K$ engendré par $g$. (Le lemme de Krasner original correspond au cas où $g$ est de degré 1.)

Références

• Jean-François Dat, Cours introductif de M2 : Théorie des nombres, Paris, Université Pierre et Marie Curie Master de mathématique, coll. « Master de mathématiques », 2012-2013 (lire en ligne).
• David Brink, « New light on Hensel's Lemma », Expositiones Mathematicae, vol. 24,‎ 2006, p. 291–306 (ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.01.002, zbMATH 1142.12304)
• Falko Lorenz, Algebra, vol. II : Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics, Springer, 2008 (ISBN 978-0-387-72487-4, zbMATH 1130.12001)
• (en) Władysław Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Berlin, Springer, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2004, 708 p. (ISBN 3-540-21902-1, zbMATH 1159.11039), p. 206
• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt et Kay Wingberg, Cohomology of number fields, Berlin, Springer, coll. « Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften » (n^o 323), 2008, 2^e éd., xvi+825 (ISBN 978-3-540-37888-4, MR 2392026, zbMATH 1136.11001).