Perpendicularité

La perpendicularité (du latin per-pendiculum, « fil à plomb ») est le caractère de deux entités géométriques qui se coupent à angle droit. La perpendicularité est une propriété importante en géométrie et en trigonométrie. Cette dernière est une branche des mathématiques fondée sur les triangles rectangles, qui sont dotés de propriétés particulières grâce à leurs deux segments perpendiculaires.

En géométrie plane, deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit. La notion de perpendicularité s'étend à l'espace pour des droites ou des plans.

Les notions d'orthogonalité et de perpendicularité, quoique voisines, possèdent leurs spécificités propres et ne doivent pas être confondues.

En géométrie plane

Définition

En géométrie euclidienne plane, deux droites non parallèles sont toujours sécantes. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit (i.e. quatre angles droits), elles sont dites perpendiculaires. Dans le plan, par un point donné, passe donc une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée.

On note généralement la perpendicularité avec le symbole $\perp$. Ainsi, $(AB)\perp (CD)$ indique que la droite $(AB)$ est perpendiculaire à la droite $(CD)$.

Les directions de deux droites perpendiculaires étant orthogonales, les droites sont parfois dites orthogonales. En revanche, deux segments peuvent avoir des directions orthogonales sans pour autant s'intersecter. Ils ne seront alors dits perpendiculaires que s'ils se coupent en angle droit.

Perpendicularité et parallélisme

Dans le plan, les notions de droites perpendiculaires et parallèles sont liées par les propriétés suivantes :

• Si deux droites sont perpendiculaires, alors toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Caractérisations analytiques

Si le plan est muni d'un repère orthonormal et si deux droites sont définies par les équations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$,alors ces droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs $aa'$ est égal à $-1$. Plus généralement, si deux droites sont définies par les équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, alors ces droites sont perpendiculaires si et seulement si $aa'+bb'=0$, c'est à dire si et seulement si le produit de leurs pentes vaut $-1$.

Si deux droites sont définies par les vecteurs directeurs $u={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ et $v={\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}$, alors le théorème de Pythagore implique que celles-ci sont perpendiculaire si et seulement $ac+bd=0$, c'est à dire si et seulement si le produit scalaire entre $u$ et $v$ est nul. Dans ce cas, on dit alors que $u$ et $v$ sont orthogonaux.

• 
  Le produit des pentes des droites perpendiculaires bleues et vertes vaut $-1$.
• 
  La condition $\|u-v\|=\|u+v\|$ est équivalente à l'orthogonalité des vecteurs $u$ et $v$.

Construction géométrique

Construction à l'équerre

Construction à la règle non graduée et au compas de la perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $P$.

Illustration de la construction optimale lorsque le point $P$ n'appartient pas à $(AB)$.

Étant donné une droite ${\mathcal {D}}$ et un point $P$ du plan, la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$ est constructible à l'aide de la seule équerre. On place l'équerre de sorte que l'un des côté de son angle droit coïncide avec ${\mathcal {D}}$ tandis que l'autre rencontre $P$. On trace ensuite la droite correspondant au côté de l'équerre qui passe par $P$. Il s'agit de la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$.

Construction à la règle et au compas

Étant donné une droite ${\mathcal {D}}$ et un point $P$ du plan, la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$ est constructible à la règle non graduée et au compas. Ce résultat était déjà connu d'Euclide, qui le démontre dans les propositions 11 et 12 du premier livre de ses Éléments.

Animation de la construction optimale lorsque le point $P$ appartient à la droite.

Une première méthode s'inspire de la construction de la médiatrice d'un segment. On trace un cercle de centre le point $P$ suffisamment grand pour couper la droite ${\mathcal {D}}$ en deux points notés $A$ et $B$. Plus précisément, le rayon du cercle doit être strictement supérieur à la distance entre le point $P$ et la droite ${\mathcal {D}}$ (qui est en particulier nulle si $P$ est un point de ${\mathcal {D}}$). On trace ensuite le cercle de centre $A$ et de rayon $AP$, puis le cercle de centre $B$ et de rayon $BP$. Ces deux cercles se coupent en un point noté $Q$. La droite $(PQ)$ est alors la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$. Il s'agit également de la médiatrice du segment $[AB]$.

Une seconde méthode permet de tracer la perpendiculaire en utilisant le moins de construction euclidienne élémentaires, c'est-à-dire le tracé d'une droite passant par deux points donnés ou le tracé de cercle de centre et de rayon donnés. Cette méthode distingue deux cas, selon que $P$ appartienne à la droite ${\mathcal {D}}$ ou non. Dans les deux cas, il est nécessaire de se donner des points auxiliaires quelconques. Dans tous les cas, cette méthode permet de faire une perpendiculaire en trois constructions euclidiennes élémentaires tandis que la première en nécessite quatre.

Si $P$ n'appartient pas à la droite ${\mathcal {D}}$, alors on choisit deux points distincts quelconques de la droite ${\mathcal {D}}$, notés $A$ et $B$. On trace ensuite le cercle de centre $A$ et de rayon $AP$, puis le cercle de centre $B$ et de rayon $BP$. Ces deux cercles se coupent en deux points, l'un étant $P$ et l'autre étant noté $P'$. La droite $(PP')$ est alors la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$. Cette méthode s'appuie elle aussi sur le fait que la médiatrice d'un segment lui est perpendiculaire, mais la droite $(AB)$ est ici identifiée à la médiatrice d'un segment dont $P$ est l'une des deux extrémité. La construction est donc réduite à celle du symétrique $P'$ de $P$ par la droite $(AB)$.

À l'inverse, si $P$ appartient à la droite ${\mathcal {D}}$, on choisit un point $M$ quelconque du plan qui n'est pas contenu dans la droite ${\mathcal {D}}$. On trace ensuite le cercle de centre $M$ et de rayon $MP$. Ce cercle coupe la droite ${\mathcal {D}}$ en deux points, notés notés $A$ et $B$. On trace la droite $(BM)$, qui coupe le cercle de centre $M$ en deux points, l'un étant $B$ et l'autre noté $P'$. La droite $(PP')$ est alors la perpendiculaire à ${\mathcal {D}}$ passant par $P$. Cette méthode est basée sur le fait qu'un triangle inscrit dans un demi-cercle est toujours rectangle. Le triangle $BPP'$ est ici inscrit dans un demi-cercle de diamètre $[BP']$ et est rectangle en $P$, si bien que la droite $(PP')$ est perpendiculaire la droite $(BP)$, confondue avec ${\mathcal {D}}$.

Dans l'espace de dimension 3

Droites perpendiculaires

Deux droites de l'espace sont perpendiculaires si et seulement si elles se coupent en formant un angle droit. Dans l'espace, des droites, non parallèles, peuvent ne pas se couper. Si une des droites est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre alors les deux droites sont dites orthogonales. Elles ne seront dites perpendiculaires que si elles sont sécantes.

Dans l'espace, si une droite est donnée et si un point non situé sur la droite est donné, il n'existe qu'une seule droite passant par le point donné et perpendiculaire à la droite donnée. Si le point est situé sur la droite, il existe une infinité de droites passant par ce point et perpendiculaire à la droite donnée.

Dans l'espace, les notions de parallèles et de perpendiculaires ne sont plus aussi liées.

• Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe.
• Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est seulement orthogonale à l'autre. Elle ne sera perpendiculaire à l'autre que si elle la coupe
• Deux droites peuvent être perpendiculaires à une même droite sans pour autant être parallèles, il suffit par exemple de prendre les trois droites supportant les arêtes du coin d'un cube.

Droite perpendiculaire à un plan

Dans l'espace, si une droite n'est pas parallèle à un plan, elle coupe toujours ce plan. Si la droite est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan, on dira que la droite est perpendiculaire au plan. La droite sera alors orthogonale à toutes les droites du plan. Cette propriété s'appelle parfois théorème de la porte car elle explique pourquoi une porte peut tourner sur ses gonds si son axe de rotation est bien perpendiculaire au plancher.

Dans l'espace, par un point donné ne passe qu'une seule droite perpendiculaire à un plan donné et qu'un seul plan perpendiculaire à une droite donnée.

On retrouve alors des relations plus intéressantes sur perpendiculaires et parallèles :

• Si une droite est perpendiculaire à un plan, toute droite parallèle à la première est aussi perpendiculaire au plan, tout plan parallèle au premier plan est aussi perpendiculaire à la droite
• Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux plans sont perpendiculaires à une même droite alors ils sont parallèles. De même, si deux droites sont perpendiculaires à un même plan alors elles sont parallèles.

La direction perpendiculaire à une surface en un point est souvent appelée la direction normale à la surface, ou encore orthogonale.

Plans perpendiculaires

La notion de plans perpendiculaires, bien qu'intuitive, est très dangereuse car elle ne possède pratiquement aucune propriété. Pour comprendre la notion de plans perpendiculaires, il faut revenir à la définition première de perpendiculum (fil à plomb) et à la notion de plan vertical et plan horizontal. Un plan horizontal est un plan perpendiculaire à la direction du fil à plomb. Un plan vertical est un plan contenant la direction du fil à plomb. Un plan vertical est dit alors perpendiculaire au plan horizontal.

De cette notion première naît la définition suivante : Un plan est perpendiculaire à un autre, s'il contient une droite perpendiculaire au second plan. On démontre que cette relation est symétrique.

Il n'existe pas de notion de plans orthogonaux en dimension 3. Deux plans seraient orthogonaux si toute direction du premier plan était orthogonale à toute direction du second plan, ce qui est matériellement impossible.

Il faut se méfier de la notion de plans perpendiculaires. Par exemple :

• deux plans perpendiculaires peuvent contenir des droites parallèles
• deux plans perpendiculaires à un troisième ne sont pas forcément parallèles (voir les faces du cube).

Il reste cependant quelques propriétés

• Si deux plans sont perpendiculaires, un plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre
• Si deux plans sont parallèles, un plan perpendiculaire à l'un est perpendiculaire à l'autre.

Notion générale de sous-espaces perpendiculaires en dimension finie quelconque

Dans un espace euclidien, deux sous-espaces vectoriels $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits orthogonaux quand tout vecteur de l'un est orthogonal à tout vecteur de l'autre, c'est-à-dire quand $F_{1}\subset F_{2}^{\bot }$ (qui équivaut encore à $F_{2}\subset F_{1}^{\bot }$). Ils sont alors automatiquement en somme directe : $F_{1}\cap F_{2}=\{0\}$. Ainsi deux plans de l'espace euclidien de dimension 3 ne peuvent être orthogonaux, en vertu de la formule de Grassmann.

Deux sous-espaces vectoriels $F_{1}$ et $F_{2}$ sont dits perpendiculaires quand ce sont leurs supplémentaires orthogonaux qui sont orthogonaux, c'est-à-dire quand $F_{1}^{\bot }\subset F_{2}$ (qui équivaut encore à $F_{2}^{\bot }\subset F_{1}$). Ainsi deux plans vectoriels de l'espace de dimension 3 sont perpendiculaires quand leurs droites normales sont orthogonales.

La notion de perpendicularité s'étend aux sous-espaces affines d'un espace euclidien : deux sous-espaces affines non vides ${\mathcal {F}}_{1}$ et ${\mathcal {F}}_{2}$ sont dits perpendiculaires quand leurs directions (qui sont des sous-espaces vectoriels) le sont. On montre alors que ${\mathcal {F}}_{1}\cap {\mathcal {F}}_{2}\neq \emptyset$. En dimension 3, deux droites affines ne seraient, selon cette définition, jamais perpendiculaires. Aussi l'adapte-t-on comme suit pour justifier l'usage en géométrie classique : deux droites affines sécantes ${\mathcal {D}}_{1}$ et ${\mathcal {D}}_{1}$ seront dites perpendiculaires quand elles le sont dans le plan $\langle {\mathcal {D}}_{1}\cup {\mathcal {D}}_{2}\rangle$ qu'elles engendrent.