正の実数

正の実数（せいのじっすう、英: positive real number）は、数学における数の一種である。この項目では、主にそれらの数だけを要素として持つ集合について扱う。

ある数 $x$ が正の実数であるとは、その数が実数 (このことを$x\in \mathbb {R}$で表す)であり、かつ0より大きい(すなわち、$x>0$ である)ことをいう。正の実数からなる集合は、任意の正の実数だけを要素として含む集合のことを指し、 $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}$ と形式的に記述される。類似した概念として非負実数（ひふじっすう、英: non-negative real number）からなる集合も存在し、こちらは形式的に $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}$ と記述される。この集合は(正の実数からなる集合と異なり) $0$ も要素として含んでいる。これらの集合を表す記号として、 $\mathbb {R} _{+}$ や $\mathbb {R} ^{+}$ が両方を指しうるものとして用いられることもあるが、両方の区別が必要な文脈においては、正の実数からなる集合を表す記号として$\mathbb {R} _{+}^{*},\mathbb {R} _{*}^{+},\mathbb {R} _{>0}$を、非負実数からなる集合を表す記号として $\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} _{\geq 0}$ をそれぞれ充てることがある。

複素平面上では、正の実数からなる集合 $\mathbb {R} _{>0}$ は正の実軸、または正の半実軸として表現され、通常横方向に伸びる半直線として表現される。この半直線は複素数を極形式表示する際に基準線としての役割を果たす。極形式された複素数としては、正の実軸は複素数 $z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }$ であってその偏角が $\varphi =0$ であるものからなる集合に対応する。

性質

正の実数からなる集合 $\mathbb {R} _{>0}$ は加法、乗法、除法について閉じている。すなわち、正の実数同士の足し算、掛け算、および割り算の結果も正の実数となる。 正の実数からなる集合は実数直線の位相を受け継いでおり、したがって、乗法的位相群または加法的位相半群の構造を持つ。

任意の正の実数 $x$ に対し、 数列 $\{x^{n}\}\ (n=1,2,\ldots ,)$ の極限は3通りのいずれかとなる。$x\in (0,1)$ であれば0に、 $x=1$ ならば1にそれぞれ収束する一方、 $x>1$ であれば数列は発散する。

正の実数からなる集合を、$\mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )$ と3つの部分集合に分割すると、逆数をとる操作は $(0,1)$ の要素を $(1,\infty )$ に写し、その逆も成立する。正の実数 $x$ を超えない最大の整数を$\lfloor x\rfloor$ で表すとした時、写像 $x\mapsto x-\lfloor x\rfloor$ および $x\mapsto 1/x\ (x\neq 0)$ を繰り返し用いることで、任意の正の実数の連分数表示 $\left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right]$ が得られる。すなわち、$n_{0},n_{1},n_{2},\ldots ,$ をいずれも非負なる整数として、

$x=n_{0}+{\cfrac {1}{n_{1}+{\cfrac {1}{n_{2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}$

という表示が得られる。 $x$ が有理数であれば、このような $x$ の表示の仕方は一通りに限られる。また、$x$ が二次無理数であれば循環連分数として表示される。

順序集合 $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ は全順序であるが整列集合ではない(すなわち、正の実数からなる集合であって空でないかつ最大元が存在しないものが存在する)。$n$ を(負の整数も含む)任意の整数としたとき、等比数列 $10^{n}$ の全ての要素は $\left(\mathbb {R} _{>0},>\right)$ に含まれ、正の実数を分割する上で有益な指標を提供する。 任意の正の実数は $1\leq a<10$ なる実数 $a$ と 整数 $b$ を用いて $a\times 10^{b}$ と指数表記することができる。物理量の研究において、10の累乗単位は、比率尺度の中に暗黙的に含まれる順序尺度を参照する、正および負の序数を表す。

古典群の研究では、任意の整数 $n\in \mathbb {N}$ に対して行列式をとる操作が $n\times n$ サイズの実行列を単一の実数に射影する。対象を正則行列に限定することで、行列式をとる操作は一般線形群から非ゼロの実数への射影とみなせる。さらに、正の行列式をもつ行列だけに定義域を限定すれば、これは正の実数への射影となっている。この射影の像を(特殊線型群と呼ばれる)正規部分群による商群として解釈することで、正の実数はリー群として表現される。

比率尺度

尺度水準は数同士の比較・演算にどの程度の意味があるかを定める分類法である。比率尺度はそれらの中で最も高い水準のものであり、数値同士の除法に具体的な意味がある。 割る数と割られる数の等しい除法は1に等しくなり、そうではない比率は常用対数を取ることで1(または、$\log _{10}(1)=0$)と比較できる。その後、比率尺度は科学や技術の分野で使用される桁数ごとに区分され、さまざまな計量単位で表される。

対数測度

$[a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}$ を区間とする。すると、 $\mu ([a,b]):=\log(b/a)=\log b-\log a$ は $\mathbb {R} _{>0}$ 上のある種の部分集合上の測度となる。これは実数上の通常のルベーグ測度を対数関数で引き戻したものに相当する：つまり、対数尺度上の長さである。 実際、 ルベーグ測度が任意の実数 $x$ のもとでの操作$[a,b]\mapsto [a+x,b+x]$ のもとで不変であるのと同様に、この測度も任意の正の実数 $z$ のもとでの操作 $[a,b]\mapsto [az,bz]$ のもとで不変である。位相群の文脈においては、この測度はハール測度の例となっている。

この尺度は、対数スケールの用途の中でも特に等級やデシベル単位で表された騒音レベルを表す際に、実用的に用いられている。国際規格ISO 80000-3においては、無次元量はレベルと呼ばれる。

応用

非負実数からなる集合は距離、ノルム、測度などの像として機能する。

非負実数からなる集合(0を含む) $\mathbb {R} _{\geq 0}$ は半環の構造を持つ(0は加法単位元として機能する)。対数を取る(0は負の無限大に対応させる)ことで、$\mathbb {R} _{\geq 0}$ が持つ半環構造からいわゆる対数半環への同型写像が得られる。そして、対数半環上での有限の実数は、$\mathbb {R} _{\geq 0}$ における正の実数と対応する。

正の実数からなる集合同士の直積

$Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0}$ とすると、これは直交座標系の第一象限に対応する。第一象限は、さらに直線 $L=\{(x,y):x=y\}$ と双曲線 $H=\{(x,y):xy=1\}$ によって4つに分割できる。

$L$ と $H$ はそれぞれ1パラメータ群をなし、共通部分 $L\cap H=\{(1,1)\}$は両者が表す群の単位元となっている: $$\{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H$$

$\mathbb {R} _{>0}$は掛け算を演算とした群をなすので、$Q$ は2つの群の直積となっている。$L$ と $H$ は $Q$ 上での別の直積分解 $(L\times H)$ としての作用の様子を特徴づける。

関連項目

• 半体
• 符号 (数学)
• 二乗平均・算術平均・幾何平均・調和平均の大小関係

参考文献

• Kist, Joseph; Leetsma, Sanford (1970). “Additive semigroups of positive real numbers”. Mathematische Annalen 188 (3): 214–218. doi:10.1007/BF01350237.