이차 형식

수론과 선형대수학에서, 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다. 전형적인 예는 (피타고라스 정리를 떠올리게 하는) 유클리드 공간 위의 표준적인 노름의 제곱인 이차 형식

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

이다. 이차 형식은 쌍선형 형식의 개념을 써 기저에 의존하지 않고 정의 내릴 수 있으며, 대부분 경우 이차 형식과 대칭 쌍선형 형식의 이론이 평행한다.

이차 형식의 성질은 그 계수의 체나 가환환에 의존한다. 이차 형식

$x^{2}+y^{2}$

는 $(0,0)$이 아닌 실점에서 0이 되지 않지만, 복소점 $(1,i)$에서 0이 되므로, 실수 계수 비등방 이차 형식이지만 복소수 계수 등방 이차 형식이다. 또한, 실수 계수 형식으로서 모든 양의 실수를 나타내지만, 정수 계수 형식으로서 일부 양의 정수만을 나타낸다 (페르마 두 제곱수 정리).

이차 형식의 분류 문제와 원소의 표현 문제는 수론의 중요한 문제이다. 실수 계수 이차 형식은 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류된다. 대역체 위 이차 형식의 분류에 대한 하세-민코프스키 정리는 대수적 수론의 가장 “아름다운” 결과 가운데 하나다. 계수환의 어떤 원소들을 이차 형식으로 나타낼 수 있는지에 대한 고전적 결과로 라그랑주 네 제곱수 정리와 페르마 두 제곱수 정리가 있다. 이차 형식 $x^{2}+ny^{2}$ 꼴의 소수에 대한 연구는 유체론으로 이어졌다.

이차 형식은 그 밖에도 여러 분야에 나타난다. 해석기하학에서는 이차 형식이 원뿔 곡선과 이차 곡면을 기술하며, 사영기하학에서는 이차 초곡면을 정의한다. 미분기하학에서는 리만 계량과 제2 기본 형식이 각 점의 접공간 위의 이차 형식으로 이해될 수 있고, 위상수학에서는 특히 4차원 다양체의 교차 형식이 중요한 불변량으로 쓰인다. 리 대수 이론에서는 킬링 형식이, 통계학에서는 다변량 정규분포의 지수 부분에 나타나는

$-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}x$

와 같은 식이 이차 형식의 대표적인 예이다.

아이디어

$n$개의 변수 $x_{1},\dots ,x_{n}$에 대한 이차 형식은 일반적으로

$q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $a_{ij}$는 정해진 계수 체 또는 계수환의 원소이다. 각 항 $x_{i}^{2}$와 $x_{i}x_{j}$는 모두 전체 차수가 2이므로, 모든 변수를 같은 배율 $t$만큼 확대하면 이차 형식의 값은

$q(tx_{1},\dots ,tx_{n})=t^{2}q(x_{1},\dots ,x_{n})$

처럼 제곱 배율로 변한다. 이 성질은 이차 형식을 좌표와 무관하게 정의할 때도 핵심적인 역할을 한다.

변수의 수가 적을 때는 다음과 같은 이름을 쓰기도 한다.

${\begin{aligned}q(x)&=ax^{2}&&{\text{(일변수 이차 형식)}},\\q(x,y)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}&&{\text{(이변수 이차 형식)}},\\q(x,y,z)&=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dyz+ez^{2}+fxz&&{\text{(삼변수 이차 형식)}}.\end{aligned}}$

이 중 두 번째 형식은 이변수 이차 형식이라고 하며, 특히 정수 계수 이변수 이차 형식은 카를 프리드리히 가우스 이후 수론에서 집중적으로 연구되어 왔다.

문헌에 따라 교차항의 계수를 쓰는 방식에는 차이가 있다. 예를 들어 이변수 이차 형식을

$ax^{2}+bxy+cy^{2}$

로 쓰기도 하고,

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}$

로 쓰기도 한다. 첫 번째 표기는 다항식의 계수를 그대로 나타내는 데 편리하고, 두 번째 표기는 대칭 행렬

${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

과 직접 대응시키기에 편리하다. 특히 정수 계수 이차 형식에서는 이 두 관습의 차이가 중요해진다.

가장 기본적인 예는 유클리드 공간에서 원점까지의 거리의 제곱이다. $\mathbb {R} ^{n}$에서

$q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

는 벡터 $(x_{1},\dots ,x_{n})$의 유클리드 노름의 제곱이다. 특히 $\mathbb {R} ^{3}$에서는

$q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

가 점 $(x,y,z)$와 원점 사이의 거리의 제곱을 나타낸다. 이 이차 형식은 0이 아닌 모든 실수 벡터에서 양수 값을 가지므로 양의 정부호 이차 형식의 대표적인 예이다.

반대로

$q(x,y)=x^{2}-y^{2}$

는 실수 위에서 양수 값과 음수 값을 모두 가진다. 예를 들어 $q(1,0)=1$이고 $q(0,1)=-1$이다. 또한 $q(1,1)=0$이므로, 0이 아닌 벡터에서도 값이 0이 될 수 있다. 이러한 예는 이차 형식의 부호, 등방성, 비퇴화성 같은 개념이 왜 필요한지를 보여 준다.

이차 형식의 성질은 계수의 종류에 따라 크게 달라진다. 실수 계수 이차 형식은 대칭 행렬의 고윳값과 관련되며, 적당한 선형 좌표변환으로 양의 제곱항, 음의 제곱항, 0인 항의 합으로 정리할 수 있다. 복소수 계수 이차 형식은 모든 0이 아닌 복소수가 제곱근을 가지기 때문에 실수의 경우보다 분류가 단순하다. 반면 정수 계수 이차 형식에서는 어떤 정수가 주어진 형식의 값으로 표현되는지, 같은 실수 형식이라도 정수 격자 위에서 서로 동치인지 같은 산술적 문제가 중요하다.

예를 들어

$x^{2}+y^{2}$

는 실수 선형대수학에서는 단순한 양의 정부호 이차 형식이지만, 정수론에서는 어떤 양의 정수가 두 제곱수의 합으로 표현되는지를 묻는 문제와 연결된다. 이 문제는 페르마 두 제곱수 정리와 관련된다. 또

$x^{2}-ny^{2}$

와 같은 형식은 펠 방정식 및 이차 수체의 산술과 관련된다.

기하학적으로도 이차 형식은 자연스럽게 나타난다. 동차좌표

$[x_{1}:\cdots :x_{n}]$

를 사용하는 사영 공간에서 0이 아닌 이차 형식

$q(x_{1},\dots ,x_{n})$

은 방정식

$q(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

으로 이차 초곡면을 정의한다. 특히 세 변수 이차 형식은 사영평면 안의 원뿔 곡선을 정의한다. 예를 들어

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

은 실수 사영평면에서 원뿔 곡선의 한 예이다.

아핀 공간에서 이차 형식은 일반적인 2차식의 최고차항으로도 나타난다. 예를 들어

$x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c=0$

과 같은 방정식에서 $x^{\mathsf {T}}Ax$가 이차 형식 부분이다. 이 부분의 행렬 $A$가 갖는 고윳값의 부호와 0 여부는 해집합이 타원체, 쌍곡면, 포물면 또는 퇴화된 이차 곡면인지 판단하는 데 중요한 정보를 준다.

좌표를 사용하지 않고 이차 형식을 다루기 위해서는 이차 공간이라는 개념을 쓴다. 이차 공간은 대략적으로 말해 벡터 공간 또는 가군 $V$와 그 위의 이차 형식 $Q$의 순서쌍

$(V,Q)$

이다. 좌표식으로 주어진 이차 형식은 기저를 바꾸면 다른 다항식으로 나타날 수 있지만, 이차 공간의 관점에서는 같은 기하학적·대수적 대상을 다른 좌표로 표현한 것으로 본다. 이러한 관점은 이차 형식의 동치, 대각화, 직교군, 비트 분해 등을 정의하는 데 기본이 된다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $Q\colon V\to K$이다.

• (동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $Q(av)=a^{2}Q(v)$
• (쌍선형성) 함수 $B\colon V\times V\to K$, $(u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$를 정의하면, $B$는 $V$ 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $u,v,w\in V$에 대하여, $Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0$
  • 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in V$에 대하여, $Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0$

이 경우, $B$를 $Q$의 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다. 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 $\operatorname {char} K=2$라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다. $K$에서 2가 가역원인 경우 대신 $B/2$를 쓰기도 한다.

흔히 다루어지는 경우는 $K$는 체이거나 대수적 정수환이며, $V$는 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 $K$ 위에 두 가군 $V$, $V'$이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 $Q$, $Q'$이 존재한다고 하자. $Q$와 $Q'$ 사이의 동치(영어: equivalence) $i$는 다음 조건을 만족시키는 함수 $i\colon V\to V'$이다.

• $i\colon V\to V'$는 가군의 동형이다.
• $Q'\circ i=Q$이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다. 이차 형식 $Q$, $Q'$ 사이의 동치는 그 연관 쌍선형 형식 $B$, $B'$ 사이의 동치이며, 2가 가역원인 가환환 $K$의 경우 그 역 또한 성립한다.

이차 공간

가환환 $R$ 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) $(M,Q)$은 $R$ 위의 가군 $M$과 그 위의 이차 형식 $Q\colon M\to R$의 순서쌍이다.

$R$ 위의 두 이차 공간 $(M,Q)$, $(M',Q')$ 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 $f\colon M\to M'$이다.

• $f\colon M\to M'$은 $R$-가군의 가군 준동형이다.
• $Q'\circ f=Q$이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 $\iota \colon (M,Q)\to (M',Q')$이 주어졌을 때, 만약 $\operatorname {coker} \iota =M'/\iota (M)$이 자유 가군이라면, $\iota$를 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.

종류

비퇴화 이차 형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$의 연관 쌍선형 형식이 $B$라고 하자. $Q$의 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 $Q(v)=0$인 원소 $v\in V$이다. $Q$의 근기(영어: radical) $\operatorname {rad} Q$는 $B$의 근기

$\operatorname {rad} B=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}$

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.

$\operatorname {rad} Q=\{v\in \operatorname {rad} B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}$

이는 $V$의 부분 가군이자 $\operatorname {rad} B$의 부분 가군이다. 이는 임의의 $u,v\in \operatorname {rad} B$에 대하여

$Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)$

이기 때문이다.

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.

• 연관 대칭 쌍선형 형식 $B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, $B$로부터 정의되는 사상 $V\to \hom _{K}(V,K)$, $u\mapsto B(u,-)$이 가군의 동형 사상이다.

$K$가 체이고, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

$\operatorname {rad} Q\subseteq \operatorname {rad} B$

의 여차원을 생각할 수 있다. 만약 $K$의 표수가 2가 아니라면, 항상 $\operatorname {rad} Q=\operatorname {rad} B$이다. 만약 $K$가 표수 2의 완전체라면, 여차원은 0 또는 1이다. (만약 $\operatorname {char} K=2$이며, 완전체가 아니라면, 여차원은 2 이상일 수 있다. 예를 들어, $\mathbb {F} _{2}(t)$ 위의 2변수 이차 형식

$x^{2}+ty^{2}$

을 생각하자. $t$는 $\mathbb {F} _{2}(t)$에서 제곱근을 갖지 않으므로 이 이차 형식의 근기는 $\{0\}$이지만, 연관 쌍선형 형식 $B=0$의 근기는 $K^{2}$이다.)

증명:

만약 $\operatorname {char} K\neq 2$이며, $v\in \operatorname {rad} B$라면, $Q(v)=B(v,v)/2=0$이므로 $v\in \operatorname {rad} Q$이다.

이제, $K$가 표수 2의 완전체라고 가정하자. 그렇다면, $K$ 위에 스칼라배

$a\cdot b=a^{2}b\qquad (\forall a,b\in K)$

를 주면 $K$-벡터 공간을 이룬다. 또한, $x\mapsto x^{2}$는 $K$ 위의 전사 함수이므로, 이 벡터 공간의 차원은 1이다. 임의의 $a,b\in K$ 및 $u,v\in \operatorname {rad} B$에 대하여,

$Q(au+bv)=a^{2}Q(u)+b^{2}Q(v)+abB(u,v)=a^{2}Q(u)+b^{2}Q(v)$

이다. 즉,

$Q|_{\operatorname {rad} B}\colon \operatorname {rad} B\to K$

는 ($K$를 위에서 정의한 벡터 공간으로 여겼을 때) $K$-선형 변환을 이루며, 그 핵은

$\ker(Q|_{\operatorname {rad} B})=\operatorname {rad} Q$

이다. 특히,

$\dim _{K,a\mapsto a^{2}}(\operatorname {rad} B/\operatorname {rad} Q)\leq \dim _{K,a\mapsto a^{2}}K=1$

이다.

만약 $Q$의 근기가 $\{0\}$이라면, $Q$를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다. 반면, $Q$가 비퇴화 이차 형식인 것은 연관 쌍선형 형식 $B$의 근기가 $\{0\}$인 것과 동치다. 만약 $\operatorname {char} K\neq 2$라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, $\operatorname {char} K=2$일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. $K$가 완전체인 경우, 이는

$\dim _{K}\operatorname {rad} B=1$

$\dim _{K}\operatorname {rad} Q=0$

인 경우이다.

비등방 이차 형식과 분해 이차 형식

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시키면, 비등방성 이차 형식(영어: anisotropic quadratic form)이라고 한다.

• 임의의 $v\in V$에 대하여, 만약 $Q(v)=0$라면 $v=0$이다.

모든 비등방성 이차 형식은 비퇴화 이차 형식이다.

증명:

만약 $v\in \operatorname {rad} B$라면,

$Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)=0$

이므로 $v=0$이다.

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 세 조건을 만족시킨다면, 분해 이차 형식(영어: split quadratic form) 또는 쌍곡 이차 형식(영어: hyperbolic quadratic form)이라고 한다.

• 비퇴화 이차 형식이다.
• $\dim _{K}V=2n$은 짝수이다.
• $Q|_{W}=0$인 $n$차원 부분 공간 $W\subseteq V$이 존재한다.

$2n$변수 분해 이차 형식은 동치 아래 유일하며, $n$개의 2변수 분해 이차 형식의 직합이다. 2변수 분해 이차 형식은 2변수 이차 형식

$x^{2}-y^{2}$

또는

$xy$

와 동치이다. 2변수 분해 이차 형식이 주어진 이차 공간은 흔히 쌍곡 평면(영어: hyperbolic plane)이라고 부른다.

증명:

2변수 분해 이차 형식: 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 2차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 분해 이차 형식이라고 하자. 분해성에 따라 $Q(u)=0$인 $u\in V\setminus \{0\}$이 존재하며, 비퇴화성에 따라 $(B/2)(u,v)\neq 0$인 $v\in V$가 존재한다.

$v'={\frac {1}{2(B/2)(u,v)}}v$

$v''=v'-{\frac {Q(v')}{2(B/2)(u,v')}}u$

라고 하자. 그렇다면 $\{u,v''\}$는 기저이며, 이 기저 아래

$Q(x,y)=xy$

이다.

$2n$변수 분해 이차 형식: 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 $2n$차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 분해 이차 형식이며, $W\subseteq V$가 $Q|_{W}=0$인 $n$차원 부분 공간이며, $u\in W\setminus \{0\}$이며,

$W=\operatorname {Span} (u)\oplus W'$

라고 하자 (이는 이차 공간의 직합일 필요가 없다). ${W'}^{\perp }\subseteq W^{\perp }$이며, 비퇴화성에 따라

$\dim {W'}^{\perp }=\dim V-\dim W'>\dim V-\dim W=\dim W^{\perp }$

이므로,

$(B/2)(v,W)=0$

$(B/2)(u,v)\neq 0$

인 $v\in V$가 존재한다.

$\det {\begin{pmatrix}0&(B/2)(u,v)\\(B/2)(u,v)&Q(v)\end{pmatrix}}\neq 0$

이며 $Q(u)=0$이므로, $Q|_{\operatorname {Span} \{u,v\}}$는 2변수 분해 이차 형식이다. 이제, $Q|_{\operatorname {Span} \{u,v\}}$의 비퇴화성에 따라

$V=\operatorname {Span} \{u,v\}\oplus \operatorname {Span} \{u,v\}^{\perp }$

이며 (이는 이차 공간의 직합이다), $Q|_{\operatorname {Span} \{u,v\}^{\perp }}$ 역시 비퇴화 이차 형식이다. 또한, $W'\subseteq \operatorname {Span} \{u,v\}^{\perp }$는 $n-1$차원 부분 공간이며 $Q|_{W'}=0$이다. 귀납법의 가정에 따라, $Q|_{\operatorname {Span} \{u,v\}^{\perp }}$는 $n-1$개 2변수 분해 이차 형식의 직합이며, 따라서 $Q$는 $n$개 2변수 분해 이차 형식의 직합이다.

정부호성

순서체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

• 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)>0$이다.
• 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)<0$이다.
• 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\geq 0$이다.
• 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 $v\in V$에 대하여, $Q(v)\leq 0$이다.
• 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

전실 수체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시키면, 전 양의 정부호 이차 형식(全陽의定符號二次形式, 영어: totally positive-definite quadratic form)이라고 한다.

• 모든 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $Q(v)\in {\mathcal {O}}_{K}$는 전양 원소이다.

전실 수체 $K$의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{K}$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 다음 조건을 만족시키면, 전 양의 정부호 이차 형식이라고 한다.

• $Q\otimes _{{\mathcal {O}}_{K}}K$는 전 양의 정부호 이차 형식이다.

정수 계수의 경우, 전 양의 정부호 이차 형식은 단순히 양의 정부호 이차 형식이라고 한다.

성질

다항식 및 행렬 표현

가환환 $K$ 위의 유한 계수 자유 가군 $K^{n}$의 기저 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$가 주어졌을 때, 이 위의 이차 형식 $Q$는 다음과 같이 $n$변수 2차 동차 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다. 임의의 $x_{1},\dots ,x_{n}\in K$에 대하여,

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

여기서

$a_{ii}=Q(e_{i},e_{i})$

$a_{ij}=Q(e_{i}+e_{j})-Q(e_{i})-Q(e_{j})\qquad (i<j)$

이다.

2가 가역원인 가환환 $K$ 위의 유한 계수 자유 가군 $K^{n}$ 위의 이차 형식 $Q$의, $K^{n}$의 기저 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$에 대한 행렬은 그 연관 대칭 쌍선형 형식 $B/2$의 행렬

$M={\begin{pmatrix}B(e_{1},e_{1})/2&\cdots &B(e_{1},e_{n})/2\\\vdots &&\vdots \\B(e_{n},e_{1})/2&\cdots &B(e_{n},e_{n})/2\end{pmatrix}}$

이다. 이는 항상 대칭 행렬이다. 이 경우, 이차 형식을 행렬 표기법을 써 다음과 같이 유일하게 나타낼 수 있다. 임의의 $x_{1},\dots ,x_{n}\in K$에 대하여,

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x^{\top }Mx$

여기서 $x$는 $(x_{1},\dots ,x_{n})$에 대응하는 열벡터, $x^{\top }$는 그 전치 행렬이다. 또한, 이차 형식의 다양한 성질들을 행렬의 언어로 묘사할 수 있다. 이차 형식 $Q$가 비퇴화 이차 형식일 필요충분조건은 그 행렬 $M$이 가역 행렬인 것이다. 두 이차 형식 $Q$, $Q'$이 동치일 필요충분조건은 그 (같은 기저에 대한) 행렬 $M$, $M'$이 닮음인 것이다. 같은 이차 형식 $Q$의 서로 다른 기저 $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$, $\{e_{1}',\dots ,e_{n}'\}$에 대한 행렬 $M$, $M'$은 서로 닮음이다. 이차 형식 $Q$가 양의 정부호 형식일 필요충분조건은 그 행렬 $M$이 양의 정부호 행렬인 것이다.

(2가 가역원이 아닌 가환환 $K$의 경우, 이차 형식은 위와 비슷하게 행렬로 나타낼 수 있지만, 그 방법은 일반적으로 유일하지 않으며, 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.)

비트 소거 정리

임의의 표수의 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V_{1},Q_{1})$, $(V_{2},Q_{2})$, $(V_{3},Q_{3})$이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 $(V_{1},Q_{1})\oplus (V_{3},Q_{3})\cong (V_{2},Q_{2})\oplus (V_{3},Q_{3})$이라면, $(V_{1},Q_{1})\cong (V_{2},Q_{2})$이다.

쌍선형 형식과의 관계

가환환 $K$에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, $K$가 표수가 2가 아닌 체일 경우), $K$-가군 $V$ 위의 이차 형식은 $V$ 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 $Q$의 연관 쌍선형 형식

$B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

$Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)$

그러나 만약 $K$에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, $\mathbb {F} _{2}$ 위의 1변수 이차 형식

$x^{2}$

$0$

의 연관 쌍선형 형식은 둘 다 0이다. (이는 $\mathbb {F} _{2}$ 위 항등식 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ 때문이다.)

보다 일반적으로, 임의의 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 및 $\epsilon \in \{\pm 1\}\subseteq K$에 대하여, 2차 순환군 $\mathbb {Z} /2=\langle t|t^{2}=1\rangle$이 쌍선형 형식의 공간 $\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$(t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)$

이에 대하여, $\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)$는 군환 $\mathbb {Z} [\mathbb {Z} /2]$ 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 $\epsilon =+1$이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

$\operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)^{\mathbb {Z} /2}=\left\{B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad \forall u,v\in V\right\}$

0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

$\operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)_{\mathbb {Z} /2}={\frac {\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\}}}$

만약 $\epsilon =-1$일 경우, 이는 $M$ 위의 이차 형식의 공간 $\operatorname {QForms} (M;K)$과 다음과 같이 동형이다.

$[B(-,-)]\mapsto \left(Q_{B}\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)$

다시 말해, 다음과 같은 $K$-가군의 완전열이 존재한다.

$0\to \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K){\xrightarrow {1-t}}\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\to \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to 0$

클리퍼드 대수와의 관계

 이 부분의 본문은 클리퍼드 대수입니다.

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q;K)$를 정의할 수 있다. 이는 $K$-단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 $K$-선형 변환

$\iota _{0}\colon K\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)$

$\iota _{1}\colon V\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)$

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 $\operatorname {BW} (K)$의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

대각화와 비트 분해 정리

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $K^{n}=\operatorname {Span} _{K}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ 위의 이차 형식 $Q$가

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n}\in K)$

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, $Q$를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, $Q=0$일 경우 이미 대각화돼 있으므로 $Q\neq 0$를 가정할 수 있다. 이 경우 $Q(v)\neq 0$인 $v\in V$를 고를 수 있으며, 이 경우

$V=\operatorname {Span} \{v\}\oplus (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }$

$u=\underbrace {B(u,v)v/B(v,v)} _{\operatorname {Span} \{v\}}+\underbrace {\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)} _{(\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}\qquad \forall u\in V$

이다. 따라서, 마찬가지로 $Q(v')\neq 0$인 $v'\in (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }$를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 이차 공간 $(V,Q)$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.

$(V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• $(V_{0},0)$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• $(V_{1},Q_{1})$은 이차 형식이 비등방성 이차 형식인 이차 공간이다.
• $(V_{2},Q_{2})$는 분해 이차 공간이다.

이 경우 $(V_{1},Q_{1})$을 $(V,Q)$의 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, $\dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})$를 $Q$의 계수(영어: rank)라고 하며, $(\dim _{K}V_{2})/2$를 $Q$의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다. 만약 $Q$가 비퇴화 이차 형식이라면, $Q|_{W}=0$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

분류

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

복소수 이차 형식의 분류

$K$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 $K^{n}$ 위의 이차 형식은 그 계수 $r$에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}\qquad (1\leq r\leq n)$

이 경우, 이차 형식은 계수 $r$에 의하여 완전히 분류된다.

실수 이차 형식의 분류

$(K,\leq )$가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 실수체 $\mathbb {R}$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 $K^{n}$ 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 $(s,k)$에 따라서 완전히 분류된다 ($1\leq s\leq k\leq n$). 즉, 모든 이차 형식 $Q$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{s}^{2}-x_{s+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}\qquad (1\leq s\leq k\leq n)$

구체적으로, $n$변수의 $K$ 계수 이차 형식 $Q(x_{1},\dots ,x_{n})$은 $n\times n$ 대칭 행렬 $M$으로 나타낼 수 있다.

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

$Q$의 부호수(영어: signature) $(n_{+},n_{0},n_{-})$는 $M$의 양의 고윳값의 수 $n_{+}\in \mathbb {N}$, 고윳값 0의 중복도 $n_{0}\in \mathbb {N}$, 음의 고윳값의 수 $n_{-}\in \mathbb {N}$의 순서쌍이다. 물론

$n_{+}+n_{0}+n_{-}=n$

이다. 여기서, $n_{+}$ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 $(n_{+},n_{0},n_{-})$는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

국소체 위의 이차 형식의 분류

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

대역체 위의 이차 형식의 분류

 이 부분의 본문은 하세-민코프스키 정리입니다.

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 $K$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q'$이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

• $K$의 완비화인 모든 국소체 $k$에 대하여, $Q_{k}$와 $Q'_{k}$는 서로 동치이다. 여기서 $Q_{k}$는 $Q$를 $k\supset K$ 계수로 간주한, $k$ 위의 이차 형식이다.

홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. $a\in \mathbb {F} _{q}$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

$\nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

$Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)$

$Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

$Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}$

만약 $n$이 홀수라면, $Q_{2}^{(n)}$는 $\alpha Q_{1}^{(n)}$과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 $Q_{1}^{(n)}$, $Q_{2}^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$이다.

만약 $n$이 짝수라면, $Q_{1}^{(n)}$은 $\alpha Q_{1}^{(n)}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.

• $n\equiv 2{\pmod {4}}$이며 $q\equiv 3{\pmod {4}}$인 경우, $Q_{1}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이며 $Q_{2}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이다.
• $n\equiv 0{\pmod {4}}$이거나 또는 $q\equiv 1{\pmod {4}}$인 경우, $Q_{1}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이며 $Q_{2}^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

이 경우, 비트 지표가 $n/2$인 경우를 플러스형(영어: plus-type), $n/2-1$인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

$\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)$

$\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)$

홀수 차수 유한체 $\mathbb {F} _{q}$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 $q$에 따라 구체적으로 다음과 같다.

$W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv 3{\pmod {4}}$인 경우

$\mathbb {Z} /(4)$	0	1	2	3
$W(\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{1}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

$q\equiv 1{\pmod {4}}$인 경우

$\mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})$	0	1	x	1+x
$W(\mathbb {F} _{q})$	$Q_{1}^{(0)}$	$Q_{1}^{(1)}$	$Q_{2}^{(2)}$	$Q_{2}^{(1)}$

짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류

표수가 2인 유한체 $\mathbb {F} _{q}$ 위의 벡터 공간 $\mathbb {F} _{q}^{n}$ (또는 표수가 2인 완전체 $K$ 위의 벡터 공간 $K^{n}$) 위의 이차 형식의 동치류는 총 $\lceil (3n+1)/2\rceil$개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 $n$이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다. $n$이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, $n$이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, $n$이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

$\operatorname {diag} \left(1,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}+x_{4}x_{5}+\cdots +x_{n-1}x_{n}$

이 경우 $Q$의 연관 대칭 쌍선형 형식은

$B=\operatorname {diag} \left(0,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)$

이다. 즉, $\operatorname {rad} B=\operatorname {Span} _{\mathbb {F} _{q}}\{e_{1}\}$이다.

$a\in \mathbb {F} _{q}$가 $x^{2}+x+a=0$의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) $n$이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.

$\operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

$\operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)$

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

$Q_{+}(x)=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{n-1}x_{n}$

$Q_{-}(x)=ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +\cdots +x_{n-1}x_{n}$

이 경우 $Q_{+}$를 플러스형(영어: plus-type), $Q_{-}$를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다. $Q_{+}$의 비트 지표는 $n/2$이며, $Q_{-}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 위의 이차 형식의 분류

정수환 $\mathbb {Z}$이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다. 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다. 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. $\mathbb {Z} ^{n}$ 위의 두 이차 형식 $Q$, $Q'$이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

• $Q$와 $Q'$는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
• 모든 소수 $p=2,3,5,\dots$에 대하여, p진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$를 정의한다면, $Q$와 $Q'$는 $\mathbb {Z} _{p}$ 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.

정수 계수 이차 형식

계수가 모두 정수인 이차 형식을 정수 계수 이차 형식 또는 정수 이차 형식이라고 한다. 예를 들어

$x^{2}+xy+y^{2},\qquad x^{2}+2y^{2}+5z^{2},\qquad x^{2}+y^{2}-z^{2}$

는 모두 정수 계수 이차 형식이다. 정수 계수 이차 형식은 체 위의 이차 형식보다 훨씬 더 섬세한 산술적 구조를 가진다. 이는 허용되는 좌표변환이 모든 가역 유리수 행렬이 아니라, 행렬식이 $\pm 1$인 정수 행렬로 제한되기 때문이다.

정수 계수 이차 형식의 기본 문제는 다음과 같은 형태로 나타난다.

• 주어진 정수 $m$이 이차 형식 $Q$의 값으로 표현되는가?
• 두 정수 계수 이차 형식이 정수 가역변환에 의해 서로 옮겨지는가?
• 주어진 판별식이나 행렬식, 부호수, 종수에 속하는 이차 형식은 몇 개인가?
• 어떤 이차 형식이 모든 양의 정수 또는 특정한 정수 집합을 표현하는가?

이러한 문제들은 수론, 격자 이론, 모듈러 형식, 대수적 위상수학과 밀접하게 연결된다.

정의와 동치

$n$변수 정수 계수 이차 형식은

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{i<j}a_{ij}x_{i}x_{j}\qquad (a_{ij}\in \mathbb {Z} )$

의 꼴로 쓰이는 2차 동차다항식이다. 이 정의에서는 다항식의 모든 계수가 정수이면 정수 계수 이차 형식이라고 부른다.

정수 계수 이차 형식 $Q$와 $Q'$가 같은 변수의 수를 갖는다고 하자. 어떤 행렬

$C\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$

가 존재하여

$Q'(x)=Q(Cx)$

가 성립하면, 두 형식은 정수환 위에서 동치라고 한다. 여기서

$\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )=\{C\in M_{n}(\mathbb {Z} ):\det C=\pm 1\}$

이다. 즉, 정수 계수 이차 형식의 동치에서는 변수변환 뒤에도 정수 격자가 그대로 보존되어야 한다.

이 조건은 유리수체나 실수체 위의 동치보다 훨씬 강하다. 예를 들어 유리수 계수에서는 변수에 유리수 배를 곱할 수 있지만, 정수 계수 이차 형식에서는 그런 변환이 일반적으로 허용되지 않는다. 따라서 유리수체 위에서는 서로 동치인 두 정수 계수 이차 형식이 정수환 위에서는 동치가 아닐 수 있다.

정수 계수 이차 형식 $Q$가 정수 $m$을 표현한다고 말하는 것은, 어떤 정수 벡터

$x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$

가 존재하여

$Q(x)=m$

이 되는 것을 뜻한다. 예를 들어 $x^{2}+y^{2}$는 정수 $5$를 표현한다. 왜냐하면

$5=1^{2}+2^{2}$

이기 때문이다. 반면 모든 정수가 두 제곱수의 합으로 표현되는 것은 아니며, 이 문제는 페르마 두 제곱수 정리와 관련된다.

이차 격자

정수 계수 이차 형식은 격자의 언어로도 설명할 수 있다. 여기서 격자는 보통 유한 생성 자유 아벨 군 $\Lambda$를 뜻한다. 즉,

$\Lambda \cong \mathbb {Z} ^{n}$

인 가군이다.

격자 $\Lambda$ 위의 함수

$Q\colon \Lambda \to \mathbb {Z}$

가 이차 형식의 조건을 만족하면, 순서쌍

$(\Lambda ,Q)$

를 이차 격자라고 한다. 더 일반적으로, 유리수 또는 실수 벡터 공간 $V$ 안의 격자 $\Lambda \subset V$와 $V$ 위의 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때

$Q(v)\in \mathbb {Z} \qquad (v\in \Lambda )$

이면 $Q$가 $\Lambda$에 대해 정수적이라고 한다.

정수 계수 이차 형식

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{i<j}a_{ij}x_{i}x_{j}$

에 대한 연관 쌍선형 형식은

$B_{Q}(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)$

이다. 표준기저 $e_{1},\dots ,e_{n}$에 대해

$B_{Q}(e_{i},e_{i})=2a_{ii},\qquad B_{Q}(e_{i},e_{j})=a_{ij}\quad (i\neq j)$

가 된다. 따라서 다항식의 계수가 정수이면 연관 쌍선형 형식도 정수값을 갖는다. 또한 대각 성분 $B_{Q}(e_{i},e_{i})$은 항상 짝수이다.

반대로 정수 격자 위의 대칭 쌍선형 형식 $B$가 주어졌을 때

$Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)$

가 항상 정수값을 가지려면, 모든 $v\in \Lambda$에 대해 $B(v,v)$가 짝수이어야 한다. 이 조건을 만족하는 격자를 흔히 짝수 격자라고 한다. 반대로 어떤 $v$에 대해 $B(v,v)$가 홀수이면 홀수 격자라고 한다.

이 관점에서 정수 계수 이차 형식은 정수값을 갖는 이차 함수와, 대각 성분이 짝수인 정수값 대칭 쌍선형 형식 사이의 관계를 통해 이해할 수 있다. 특히 양의 정부호 정수 계수 이차 형식은 유클리드 공간 안의 격자와 밀접하게 관련된다.

행렬 관습: 교차항의 2

정수 계수 이차 형식에서는 교차항의 계수를 어떻게 쓰는지에 따라 두 가지 관습이 나타난다. 이는 영어 문헌에서 흔히 “twos in”과 “twos out”이라고 부르는 구별이다.

첫 번째 관습은 이변수 이차 형식을

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}$

로 쓰는 것이다. 이 경우 대응하는 대칭 행렬은

${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

이고, 행렬의 모든 성분이 정수이다. 이 관습은 정수 계수 대칭 쌍선형 형식이나 정수 대칭 행렬을 중심으로 볼 때 자연스럽다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》에서 이변수 이차 형식을 다룰 때 사용한 전통적인 표기와도 관련된다.

두 번째 관습은 이변수 이차 형식을

$ax^{2}+bxy+cy^{2}$

로 쓰는 것이다. 이 경우 다항식의 계수는 모두 정수이지만, 이를 대칭 행렬로 쓰면

${\begin{pmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{pmatrix}}$

가 된다. 따라서 $b$가 홀수이면 대칭 행렬의 비대각 성분은 정수가 아니라 반정수가 된다.

두 관습은 모두 수학적으로 의미가 있지만, 서로 같은 대상을 가리키는 것은 아니다. 첫 번째 관습은 정수 대칭 행렬과 직접 대응하고, 두 번째 관습은 다항식 자체가 정수 계수를 갖는다는 조건을 그대로 반영한다. 특히 2가 가역원이 아닌 정수환 위에서는 이 차이가 실제적인 차이를 만든다.

예를 들어

$x^{2}+xy+y^{2}$

는 다항식 계수가 모두 정수이므로 두 번째 의미에서는 정수 계수 이차 형식이다. 그러나 이를 대칭 행렬로 표현하면

${\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}$

이므로 정수 대칭 행렬은 아니다. 반면 이 형식의 연관 쌍선형 형식의 행렬은

${\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}}$

로, 이는 정수 행렬이며 대각 성분이 짝수이다.

이 문서에서는 특별히 달리 말하지 않는 한, 다항식의 계수가 정수인 형식을 정수 계수 이차 형식이라고 부른다. 다만 격자 이론이나 대칭 쌍선형 형식의 문맥에서는 어떤 관습을 쓰는지 분명히 밝혀야 한다.

이변수 정수 계수 이차 형식

정수 계수 이변수 이차 형식은 전통적으로

$Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}\qquad (a,b,c\in \mathbb {Z} )$

의 꼴로 쓴다. 이때

$D=b^{2}-4ac$

를 이 형식의 판별식이라고 한다. 판별식은 이변수 이차 형식의 산술적 성질을 결정하는 핵심적인 불변량이다.

행렬

$C={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )$

에 의해

$x=pu+qv,\qquad y=ru+sv$

로 변수변환을 하면, $Q(x,y)$는 다시 정수 계수 이변수 이차 형식이 된다. 이때 판별식은 변하지 않는다. 따라서 판별식은 정수 계수 이변수 이차 형식의 동치류에 대한 불변량이다.

이변수 이차 형식 $ax^{2}+bxy+cy^{2}$는 판별식의 부호에 따라 성질이 크게 달라진다.

• $D<0$이고 $a>0$이면 양의 정부호 형식이다.
• $D<0$이고 $a<0$이면 음의 정부호 형식이다.
• $D>0$이면 부정부호 형식이다.
• $D=0$이면 퇴화된 형식이다.

예를 들어

$x^{2}+y^{2}$

의 판별식은 $-4$이고 양의 정부호이다. 반면

$x^{2}-y^{2}$

의 판별식은 $4$이고 부정부호이다.

$x^{2}+xy+y^{2}$

의 판별식은 $-3$이며, 양의 정부호 이변수 이차 형식이다.

정수 계수 이변수 이차 형식은 이차 수체와 깊게 관련된다. 특히 원시 형식, 즉

$\gcd(a,b,c)=1$

인 형식들의 동치류는 일정한 판별식에 대해 유한한 경우가 많으며, 이들의 합성법은 가우스의 이변수 이차 형식 이론의 핵심이다. 이 이론은 아이디얼 유군, 류수, 모듈러 군과 연결된다.

정수 표현 문제

정수 계수 이차 형식의 가장 오래된 문제 가운데 하나는 어떤 정수가 주어진 형식으로 표현되는지를 결정하는 것이다. 형식 $Q$가 정수 $m$을 표현한다는 것은

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=m$

을 만족하는 정수해 $(x_{1},\dots ,x_{n})$가 존재한다는 뜻이다.

예를 들어

$x^{2}+y^{2}$

가 어떤 양의 정수 $m$을 표현하는지 묻는 문제는 고전적인 두 제곱수 문제이다. 페르마 두 제곱수 정리는 소인수분해를 이용하여 이 문제에 대한 완전한 판정을 준다.

또 다른 대표적인 예는

$x^{2}-ny^{2}=1$

꼴의 펠 방정식이다. 이는 이변수 이차 형식

$x^{2}-ny^{2}$

이 정수 1을 표현하는지를 묻는 문제로 볼 수 있다. 펠 방정식은 연분수, 이차 무리수, 이차 수체의 단위군과 밀접하게 관련된다.

변수가 많아지면 표현 문제는 다른 양상을 보인다. 예를 들어 라그랑주의 네 제곱수 정리는 모든 양의 정수 $m$이

$m=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

의 꼴로 표현된다는 것을 말한다. 즉,

$w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

는 모든 양의 정수를 표현하는 정수 계수 이차 형식이다.

정수 표현 문제에서는 국소적인 조건도 중요하다. 정수 $m$이 $Q$로 표현되려면, 모든 소수 $p$에 대해 $m$이 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$ 위에서도 표현되어야 하며, 실수 위에서도 표현되어야 한다. 그러나 이러한 국소 조건이 모두 성립한다고 해서 항상 정수해가 존재하는 것은 아니다. 이 점에서 정수 계수 이차 형식의 이론은 유리수 계수 이차 형식에 대한 하세-민코프스키 정리보다 더 복잡하다.

보편 이차 형식

정수 계수 이차 형식 $Q$가 모든 양의 정수를 표현하면, $Q$를 보편 이차 형식(영어: universal quadratic form)이라고 한다. 가장 유명한 예는

$w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

이다. 라그랑주의 네 제곱수 정리에 따르면 이 형식은 모든 양의 정수를 표현하므로 보편 이차 형식이다.

대각형

$a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}$

이 보편적인지 묻는 문제도 오래 연구되어 왔다. 예를 들어 모든 계수 $a_{i}$가 양의 정수인 양의 정부호 대각 이차 형식이 어떤 양의 정수들을 표현하는지는 정수론의 중요한 주제이다.

보편성은 단순히 실수 위의 양의 정부호성으로 결정되지 않는다. 예를 들어 양의 정부호 형식은 실수 위에서는 양의 값을 모두 연속적으로 나타내는 것처럼 보일 수 있지만, 정수 벡터만 허용하면 표현 가능한 값은 매우 제한될 수 있다. 따라서 보편성을 판정하려면 합동 조건, 국소 표현 가능성, 종수와 스피너 종수 같은 산술적 정보가 필요하다.

현대 이론에서는 보편 이차 형식을 판정하는 강한 유한 판정 정리들이 알려져 있다. 대표적으로 고전적인 정수 행렬형 이차 형식에 대한 15 정리와, 보다 일반적인 정수값 이차 형식에 대한 290 정리가 있다. 이 정리들은 어떤 양의 정부호 정수 계수 이차 형식이 보편적인지를 확인하기 위해 무한히 많은 정수를 검사할 필요가 없다는 것을 보여 준다.

종수와 질량 공식

정수 계수 이차 형식에서는 동치보다 더 거친 분류 개념인 종수(種數, 영어: genus)가 중요하다. 두 정수 계수 이차 형식 $Q$, $Q'$가 같은 종수에 속한다는 것은, 대략적으로 말해 모든 국소적 관점에서 서로 같은 형식으로 보인다는 뜻이다.

구체적으로 $\mathbb {Z} ^{n}$ 위의 두 이차 형식이 같은 종수에 속한다는 것은 다음 조건을 만족한다는 뜻이다.

• $Q$와 $Q'$는 실수체 $\mathbb {R}$ 위에서 동치이다.
• 모든 소수 $p$에 대하여, $Q$와 $Q'$는 $p$진 정수환 $\mathbb {Z} _{p}$ 위에서 동치이다.

이는 유리수체 위의 하세-민코프스키 정리와 비슷한 형태를 갖는다. 그러나 결정적인 차이가 있다. 유리수체 위에서는 모든 완비화에서 동치이면 원래 유리수체 위에서도 동치이지만, 정수환 위에서는 같은 종수에 속하는 두 형식이 반드시 정수환 위에서 동치일 필요가 없다.

하나의 종수 안에는 여러 개의 정수 동치류가 들어 있을 수 있다. 주어진 종수 안에 있는 동치류들을 적절한 무게로 세는 공식이 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식이다. 이 질량 공식은 정수 계수 이차 형식의 해석적 이론과 세타 함수, 모듈러 형식의 이론과 연결된다.

종수보다 더 세밀한 개념으로 스피너 종수(영어: spinor genus)가 있다. 스피너 종수는 특히 부정부호 정수 계수 이차 형식의 분류와 표현 문제에서 중요한 역할을 한다.

정부호 형식과 부정부호 형식

정수 계수 이차 형식은 실수체로 스칼라를 확장했을 때의 부호에 따라 정부호 형식과 부정부호 형식으로 나뉜다. 이 구별은 정수 계수 이차 형식의 산술적 성질에 큰 영향을 준다.

양의 정부호 정수 계수 이차 형식은 각 값이 0 이상이고, $Q(x)=m$을 만족하는 정수 벡터의 수가 보통 유한하다. 따라서 표현 수

$r_{Q}(m)=\#\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:Q(x)=m\}$

를 정의할 수 있다. 양의 정부호 형식의 세타 함수

$\theta _{Q}(\tau )=\sum _{x\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi iQ(x)\tau }$

는 많은 경우 모듈러 형식이 되며, 이는 표현 수를 연구하는 중요한 도구이다.

부정부호 정수 계수 이차 형식은 양수 값과 음수 값을 모두 가지므로, 같은 정수 $m$을 표현하는 해가 무한히 많을 수 있다. 따라서 단순히 표현 수를 세는 방식은 적절하지 않을 수 있다. 대신 부정부호 형식의 경우에는 등방성, 직교군의 산술 부분군, 스피너 종수, 국소-대역 원리의 실패와 같은 문제가 중요해진다.

퇴화된 정수 계수 이차 형식은 비퇴화 형식과는 별도로 다루어야 한다. 예를 들어

$Q(x,y)=x^{2}$

는 $y$ 방향으로 값이 변하지 않으므로, 같은 값을 표현하는 정수 벡터가 무한히 많다. 따라서 표현 문제나 동치 문제를 다룰 때에는 보통 비퇴화성 또는 정부호성 같은 조건을 함께 둔다.

유니모듈러 격자와 짝수 격자

격자 이론에서는 정수 계수 이차 형식과 함께 행렬식이 특별한 값을 갖는 격자들이 중요하다. 정수값 대칭 쌍선형 형식 $B$가 주어진 격자 $\Lambda$에서, 어떤 기저에 대한 그람 행렬의 행렬식의 절댓값이 1이면 $\Lambda$를 유니모듈러 격자라고 한다.

유니모듈러 격자는 자신의 쌍대 격자와 일치하는 격자로 이해할 수 있다. 즉,

$\Lambda ^{\ast }=\{v\in \Lambda \otimes \mathbb {Q$ :\ B(v,w)\in \mathbb {Z} \ {\text{for all }}w\in \Lambda \}}

라고 할 때, $\Lambda =\Lambda ^{\ast }$이면 유니모듈러이다.

또한 모든 $v\in \Lambda$에 대해

$B(v,v)\in 2\mathbb {Z}$

이면 격자를 짝수 격자라고 한다. 그렇지 않으면 홀수 격자라고 한다. 짝수 유니모듈러 격자는 수론과 위상수학에서 특히 중요한 역할을 한다.

예를 들어 8차원의 $E_{8}$ 격자는 양의 정부호 짝수 유니모듈러 격자의 대표적인 예이다. 24차원에는 리치 격자를 포함한 여러 짝수 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들은 구면 채우기, 코드 이론, 유한군론과도 관련된다.

위상수학에서도 유니모듈러 이차 형식은 자연스럽게 나타난다. 닫힌 방향 있는 4차원 다양체의 2차 호몰로지 위에는 교차 형식이 정의되며, 적절한 조건 아래 이는 정수 계수 유니모듈러 쌍선형 형식이 된다. 이 교차 형식은 4차원 다양체의 분류에서 중요한 불변량이다.

대수적 정수환 위의 이차 형식

정수 계수 이차 형식의 이론은 더 일반적으로 대수적 수체의 대수적 정수환 위에서도 전개된다. 대수적 수체 $K$의 정수환을 ${\mathcal {O}}_{K}$라고 할 때, ${\mathcal {O}}_{K}$-가군 위의 이차 형식

$Q\colon M\to {\mathcal {O}}_{K}$

을 생각할 수 있다.

특히 $K$가 전실 수체일 때는 전 양의 정부호성이라는 개념이 중요하다. 이는 모든 실수 매장

$\sigma \colon K\hookrightarrow \mathbb {R}$

에 대해 $\sigma Q$가 양의 정부호가 되는 조건이다. 전 양의 정부호 이차 형식은 힐베르트 모듈러 형식, 대수적 수체의 격자, 대수적 정수의 표현 문제와 관련된다.

그러나 일반적인 대수적 정수환은 주 아이디얼 정역이 아닐 수 있으므로, $\mathbb {Z}$ 위의 자유 가군 이론을 그대로 적용할 수 없다. 이 때문에 대수적 정수환 위의 이차 형식에서는 가군의 아이디얼류, 국소화, 종수, 스피너 종수 등이 함께 고려된다.

기하학적 의미

이차 형식은 대수적으로는 2차 동차다항식이지만, 기하학적으로는 이차 초곡면, 원뿔 곡선, 타원체, 쌍곡면, 포물면 등을 설명하는 기본 도구이다. 특히 동차성 때문에 이차 형식은 사영 공간에서 자연스럽게 해석되며, 행렬 표현을 사용하면 이차 곡면의 모양을 고윳값과 부호수로 설명할 수 있다.

이차 형식의 기하학적 해석에는 두 가지 관점이 있다. 하나는 이차 형식 자체의 영점 집합

$Q(x)=0$

을 보는 것이고, 다른 하나는

$Q(x)=1$

또는 더 일반적으로

$x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c=0$

과 같은 일반적인 2차 방정식의 해집합을 보는 것이다. 전자는 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔이나 사영 이차 초곡면과 관련되고, 후자는 타원체·쌍곡면·포물면 같은 아핀 이차 곡면과 관련된다.

사영공간에서의 이차 초곡면

체 $K$ 위의 0이 아닌 $n$변수 이차 형식

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})$

이 주어졌다고 하자. 사영 공간

$\mathbb {P} _{K}^{n-1}$

의 동차좌표

$[x_{1}:\cdots :x_{n}]$

에 대하여

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

은 사영공간 안의 이차 초곡면을 정의한다.

이 정의가 잘되는 이유는 $Q$가 동차식이기 때문이다. 실제로 $\lambda \in K^{\times }$에 대하여

$Q(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{2}Q(x_{1},\dots ,x_{n})$

이므로, $Q(x)=0$인지 아닌지는 대표 벡터 $x$를 어떤 0이 아닌 스칼라배로 바꾸어도 변하지 않는다. 따라서 방정식 $Q=0$은 사영점 $[x_{1}:\cdots :x_{n}]$에 대해 의미가 있다.

일반적으로 $\mathbb {P} ^{n-1}$ 안의 하나의 비영 동차 방정식은 차원 $n-2$의 사영 초곡면을 정의한다. 따라서 $n$변수 이차 형식은 보통 $n-2$차원의 이차 초곡면을 정의한다. 예를 들어 3변수 이차 형식은 사영평면 $\mathbb {P} ^{2}$ 안의 곡선, 즉 원뿔 곡선을 정의하고, 4변수 이차 형식은 사영공간 $\mathbb {P} ^{3}$ 안의 이차 곡면을 정의한다.

표수 2가 아닌 체 위에서 이차 형식이 대칭 행렬 $A$로 표현된다고 하자. 이 경우 사영 이차 초곡면의 퇴화 여부는 행렬 $A$의 랭크와 밀접하게 관련된다. $A$가 가역이면, 즉 이차 형식이 비퇴화이면, 대응하는 사영 이차 초곡면은 대체로 특이점이 없는 매끄러운 이차 초곡면이다. 반대로 행렬의 랭크가 작으면 이차 초곡면은 더 낮은 차원의 이차 초곡면을 꼭짓점으로 하는 원뿔처럼 나타난다.

예를 들어 사영평면에서

$xy=0$

은 두 직선

$x=0,\qquad y=0$

의 합집합이다. 이는 퇴화된 원뿔 곡선이다. 또

$x^{2}=0$

은 하나의 직선이 중복되어 나타나는 이중 직선으로 볼 수 있다. 반면

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

은 실수 사영평면에서 비퇴화 원뿔 곡선의 예이다.

계수체에 따라 실제 점의 존재 여부가 달라질 수 있다는 점도 중요하다. 예를 들어 실수 사영평면에서

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$

은 0이 아닌 실수해를 갖지 않으므로 실수점이 없다. 그러나 복소수체 위에서는 이 방정식이 비자명한 해를 가지며, 복소 사영평면 안의 비퇴화 원뿔 곡선을 정의한다.

아핀 원뿔과 사영화

이차 형식 $Q$를 아핀공간 $K^{n}$ 위의 함수로 보면, 영점 집합

$\{x\in K^{n}:Q(x)=0\}$

은 원점을 지나는 원뿔이다. 실제로 $Q(x)=0$이면 모든 $\lambda \in K$에 대해

$Q(\lambda x)=\lambda ^{2}Q(x)=0$

이므로, 해집합은 각 해 벡터가 생성하는 직선을 모두 포함한다.

사영 이차 초곡면은 이 아핀 원뿔의 “방향”들을 모은 것으로 볼 수 있다. 즉, $K^{n}$에서 0이 아닌 해 벡터들을 스칼라배로 같은 것으로 보아 얻은 것이 사영공간 안의 이차 초곡면이다.

예를 들어 실수 벡터 공간 $\mathbb {R} ^{3}$에서

$Q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$

라고 하자. 아핀 방정식

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

은 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔을 나타낸다. 이 원뿔의 각 생성직선을 하나의 점으로 본 것이 사영평면 안의 원뿔 곡선

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

이다.

반면

$Q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

는 실수 위에서 0벡터가 아닌 해를 갖지 않는다. 따라서 아핀 영점 집합은 원점 하나뿐이고, 대응하는 실수 사영 이차 초곡면은 공집합이다. 그러나 같은 식을 복소수 위에서 보면 0이 아닌 해가 존재한다.

원뿔 곡선

3변수 이차 형식은 사영평면 안의 원뿔 곡선을 정의한다. 일반적인 3변수 이차 형식은

$Q(X,Y,Z)=aX^{2}+bXY+cY^{2}+dYZ+eZ^{2}+fZX$

의 꼴이고, 사영평면 $\mathbb {P} ^{2}$에서

$Q(X,Y,Z)=0$

은 원뿔 곡선이다.

아핀평면의 일반적인 2차 방정식

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$

도 사영적으로는 이차 형식으로 다룰 수 있다. 실제로 아핀좌표

$x={\frac {X}{Z}},\qquad y={\frac {Y}{Z}}$

를 사용하고 양변에 $Z^{2}$를 곱하면

$aX^{2}+bXY+cY^{2}+dXZ+eYZ+fZ^{2}=0$

이라는 3변수 동차 이차식이 된다. 이를 원래 아핀 방정식의 사영화라고 한다.

예를 들어 다음과 같은 대응이 있다.

$X^{2}+Y^{2}-Z^{2}=0$

은 아핀부분 $Z=1$에서

$x^{2}+y^{2}=1$

이므로 원을 나타낸다.

$XY-Z^{2}=0$

은 아핀부분에서

$xy=1$

이므로 쌍곡선을 나타낸다.

$X^{2}-YZ=0$

은 아핀부분에서

$x^{2}-y=0$

이므로 포물선을 나타낸다.

사영기하학에서는 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 모두 원뿔 곡선이라는 하나의 개념으로 통합된다. 아핀기하학에서 이들이 서로 다르게 보이는 이유는 사영평면에서 어느 직선을 “무한원선”으로 선택하는지에 따라 달라진다. 예를 들어 실수 아핀평면에서 비퇴화 원뿔 곡선이 무한원선과 만나지 않으면 타원형, 한 점에서 접하면 포물선형, 두 점에서 만나면 쌍곡선형으로 나타난다.

퇴화된 원뿔 곡선도 이차 형식으로 설명된다. 예를 들어

$XY=0$

은 두 직선 $X=0$, $Y=0$의 합집합이고,

$X^{2}-Y^{2}=0$

은 두 직선

$X-Y=0,\qquad X+Y=0$

의 합집합이다. 이러한 경우에는 대응하는 이차 형식의 행렬이 퇴화되어 있다.

아핀 이차 곡면과 행렬

실수 아핀공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서 일반적인 2차 방정식은

$F(x)=x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c=0$

의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $A$는 실수 대칭 행렬, $b$는 열벡터, $c$는 실수 상수이다. 이때

$x^{\mathsf {T}}Ax$

가 방정식의 이차 형식 부분이다.

행렬 $A$의 고윳값과 랭크는 이 이차 곡면의 모양을 결정하는 데 중요한 역할을 한다. 실수 대칭 행렬은 직교 대각화할 수 있으므로, 적당한 회전 좌표변환을 하면 이차 형식 부분은

$\lambda _{1}y_{1}^{2}+\cdots +\lambda _{n}y_{n}^{2}$

의 꼴이 된다. 따라서 이차 곡면의 주된 방향은 $A$의 고유벡터 방향이고, 각 방향의 휘어짐은 고윳값 $\lambda _{i}$의 부호와 크기로 나타난다.

만약 $A$가 가역이면, 평행이동을 통해 선형항을 없앨 수 있다. 실제로

$h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b$

라고 놓고 $x=y+h$로 바꾸면

$F(x)=y^{\mathsf {T}}Ay+c-{\frac {1}{4}}b^{\mathsf {T}}A^{-1}b$

가 된다. 따라서 중심을 갖는 이차 곡면은 적당한 좌표변환 뒤에

$\lambda _{1}y_{1}^{2}+\cdots +\lambda _{n}y_{n}^{2}={\text{상수}}$

의 꼴로 정리된다.

반면 $A$가 퇴화되어 있으면 모든 선형항을 평행이동으로 없앨 수 없을 수 있다. 이 경우 포물면이나 원기둥, 퇴화된 이차 곡면이 나타난다. 예를 들어

$z=x^{2}+y^{2}$

는

$x^{2}+y^{2}-z=0$

으로 쓸 수 있으며, 이 방정식의 이차 형식 부분은 $x^{2}+y^{2}$이다. 여기서 $z$ 방향에는 2차항이 없기 때문에 포물면이 생긴다.

3차원 실수 이차 곡면의 예

3차원 실수공간에서 이차 형식과 2차 방정식은 익숙한 이차 곡면을 만든다. 적당한 직교 좌표변환과 평행이동을 한 뒤에는 많은 이차 곡면이 다음과 같은 표준형으로 나타난다.

양의 정부호 이차 형식의 레벨 집합은 타원체를 만든다. 예를 들어

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

은 타원체이다. 특히 $a=b=c$이면 구면이다. 이 경우 이차 형식

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}$

은 양의 정부호이다.

부정부호 이차 형식의 레벨 집합은 쌍곡면을 만든다. 예를 들어

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

은 한 장짜리 쌍곡면이고,

${\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

은 두 장짜리 쌍곡면이다. 두 식 모두 양의 제곱항과 음의 제곱항을 함께 가지므로 부정부호 이차 형식과 관련된다.

동차 방정식

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0$

은 원점을 꼭짓점으로 하는 이차 원뿔을 나타낸다. 이는 같은 부정부호 이차 형식의 영점 집합이다. 실수 부정부호 이차 형식은 0이 아닌 등방성 벡터를 가지므로, 그 영점 집합이 비자명한 원뿔을 이룬다.

포물면은 퇴화된 이차 형식 부분과 선형항이 함께 나타날 때 생긴다. 예를 들어

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

은 타원 포물면이고,

$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$

은 쌍곡 포물면이다. 두 경우 모두 $z$ 방향으로는 2차항이 없고, 선형항이 남아 있다.

또한 어떤 변수가 방정식에 나타나지 않으면 원기둥형 이차 곡면이 나타난다. 예를 들어

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

은 $z$ 방향으로 뻗은 타원기둥이다. 이는 3변수 이차 형식이 실제로는 두 변수에만 의존하는 경우로 볼 수 있다.

부호수와 모양

실수 이차 형식의 부호수는 그 기하학적 모양을 이해하는 데 직접적인 정보를 준다. 비퇴화 실수 이차 형식은 적당한 좌표에서

$x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}$

의 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 $(p,q)$는 양의 제곱항과 음의 제곱항의 수이다.

$q=0$이면 이차 형식은 양의 정부호이고, $Q(x)=1$의 해집합은 타원체형이다. 표준형에서는

$x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$

이 되어 구면을 나타낸다.

반대로 $p>0$이고 $q>0$이면 이차 형식은 부정부호이다. 이 경우

$Q(x)=0$

은 0이 아닌 해를 가지며, 원뿔형 영점 집합을 만든다. 또한 $Q(x)=1$ 또는 $Q(x)=-1$의 해집합은 쌍곡면형 공간이 된다.

이 관점은 민코프스키 공간에서도 중요하다. 예를 들어

$Q(t,x,y,z)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

는 부호수 $(1,3)$를 갖는 실수 이차 형식이다. 방정식

$Q(t,x,y,z)=0$

은 빛원뿔이라고 불리는 원뿔형 집합을 만들며, 이 이차 형식을 보존하는 변환들은 로런츠 군과 관련된다.

퇴화된 이차 형식은 0인 제곱항 방향을 가진다. 이 경우 레벨 집합은 어떤 방향으로 평평하게 뻗거나, 원기둥처럼 나타나거나, 더 낮은 차원의 이차 곡면으로 퇴화될 수 있다. 따라서 실수 이차 곡면의 대략적인 모양은 이차 형식의 부호수와 랭크를 통해 설명된다.

접평면과 극성

이차 형식은 이차 초곡면의 접공간을 설명하는 데도 사용된다. 표수 2가 아닌 체 위에서 이차 형식 $Q$의 대응하는 대칭 쌍선형 형식을

$\beta _{Q}(u,v)={\frac {1}{2}}{\bigl (}Q(u+v)-Q(u)-Q(v){\bigr )}$

라고 하자. 사영 이차 초곡면

$Q(x)=0$

위의 점 $[v]$에서, $[v]$가 특이점이 아니라면 접초평면은

$\beta _{Q}(v,x)=0$

으로 주어진다.

예를 들어 실수 사영평면의 원뿔 곡선

$Q(X,Y,Z)=X^{2}+Y^{2}-Z^{2}$

을 생각하자. 점 $v=(1,0,1)$는 이 곡선 위에 있다. 대응하는 대칭 쌍선형 형식은

$\beta _{Q}((X,Y,Z),(X',Y',Z'))=XX'+YY'-ZZ'$

이므로, $[1:0:1]$에서의 접선은

$X-Z=0$

이다.

아핀 방정식

$F(x)=x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c=0$

에 대해서도 비슷한 식이 성립한다. 점 $p$가 매끄러운 점이면 그 점에서의 접초평면은

$(2Ap+b)^{\mathsf {T}}(x-p)=0$

이다. 이 식은 일반적인 미분계산으로 얻을 수 있으며, 이차 형식의 행렬 $A$가 접평면의 방향을 결정한다는 것을 보여 준다.

사영기하학에서는 이와 관련하여 극성(영어: polarity)이라는 개념도 사용된다. 비퇴화 이차 형식 $Q$는 사영공간의 한 점 $[v]$에 초평면

$\beta _{Q}(v,x)=0$

을 대응시킨다. 점이 이차 초곡면 위에 있으면 이 초평면은 그 점에서의 접초평면이 되고, 점이 이차 초곡면 밖에 있으면 그 점의 극초평면으로 해석된다.

일반 2차식과 이차 형식의 관계

아핀기하학에서 나타나는 일반 2차식은 이차 형식 그 자체는 아니다. 예를 들어

$x^{2}+y^{2}+2x-1$

은 1차항과 상수항을 포함하므로 이차 형식이 아니다. 그러나 한 변수를 더 도입하여 동차화하면 이차 형식으로 만들 수 있다.

일반적으로

$F(x)=x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c$

를 아핀공간의 2차식이라고 하자. 사영좌표

$[X_{0}:X_{1}:\cdots :X_{n}]$

를 사용하고 $x_{i}=X_{i}/X_{0}$라고 놓으면, $F$의 동차화는

${\widetilde {F}}(X_{0},X)=X^{\mathsf {T}}AX+X_{0}b^{\mathsf {T}}X+cX_{0}^{2}$

이다. 이는 $n+1$변수 이차 형식이다.

따라서 아핀 이차 곡면은 사영공간 안의 이차 초곡면을 하나의 아핀부분에서 본 것으로 이해할 수 있다. 이 관점에서는 타원, 포물선, 쌍곡선뿐 아니라 타원체, 쌍곡면, 포물면도 모두 이차 형식이 정의하는 사영 이차 초곡면의 서로 다른 아핀 표현으로 볼 수 있다.

응용

이차 형식은 여러 수학 분야에서 “제곱 길이”, “2차 근사”, “대칭적인 짝짓기”, “정수 표현”을 나타내는 기본 언어로 사용된다. 같은 식이라도 계수체나 계수환에 따라 서로 다른 의미를 가지므로, 응용 분야에 따라 실수 계수 이차 형식, 복소수 계수 이차 형식, 유리수 계수 이차 형식, 정수 계수 이차 형식, 유한체 위의 이차 형식 등이 각각 다른 방식으로 쓰인다.

선형대수학과 행렬 이론

선형대수학에서 이차 형식은 대칭행렬과 밀접하게 연결된다. 실수 대칭 행렬 $A$가 주어지면

$Q(x)=x^{\mathsf {T}}Ax$

는 실수 벡터 공간 위의 이차 형식이다. 복소수 해석이나 통계학에서는 이와 유사하게 $x^{\ast }Ax$ 꼴의 에르미트 형식도 자주 사용되지만, 이는 복소 변수의 켤레를 포함하므로 엄밀한 의미의 복소수 계수 이차 형식과는 구별된다. 반대로 표수 2가 아닌 체 위에서는 기저를 고정했을 때 이차 형식이 대칭 행렬과 일대일로 대응한다. 따라서 이차 형식의 성질은 행렬의 랭크, 행렬식, 고윳값, 고유벡터, 대각화와 직접 연결된다.

예를 들어 실수 대칭 행렬 $A$에 대하여 $x^{\mathsf {T}}Ax$가 양의 정부호일 필요충분조건은 $A$의 모든 고윳값이 양수인 것이다. 이 조건은 양의 정부호 행렬을 판정하는 여러 방법, 예를 들어 실베스터 판정법과 관련된다. 또한 레이리 몫

$R_{A}(x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Ax}{x^{\mathsf {T}}x}}\qquad (x\neq 0)$

은 대칭 행렬의 고윳값을 변분적으로 해석하는 데 사용된다. 특히 레이리 몫의 최댓값과 최솟값은 각각 가장 큰 고윳값과 가장 작은 고윳값에 해당한다.

이차 형식은 내적 공간의 구조를 나타내는 데도 쓰인다. 유클리드 공간의 표준 내적에서 유도되는 이차 형식

$Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

은 벡터의 길이의 제곱이다. 더 일반적으로 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식은 내적을 정의하고, 그에 대응하는 이차 형식은 노름의 제곱을 준다. 부정부호 이차 형식은 보통의 유클리드 기하학과는 다른 직교성 및 거리 개념을 만들며, 이는 민코프스키 공간이나 로런츠 기하학에서 중요하다.

최적화와 수치해석

최적화에서 이차 형식은 가장 기본적인 비선형 목적함수로 나타난다. 일반적인 이차 함수는

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c$

의 꼴로 쓸 수 있으며, 여기서 $x^{\mathsf {T}}Ax$가 이차 형식 부분이다. 행렬 $A$가 양의 준정부호이면 $f$는 볼록 함수이고, $A$가 양의 정부호이면 $f$는 엄밀한 볼록 함수가 된다. 이 경우 전역 최솟값이 존재하면 유일하다.

제약 조건 아래에서 이차 함수를 최적화하는 문제를 이차 계획법이라고 한다. 예를 들어

${\text{minimize }}{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x$

를 선형 등식 또는 부등식 제약 아래에서 푸는 문제가 대표적이다. 이차 계획법은 통계학, 공학, 경제학, 기계학습 등에서 널리 쓰인다.

최소제곱법도 이차 형식과 직접 관련된다. 행렬 $M$과 벡터 $y$가 주어졌을 때

$\|Mx-y\|^{2}=(Mx-y)^{\mathsf {T}}(Mx-y)$

를 최소화하는 문제는

$x^{\mathsf {T}}M^{\mathsf {T}}Mx-2y^{\mathsf {T}}Mx+y^{\mathsf {T}}y$

라는 이차 함수를 최소화하는 문제이다. 여기서 $M^{\mathsf {T}}M$은 양의 준정부호 행렬이며, 적절한 조건 아래에서 정규방정식

$M^{\mathsf {T}}Mx=M^{\mathsf {T}}y$

가 얻어진다.

수치해석에서도 양의 정부호 이차 형식은 중요하다. 예를 들어 켤레기울기법은 양의 정부호 선형계

$Ax=b$

를 푸는 방법으로, 이는 이차 함수

${\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax-b^{\mathsf {T}}x$

를 최소화하는 문제와 동치이다. 따라서 이차 형식은 선형방정식의 반복해법, 조건수 분석, 안정성 분석에도 나타난다.

수론

수론에서 이차 형식은 정수가 어떤 모양의 식으로 표현되는지를 연구하는 핵심 도구이다. 정수 계수 이차 형식 $Q$가 정수 $m$을 표현한다는 것은

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=m$

을 만족하는 정수해 $(x_{1},\dots ,x_{n})$가 존재한다는 뜻이다. 이러한 문제는 고대의 피타고라스 수 문제에서부터 현대의 산술기하학에 이르기까지 이어진다.

가장 고전적인 예는

$x^{2}+y^{2}$

이다. 어떤 양의 정수가 두 제곱수의 합으로 표현될 수 있는지를 묻는 문제는 페르마 두 제곱수 정리와 관련된다. 또

$x^{2}-ny^{2}$

와 같은 이차 형식은 펠 방정식, 연분수, 이차 수체의 단위군과 관련된다. 네 변수 형식

$w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

가 모든 양의 정수를 표현한다는 사실은 라그랑주의 네 제곱수 정리이다.

유리수 계수 이차 형식의 경우에는 국소-대역 원리가 중요한 역할을 한다. 하세-민코프스키 정리에 따르면, 유리수체 위의 두 이차 형식이 서로 동치인지, 또는 어떤 이차 형식이 0이 아닌 유리수해를 갖는지는 실수체와 모든 p진수체 위에서의 정보를 통해 판정할 수 있다. 이 정리는 이차 형식이 수론에서 국소적 방법과 대역적 방법을 연결하는 대표적인 예임을 보여 준다.

정수 계수 이차 형식에서는 상황이 더 복잡하다. 정수해를 요구하면 유리수해가 존재하는 것보다 훨씬 강한 조건이 되며, 모든 국소 조건이 성립해도 정수해가 없을 수 있다. 이 때문에 정수 계수 이차 형식의 이론에서는 종수, 스피너 종수, 질량 공식, 표현 수 등이 중요한 역할을 한다.

세타 함수와 모듈러 형식

양의 정부호 정수 계수 이차 형식은 세타 함수를 통해 모듈러 형식과 연결된다. 예를 들어 정수 격자 $\Lambda$ 위의 양의 정부호 이차 형식 $Q$가 주어졌을 때, 복소수 $\tau$의 허수부가 양수인 영역에서

$\theta _{Q}(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{2\pi iQ(x)\tau }$

와 같은 급수를 생각할 수 있다. 이 함수는 적절한 조건 아래에서 모듈러 변환에 대해 좋은 변환 법칙을 만족한다.

세타 함수의 푸리에 전개에서 계수는 이차 형식의 표현 수와 관련된다. 실제로

$r_{Q}(m)=\#\{x\in \Lambda :Q(x)=m\}$

라고 하면, 세타 함수는 형식적으로

$\theta _{Q}(\tau )=\sum _{m\geq 0}r_{Q}(m)e^{2\pi im\tau }$

처럼 쓰인다. 따라서 이차 형식이 어떤 정수를 몇 가지 방식으로 표현하는지를 모듈러 형식의 계수를 통해 연구할 수 있다.

이 관점은 고전적인 세타 함수뿐 아니라 힐베르트 모듈러 형식, 지겔 모듈러 형식, 야코비 형식 등으로 확장된다. 특히 양의 정부호 격자의 세타 급수는 격자의 산술적 성질과 모듈러 형식의 해석적 성질을 연결한다.

격자 이론과 수의 기하학

양의 정부호 정수 계수 이차 형식은 격자의 노름 제곱으로 해석할 수 있다. 유클리드 공간의 격자 $\Lambda$와 내적 $(\ ,\ )$가 주어지면

$Q(v)={\frac {1}{2}}(v,v)$

또는

$Q(v)=(v,v)$

와 같은 함수가 정수값을 갖는 이차 형식이 될 수 있다. 이때 짧은 벡터, 격자의 행렬식, 최소 노름, 쌍대 격자 등은 모두 이차 형식의 성질과 관련된다.

수의 기하학에서는 정수점과 볼록체, 격자의 부피, 최소 벡터를 연구하는데, 이때 양의 정부호 이차 형식은 타원체 모양의 영역을 정의한다. 예를 들어

$Q(x)\leq c$

꼴의 부등식은 유클리드 공간 안의 타원체를 나타내며, 이 영역 안에 존재하는 격자점의 개수를 추정하는 문제는 수론적 정보를 준다.

격자 이론의 대표적인 예로는 $E_{8}$ 격자와 리치 격자가 있다. 이들은 각각 8차원과 24차원에서 매우 대칭적인 양의 정부호 격자이며, 구면 채우기, 유한군, 코드 이론과 깊게 관련된다. 이러한 격자의 노름 형식은 정수 계수 이차 형식의 중요한 예이다.

코드 이론에서도 이차 형식은 자연스럽게 나타난다. 유한체 위의 이차 형식과 쌍선형 형식은 자기쌍대 코드, 무게 열거자, 격자 구성과 연결된다. 특히 일부 격자는 오류정정 코드로부터 구성될 수 있으며, 이때 코드의 조합론적 성질이 격자의 이차 형식에 반영된다.

현대 격자 기반 암호에서는 격자에서 짧은 벡터를 찾는 문제나 가까운 벡터를 찾는 문제가 중요하다. 이러한 문제들은 보통 격자 위의 노름, 즉 양의 정부호 이차 형식의 값을 최소화하는 문제로 표현된다. 따라서 이차 형식은 암호학의 계산적 문제와도 관련된다.

미분기하학과 해석학

미분기하학에서 이차 형식은 각 점의 접공간 위에 나타난다. 리만 다양체의 리만 계량은 각 점 $p$에서 접공간 $T_{p}M$ 위의 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식

$g_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$

을 주는 구조이다. 이에 대응하는 이차 형식

$v\mapsto g_{p}(v,v)$

는 접벡터 $v$의 길이의 제곱을 나타낸다.

리만 계량이 양의 정부호인 반면, 준 리만 다양체나 로런츠 다양체에서는 계량이 부정부호 이차 형식으로 나타난다. 예를 들어 상대성이론의 시공간에서 사용되는 로런츠 계량은 각 접공간 위의 부호수 $(1,3)$ 또는 $(3,1)$의 이차 형식으로 볼 수 있다. 이 경우 영벡터는 빛의 진행 방향과 관련된다.

부분다양체 이론에서도 이차 형식이 나타난다. 제2 기본 형식은 부분다양체가 주변 공간 안에서 어떻게 휘어져 있는지를 나타내는 대칭 쌍선형 형식이며, 각 법선 방향에 대해 이차 형식으로 해석될 수 있다. 곡면 이론에서 주곡률, 평균곡률, 가우스 곡률은 이러한 이차 형식과 관련된다.

해석학에서는 다변수 함수의 임계점 근방에서 이차 형식이 함수의 2차 근사를 제공한다. 매끄러운 함수 $f$의 임계점 $p$에서 헤세 행렬 $H_{f}(p)$가 주어지면,

$f(p+h)=f(p)+{\frac {1}{2}}h^{\mathsf {T}}H_{f}(p)h+{\text{고차항}}$

으로 전개된다. 이때 헤세 행렬이 정의하는 이차 형식의 정부호성은 $p$가 국소 최솟값인지, 국소 최댓값인지, 안장점인지를 판정하는 데 쓰인다.

모스 이론에서는 비퇴화 임계점 근방에서 함수가 적당한 좌표계에 대해

$f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\lambda }^{2}+x_{\lambda +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

의 꼴로 표현된다. 여기서 음의 제곱항의 수 $\lambda$는 임계점의 모스 지표이며, 이는 해당 임계점에서 헤세 이차 형식의 부호수와 같다.

위상수학

위상수학에서는 특히 4차원 다양체의 교차 형식이 중요하다. 닫힌 방향 있는 4차원 다양체 $M$에 대하여, 2차 호몰로지 군 $H_{2}(M;\mathbb {Z} )$ 위에는 두 2차원 주기가 서로 몇 번 교차하는지를 나타내는 정수값 쌍선형 형식이 정의된다. 적절한 조건 아래에서 이 형식은 유니모듈러 정수 형식이 된다.

교차 형식은 4차원 다양체의 중요한 불변량이다. 예를 들어 교차 형식의 부호수는 다양체의 부호수를 정의하며, 이는 여러 위상수학적·미분위상수학적 정리에서 사용된다. 또한 짝수 형식과 홀수 형식의 구별은 스핀 구조와 관련된다.

표수 2의 이차 형식도 위상수학에 나타난다. 예를 들어 어떤 쌍선형 형식의 이차 정련은 아르프 불변량을 정의하는 데 사용된다. 이러한 개념은 곡면, 매듭, 4차원 다양체의 연구에서 나타난다.

대수기하학

대수기하학에서 이차 형식은 사영 공간 안의 이차 초곡면을 정의한다. 앞에서 본 것처럼, 체 $K$ 위의 0이 아닌 이차 형식

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})$

은 사영공간 $\mathbb {P} _{K}^{n-1}$ 안에서

$Q(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

이라는 이차 초곡면을 만든다.

이차 초곡면은 대수기하학에서 가장 기본적인 사영다양체 가운데 하나이다. 선형공간 다음으로 단순한 비선형 예시이면서도, 계수체에 따라 유리점의 존재와 분류가 달라지기 때문에 산술기하학에서도 중요하다. 실제로 사영 이차 초곡면이 $K$-유리점을 갖는다는 것은 대응하는 이차 형식이 $K$ 위에서 0이 아닌 등방성 벡터를 갖는다는 것과 같다.

비퇴화 이차 초곡면의 기하학은 이차 형식의 비트 분해와도 관련된다. 예를 들어 이차 초곡면 위에 놓인 선형 부분공간의 최대 차원은 대응하는 이차 형식의 비트 지표와 연결된다. 따라서 이차 형식의 대수적 분류는 이차 초곡면의 기하학적 성질을 설명하는 데 사용된다.

리 이론과 직교군

이차 형식은 리 군과 리 대수에서도 중요한 역할을 한다. 주어진 이차 형식 $Q$를 보존하는 선형변환들의 군

$O(V,Q)=\{T\in \operatorname {GL} (V):Q(Tv)=Q(v)\}$

은 직교군이다. 실수 표준 양의 정부호 이차 형식의 직교군은 $O(n)$이고, 부호수 $(p,q)$의 이차 형식의 직교군은 $O(p,q)$이다.

직교군은 이차 형식의 대칭성을 나타내는 군이다. 예를 들어 $O(n)$은 유클리드 공간의 원점 고정 등거리 변환군이고, $O(1,3)$은 상대성이론에서 나타나는 로런츠 군과 밀접하게 관련된다. 행렬 조건으로는

$C^{\mathsf {T}}AC=A$

를 만족하는 가역 행렬 $C$들의 군으로 나타난다.

리 대수 이론에서는 킬링 형식이 중요한 예이다. 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식은

$B(X,Y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} X\operatorname {ad} Y)$

로 정의되는 대칭 쌍선형 형식이다. 이에 대응하는 이차 형식

$X\mapsto B(X,X)$

은 리 대수의 구조를 연구하는 데 사용된다. 특히 반단순 리 대수의 이론에서 킬링 형식은 중심적인 역할을 한다.

클리퍼드 대수와 스핀 군

이차 형식 $Q$가 주어진 벡터 공간 $V$로부터 클리퍼드 대수를 만들 수 있다. 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cl} (V,Q)$는 대략적으로, 모든 $v\in V$가

$v^{2}=Q(v)1$

을 만족하도록 만든 결합대수이다. 이 대수는 이차 형식의 정보를 비가환 대수의 구조로 옮긴 것이다.

클리퍼드 대수는 직교군의 이중덮개와 관련된다. 특히 스핀 군과 핀 군은 클리퍼드 대수 안에서 정의되며, 이들은 직교군의 표현론과 기하학에서 중요한 역할을 한다. 스핀 구조, 디랙 연산자, 스핀 표현 등은 모두 이차 형식과 클리퍼드 대수를 바탕으로 한다.

이차 형식은 합성 대수의 정의에도 나타난다. 대수 $A$ 위의 이차 형식 $Q$가

$Q(xy)=Q(x)Q(y)$

를 만족하면, $Q$는 곱셈과 양립하는 노름으로 볼 수 있다. 실수, 복소수, 사원수, 팔원수의 노름은 이러한 관점에서 이해할 수 있는 대표적인 예이다.

통계학과 확률론

통계학에서 이차 형식은 다변량 정규분포, 최소제곱법, 분산분석, 카이제곱 분포 등에서 기본적으로 나타난다. 평균이 $\mu$이고 공분산 행렬이 $\Sigma$인 다변량 정규분포의 밀도 함수에는

$(x-\mu )^{\mathsf {T}}\Sigma ^{-1}(x-\mu )$

라는 이차 형식이 들어간다. 이 값은 평균으로부터의 거리를 공분산 구조에 맞게 측정한 것으로, 마할라노비스 거리의 제곱이다.

표준정규벡터 $Z\sim N(0,I_{n})$에 대해

$Z^{\mathsf {T}}Z=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{n}^{2}$

는 자유도 $n$의 카이제곱 분포를 따른다. 더 일반적으로 대칭 행렬 $A$에 대한 확률변수

$Z^{\mathsf {T}}AZ$

는 정규벡터의 이차 형식이며, 그 분포는 $A$의 고윳값과 관련된다. 특히 $A$가 랭크 $r$인 사영행렬이면 $Z^{\mathsf {T}}AZ$는 자유도 $r$의 카이제곱 분포를 따른다.

선형 회귀 분석에서도 이차 형식이 나타난다. 잔차제곱합은

$\|y-X{\hat {\beta }}\|^{2}$

의 꼴이며, 이는 관측값 벡터 $y$에 대한 이차 형식으로 볼 수 있다. 분산분석과 가설검정에서 사용되는 여러 검정통계량은 이러한 이차 형식의 분포를 이용한다.

물리학

물리학에서 이차 형식은 에너지, 거리, 작용의 2차 근사, 시공간 간격 등을 나타내는 데 쓰인다. 고전역학에서 조화진동자의 위치 에너지와 운동 에너지는 각각 좌표와 속도에 대한 양의 정부호 이차 형식으로 표현된다. 더 일반적인 작은 진동 문제에서도 평형점 근방의 퍼텐셜 에너지는 헤세 행렬이 정의하는 이차 형식으로 근사된다.

특수 상대성이론에서는 시공간 간격이 부정부호 이차 형식으로 나타난다. 예를 들어 부호 관습에 따라

$Q(t,x,y,z)=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

또는 그 음수로 쓸 수 있다. 이 이차 형식을 보존하는 선형변환은 로런츠 변환이며, 그 군은 로런츠 군이다. 방정식 $Q=0$은 빛원뿔을 정의하고, 시간꼴·공간꼴·빛꼴 벡터의 구별은 이 이차 형식의 부호에 의해 결정된다.

양자역학과 장론에서도 이차 형식은 선형화된 이론이나 가우스 적분에 나타난다. 예를 들어 조화진동자, 자유장, 섭동 이론의 2차 작용은 적절한 함수공간 위의 이차 형식으로 해석될 수 있다. 이러한 경우 이차 형식의 부호와 퇴화성은 안정성, 제약 조건, 대칭성의 존재와 관련된다.

역사

고대 수학에서의 이차 형식

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 $x^{2}+y^{2}$의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 $x^{2}-ny^{2}$을 연구하는 문제이다.

19세기 이차 형식 이론

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

20세기~21세기 이차 형식 이론

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며, 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다. 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

같이 보기

• 삼차 형식
• 판별식
• 하세-민코프스키 정리
• 이차 초곡면
• 제곱 유군
• 비트 환

참고 문헌

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외부 링크

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