Sferoïde

Oblate sferoïde

Prolate sferoïde

Een sferoïde is een kwadratisch oppervlak in de vorm van een omwentelingsellipsoïde, dat wil zeggen een omwentelingsfiguur van een ellips. Een ellipsoïde waarvan twee stralen gelijk zijn, is een sferoïde. Als de twee gelijke stralen groter zijn dan de derde, wordt ze een oblate sferoïde genoemd. Bij een prolate sferoïde zijn de twee gelijke stralen kleiner dan de derde.

In de geodesie was er in de achttiende eeuw een wetenschappelijke discussie of de Aarde oblaat (volgens Isaac Newton en Christiaan Huygens) of prolaat (volgens René Descartes en Jacques Cassini) van vorm was. Nauwkeurige breedtegraadmetingen tijdens expedities van de Franse academie van wetenschappen naar Lapland en Peru toonden aan dat de aarde oblaat is met een afplatting van ongeveer 1/300.

De referentie-ellipsoïde, die de vorm van de Aarde benadert, is een voorbeeld van een sferoïde. Ondanks dat sferoïde preciezer is, wordt het meestal een ellipsoïde genoemd. Het is een omwentelingsellipsoïde. Een dergelijke benadering is bij nauwkeurige berekeningen vanwege de afplatting van de Aarde een betere beschrijving voor de vorm van de Aarde dan een bol. De Aarde is aan de polen platter dan aan de evenaar.

Volume

Het volume van een prolate sferoïde is:

$V={\frac {4}{3}}\pi ab^{2}$

Voor het volume van een oblate sferoïde geldt:

$V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b$

Waarin:

• $a$ de grootste straal is en
• $b$ de kortste straal

Oppervlakte

Het oppervlak van een prolate sferoïde is:

$A=2\pi b^{2}+{\frac {2\pi a^{2}b}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\operatorname {asin} \left({\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\right)$

De oppervlakte van een oblate sferoïde is:

$A=2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{e}}\operatorname {ln} \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)$

Hierbij is de ellipsiteit e, ook excentriciteit of afplatting genoemd:

$e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$, met $b<a$

De term afplatting wordt echter ook gebruikt voor de alternatieve grootheid

$f={\frac {a-b}{a}}$

Voetnoten