0!がなぜ1

0!がなぜ1なのか、ずっと引っかかっていた。

公式を覚えればいい話なんだけど、それじゃ気持ちが収まらなくて、自分で番号を負の方向に延ばしてみることにした。1番目、2番目、3番目…とあるなら、逆に0番目、-1番目もあっていいはずじゃないかと。

最初は「2番目」を-3にしてみたんだけど、これがすぐに矛盾した。前の対応表ではもう2番目は別の数に決まっていたから、同じ「番目」というラベルを別の意味で使い回してしまっていたのに気づいて、そこは全部消した。

何度か数え直して、ようやく気づいたのは、そもそも「番目」って1から始まるものだと自分が勝手に思い込んでいただけだったということ。数学的な必然じゃなくて、単なる約束事だったんだなと。0番目が存在しないのは決まりだからで、証明できることじゃない。

そこまで来て、初めて0!の話とつながった。0番目という概念自体を誰も知らない、というか元々そう決めていないんだから、0!が何かも当然わからない。でも数学の中では0!=1と決められている。つまりこれも「たまたまそう決まっている」というだけで、そこに深い理由を探しても見つからないタイプの話だったんだと理解した。

答えを覚えるだけなら一瞬で終わる話だったけど、自分で番号のルールを壊してみて、どこで壊れるのかを確かめてからのほうが、ずっと納得できた気がする。