コラッツ予想の圏論的アプローチ　その2

コラッツ予想は「1を根とする逆コラッツ部分写像圏が、奇数自然数全体を生成するか」という問題に変換できる。

圏論化の本質は

射を自由に作るのではなく、合同条件によって許された射だけを持つ部分写像圏を作ること

逆コラッツ操作として、次の2つを考えます。

D(m) = 2m

U(m) = (m - 1) / 3

ただし、D はいつでも使えますが、U はいつでも使えるわけではありません。

U が使えるのは、m を 6 で割った余りが 4 のときだけです。

たとえば、

U(4) = 1
U(10) = 3
U(16) = 5

は有効です。

一方で、

U(2)
U(8)

は自然数にならないので、コラッツ圏の射としては認めません。

ここが重要です。

コラッツ圏論の本質は、D や U という操作を自由に合成することではありません。

その時点の数に対して、合同条件を満たす操作だけを「合法な射」として認めることです。