横浜国立大学2008年：２つの直線と軌跡

問題

原点をOとする$${xy}$$ 平面上に，２直線 $${\ell_1 \ : \ y=mx,\ \ell_2 \ : \ y=-mx}$$ がある。ただし，$${m > 1 }$$ とする。$${\ell_1}$$ 上に点P$${(s,\ ms)}$$，$${\ell_2}$$ 上に点Q$${(t,\ -mt)}$$ を $${s \neq 0,\ t \neq 0}$$ となるようにとる。Pを通り$${\ell_1}$$ に垂直な直線と，Qを通り$${\ell_2}$$ に垂直な直線の交点をRとする。　
(1) Rの座標を求めよ。
(2) PQとORが平行となるようにP, Q を動かすとき，R の軌跡を求めよ。

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軌跡の問題は，まず問題の状況を図にして条件を考えるのが基本的なアプローチなのですが，この問題は，珍しく「図を描いてもあまり役立たない」例です。
見出し画像がその図の例です。(1) はこの図で計算できますが，(2) のRの軌跡をイメージするのは困難でしょう。その理由を，P，Qをいろいろなところにとって調べましょう。

リンク先を開くと次のような画面が出ます。右に４つのボタンがあります。このボタンが表示されない場合は再読み込みしてください。

はじめは(2)の条件がありませんので，P,Qは直線上を自由に動けます。ドラッグしてみましょう。また，直線の傾きは青い点をドラッグすると変えられます。

しかし，(2) の条件を満たすようにしようとすると，ほとんど不可能です。あるPの位置に対して，条件を満たすQを置くことはできますが，Pを動かしたら平行ではなくなってしまうので，Qを置き直さなければなりません。これでは軌跡をイメージするのは無理でしょう。
それでも、計算だけならできますので，結果は出せます。
ちょっと計算してみましょう。

(1) の設問，点Rの座標は$${\left( \dfrac{1}{2}(m^2+1)(s+t),\ \dfrac{1}{2m}(m^2+1)(s-t)\right)}$$ になります。
すると，条件 PQ//OR から，直線PQとORの傾きが等しいとおけば，$${t}$$ を $${s}$$ で表すことができます。このとき，$${t=\dfrac{1 \pm m}{1 \mp m}s}$$ となるので，２通りの場合があることがわかります。
それが，ボタン「PQ//ORにする：その１」と「PQ//ORにする：その２」です。これを選ぶと，P，QのうちPだけが可動点になります。次の図，左がその１，右がその２です。

これで常に PQ//OR になるので，Rの軌跡もわかるでしょう。「軌跡表示」ボタンで軌跡が表示されます。 $${y=x}$$ と $${y=-x}$$ ですが， 原点は除かれます。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。