東京大学2009年：２つの円

問題

座標平面において原点を中心とする半径２の円を$${C_1}$$ とし，点$${(1,\ 0)}$$ を中心とする半径１の円を$${C_2}$$ とする。また，点$${(a,\ b)}$$ を中心とする半径$${t}$$の円$${C_3}$$ が$${C_1}$$ に内接し，かつ$${C_2}$$に外接すると仮定する。ただし，$${b}$$ は正の実数とする。
(1) $${a,\ b}$$ を$${t}$$ を用いて表せ。また，$${t}$$ がとりうる値の範囲を求めよ。
(2) $${t}$$ が(1) で求めた範囲を動くとき，$${b}$$ の最大値を求めよ。

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(1) は(2) の導入になっています。これがなくて「$${b}$$ の最大値を求めよ」であっても，軌跡の問題だと思えば，(1) はやるところでしょう。
まず，図を描いてみましょう。（見出し画像）
これに，補助線を引けば(1)はできそうですね。補助線がなくてもよいのですが，あるとイメージしやすいでしょう。つまり，円の中心を結んだ線を引くのです。

リンク先を開くと次の画面になります。

まずはこの図で考えましょう。
緑の点をドラッグすると状況がわかります。
「補助線 ON/OFF」ボタンを押すと，円の中心を結んだ補助線が引かれますので，何を計算すればよいかがわかるでしょう。
軌跡を求める問題ではないので(1) ができれば$${b}$$ の最大値はわかるわけですが，(1) が，点$${(a,\ b)}$$の軌跡の媒介変数表示ということになります。「軌跡 ON/OFF」ボタンを押すと軌跡が表示されます。一見，円に見えますが，円ではありません。問題にはありませんが，この軌跡の方程式（媒介変数表示でなく，$${x,y}$$ の式）を求めてみてもよいでしょう。

答は，$${a=2-3t,\ b=\sqrt{-8t^2+8t}, \ (0 < t < 1)}$$ で，最大値は$${\sqrt{2}}$$ です。

※図はCinderella（CindyJS）で作成しています。