【第1回】数学の未解決問題「コラッツ予想」をAIに証明させてみたら、すごいことになった

こんにちは、まめです。

「どんな正の整数から始めても、最終的に 1 に戻る」――そんな不思議な性質を持つ コラッツ予想。
ルールは驚くほど単純なのに、90年以上たった今も証明も反例も見つかっていない、数学界でも屈指の未解決問題です。

今回ふと思いました。

優秀な相棒ChatGPTと一緒に、

• 問題を徹底的に分解し

• 必要条件を数値として整理し

• 計算機で潰せる可能性をすべて洗い出す

ということをやってみました。

結論から言うと――

コラッツ予想を証明することはできませんでした。

でもその代わり、

というところまで、かなり具体的に追い詰めてしまいました。

この記事では、その過程を「数式なし・文章ベース」で紹介します。

1. そもそもコラッツ予想って何が難しいの？

コラッツ予想は、次の操作をひたすら繰り返すだけの問題です。

• 偶数なら 2 で割る

• 奇数なら 3 倍して 1 を足す

これを続けると、どんな数から始めても最終的に 1 に戻る、というのが予想の主張です。

一見すると「いつか落ち着きそう」に見えますが、

• 数が一気に増えたり

• 偶数と奇数が複雑に入り混じったり

して、理論的に扱うのがとても難しい。

そこで数学者たちは昔から、

という形に問題を言い換えてきました。

もし 1 以外の周期が見つかれば、その瞬間にコラッツ予想は崩れます。

2. 偶数を捨てて「奇数だけ」を見る

今回、AIと一緒にまずやったのは、

偶数を全部無視して、奇数だけを追いかける

という方法です。

奇数 n に対して「3n+1」を計算すると、必ず偶数になります。
それを 2 で割り続け、次に現れる奇数だけを見る。

このとき

• 何回 2 で割ったか

が重要な情報になります。

この回数の並びが、周期構造の正体です。

3. AIが異様に気にした「22」という並び

AI（そら）が特に注目したのが、

というパターンでした。

これを便宜的に 「22」パターンと呼びます。

理由は単純で、

• 1回や2回の割り算は動きが軽い

• 3回以上割ると数は一気に小さくなる

からです。

もし 1 以外の周期が存在するなら、
22 をある程度の頻度で使わないと平均が釣り合わない。

そこで「22 がどれくらい必要なのか」を、AIと一緒に理論的に縛っていきました。

4. 理論で分かったこと：22 は意外と大量に必要

計算を整理すると、次の事実が見えてきます。

• 周期が成立するには、

• 「軽い操作」と「重い操作」の平均が厳密に釣り合う必要がある

その結果、

という条件が出てきました。

さらに、

• 3回以上割る操作が少なければ少ないほど

• 22 はもっと必要になる

という関係まで分かりました。

つまり、

ということです。

5. じゃあ、そんな周期は実際に存在するの？

理論だけでは限界があるので、
ここで AI の計算能力をフルに使います。

• 割り算の情報が壊れないように工夫し

• 「強化影モデル」と呼ぶ仕組みを作り

• 膨大な状態を総当たりで調査

しました。

これは「もし本物の周期があるなら、その影が必ず見えるはず」という考えに基づく方法です。

6. 計算結果がヤバかった

AIが徹底的に調べた結果、分かったのは次のことでした。

• 非自明周期で達成できた 最大の 22 の割合は
  約 4.5%

• それ以上は、どう頑張っても出てこない

しかも、この値が出たのは、たった 1 ケースだけ。

ほとんどの場合、22 はほぼ一切使われませんでした。

つまり、

• 理論が要求する最低ライン：約 8.7%

• 計算で実現できた最大値：約 4.5%

が、完全に食い違っているのです。

7. 「証明できなかった」けど、何が分かったのか

ここで正直に言います。

でも、次のことはかなり強く言えるようになりました。

• もし 1 以外の周期が存在するなら

• 理論ギリギリまで 22 を使い

• 極端な割り算条件を満たし

• さらに例外を巧妙に回避する

とんでもなく人工的な構造でなければならない。

もはや「見落とされていただけ」というレベルではありません。

8. なぜ AI が効いたのか

重要なのは、

• AIが勝手に答えを出した

のではなく、

• 人間が考えた理論を

• AIが整理し

• AIがミスなく検証し続けた

という点です。

AIは「証明そのもの」よりも、

を暴くのに、非常に向いています。

今回の結果は、その好例でした。

おわりに

「AIにコラッツ予想を証明させてみた」というタイトルは、正直ちょっと釣りです。

でも、

• 未解決問題に

• 人間とAIが本気で挑むと

• ここまで追い詰めることはできる

というのは、本当です。

証明には届いていません。
それでも、
コラッツ予想がなぜここまで頑固なのかは、以前よりずっとクリアになりました。

※本記事は未解決問題に対する考察であり、証明を主張するものではありません。