有限／無限境界モデル D遷移観測までの総括
0｜出発点
最初の問いは、
有限は、どこから無限になるのか。
当初は「有限を大きくしていけば無限になる」と捉えていた。
しかしCollatzを最小まで戻して観測すると、操作そのものはずっと有限だった。
n → 操作 → n'
100回でも100万回でも、具体的な有限回なら有限である。
そこで問いが変わった。
無限はどこにあるのか？
↓
有限操作だけで閉じようとして、閉じなくなる地点はどこか？
1｜二種類の「無限」を分離
ここで無限を二つに分けた。
数学的無限
全有限条件を同時に扱う極限対象。
S∞、nested sets、inverse limit などの世界。
閉包不能としての無限
対象ではなく、有限操作を反復しても目的閉包へ到達しない過程の性質。
重要なのは後者を先に調べること。
したがって U∞ を研究の出発点から降ろした。
2｜A〜Pから出てきたUを再検査
A〜Pでは、
C → S → R → Im(R) → Q → P[U(Q)]
まで進み、
U = 固定した構造Qに相対して、なお残る未決定部分
というところまで来ていた。
しかし有限／無限境界を追うためUを更新列として扱おうとすると、問題が発生した。
全固定時に、
U = ∅
とも、
U = {(k0,k1)}
とも書けてしまう。
ここでUが二つの役割を背負っていたことが分かった。
3｜UをAとDへ分離
そこでUを二つに分けた。
A_r｜許容集合
その段階でまだ許容されている具体的候補の集合。
D_r｜未決定性
A_r内部で、固定済み構造Q_rに対して、なお決まっていないもの。
つまり、
A = 何が候補として残っているか
Q = 何を固定したか
D = それでも何が決まっていないか
となる。
これによって、
A3 = {(k0,k1)}
かつ
D3 = ∅
が同時に成立し、以前の混線が解消された。
4｜現在の最小観測構造
現在は、
拘束 C_r
↓
許容集合 A_r
↓
固定済み構造 Q_r
↓
未決定性 D_rとして観測する。
拘束を追加すると、
C_{r+1}
↓
A_{r+1} ⊆ A_r
Q_{r+1} は固定内容が増える
D_r → D_{r+1}という変化を観測できる場合がある。
ただし、まだ一般則Fは仮定しない。
5｜P系列の現物観測
valuation pair の像を段階的に固定した。
A0 = Im(R_B)
↓
A1 = branch I2 / I4 を固定
↓
A2 = k1 を固定
↓
A3 = (k0,k1) を一点固定この系列では、
A0 ⊇ A1 ⊇ A2 ⊇ A3
が成立する。
一方Dは、
D0 = branch＋座標値が未決定
↓
D1 = branch内の座標値が未決定
↓
D2 = 一方の座標が未決定
↓
D3 = 未決定なしとなった。
観測
Aの縮小と同時に、Dの構造そのものが変化する。
6｜A系列の現物観測
合同条件を段階的に細かくする。
C0 : n0 ≡ a (mod M)
C1 : n0 ≡ a' (mod M')
M' はMの倍数
a' ≡ a (mod M)すると、
A1 ⊆ A0
となる。
しかしDは、
D0 = mod M の合同類内部で具体値未決定
↓
D1 = mod M' の合同類内部で具体値未決定であり、未決定性の意味は基本的に維持される。
観測
Dの型を保ったまま、Dが乗っている許容集合だけが細くなる場合がある。
7｜E系列の現物観測
終点と時刻を固定する。
C0 : T^r(n0)=m
さらに途中状態を固定する。
C1 : T^j(n0)=x かつ T^r(n0)=m
最後に始点を固定する。
すると、
D0 = 始点＋途中経路が未決定
↓
D1 = 始点／残りの経路が未決定
↓
D2 = 未決定なしとなる。
観測
未決定性が持つ内部構造の一部が、拘束によって順番に固定される場合がある。
8｜3系列を横断して見えたこと
現在までに少なくとも、
拘束追加
↓
D遷移
├→ 同じ型を保って残る A系列
├→ 構造を変えながら残る P系列
├→ 内部構造を削りながら残る E系列
└→ 消えるという違いが観測された。
まだこれを正式な「D遷移分類」とはしない。
現段階で安全に言えるのは、
拘束追加に対するDの振る舞いは一様ではない。
ということ。
9｜Aの大きさとDを分離
ここで重要なことも分かった。
Aが無限集合のままでも、Dの構造は変化できる。
したがって、
候補が無限に存在すること
と
未決定性が残っていること
は別問題である。
有限／無限境界で追うべき中心は、単純な |A| ではない。
Dがどう残るかである。
10｜有限閉包
ここから有限閉包の候補も変わる。
有限閉包とは、
Aが有限になることではなく、目的判定に必要なDが、ある有限段階で消える／無害化されること。
暫定的には、
∃ finite r : T(D_r)=true
となる地点。
一方、
何回試しても閉じなかった
ことと、
任意の有限rで閉じない
ことは全く違う。
後者まで示されて初めて「有限閉包不能」を数学的命題として検討できる。
11｜「逃げる」の現在地
以前の「逃げる」は感覚的な表現だった。
現在は、
Escape = 拘束によって現在の未決定性を削っても、次段階に目的閉包を妨げる未決定性が何らかの形で再び残る現象
という観測仮説まで具体化された。
重要なのは、
対象そのものが逃げる
とはまだ言っていないこと。
観測しているのは、
Dの残存・変化
である。
12｜Fはまだ作らない
当初は、
D_{r+1} = F(D_r,C_{r+1})
のような更新則Fを作ろうとしていた。
しかし順序を変更した。
Fを作る
ではなく、
複数のD遷移に反復可能な共通構造が存在するかを観測する。
共通構造が観測された場合にだけF候補を置く。
D遷移を集める
↓
横比較
↓
共通構造あり？
├─ NO → 単一Fを置かない
└─ YES
↓
F候補
↓
反復可能性を検査
↓
停止条件T13｜有限／無限境界の現在の候補
ここまでから、境界候補はかなり限定された。
有限／無限境界とは、巨大な有限と無限の境界ではなく、目的閉包を妨げるDが有限段階で消える構造と、何らかの遷移様式によって任意の有限段階にも残存する構造との境界ではないか。
まだ仮説である。
これを成立させるには、
Dが実際にどう遷移するか
↓
反復可能な構造が存在するか
↓
任意の有限段階で残ることを示せるか
が必要になる。
14｜現在地
研究経路は現在こうなった。
Collatz最小構造
↓
A〜P
↓
未決定部分U
↓
Uの役割混線を発見
↓
A / Q / D に分離
↓
P系列観測
↓
A系列観測
↓
E系列観測
↓
【現在地】
D遷移の現物を集める
↓
共通構造の有無を観測
↓
F候補
↓
停止条件T
↓
有限閉包
↓
有限閉包不能？
↓
──────────────
有限／無限境界？
──────────────
↓
必要なら極限対象
↓
S∞
↓
U∞？現在の核
無限を直接探さない。
有限拘束によって未決定性Dがどう変化するかを観測し、そのDが有限段階で閉じる条件と、閉じない条件を探す。
その差として有限／無限境界が立ち上がるかを検証する。
つまり今は、**「無限の研究」ではなく「有限閉包の研究」**になっている。
そして次フェーズは明確。
D遷移観測
一般化はまだしない。
Dが実際にどう残るのかを、もう少し現物で集める。
