作用側・情報境界モデル｜現在地

作用側・情報境界モデル｜現在地

1｜出発点

無限 valuation 列を

K∞ = prefix K_r + tail L

に分けると、対応する 2-adic 点は

x(K) = A_r + B_r x(L)

と書ける。

ここで

A_r = -Σ_{j=0}^{r-1} 2^{S_j}/3^{j+1}

B_r = 2^{S_r}/3^r

S_j = k0+...+k_{j-1}

したがって有限 prefix は、単なる「前半の情報」ではなく、

Φ_{K_r}(x) = A_r + B_r x

という tail状態への作用として表現できる。

2｜最初の問い

監査した結果、固定した prefix 長 r では情報損失の位置をかなり正確に特定できた。

A_r が保持する情報

A_r を整数化して

N_r = -3^r A_r

とすると、

N_r = 3^{r-1} + 3^{r-2}2^{S_1} + ... + 2^{S_{r-1}}

となる。

ここから項を順番に引き、2進付値 v2 を取ることで、

S_1 → S_2 → ... → S_{r-1}

を順次復元できる。

したがって、

k0,...,k_{r-2}

も完全復元可能。

一方、

k_{r-1}

は A_r の式そのものに登場しない。

よって、

3｜B_r が保持する情報

B_r = 2^{S_r}/3^r

なので、固定 r では S_r が読み取れる。

ただし S_r は valuation の総和なので、

つまり単独では強く lossy。

4｜A_r と B_r を合わせる

A_r から

S_1,...,S_{r-1}

を復元。

B_r から

S_r

を取得。

すると差分から、

k0 = S_1

k1 = S_2-S_1

...

k_{r-1} = S_r-S_{r-1}

まで全部戻る。

したがって、

K_r
 ↓
(A_r,B_r)
 ↓
K_r を完全復元

見た目は2係数まで圧縮されるが、prefix の情報自体は失われていない。

5｜作用側の情報損失階層

ここまでを一枚にすると、

K_r = (k0,...,k_{r-1})
        │
        ├→ A_r
        │   先頭 r−1 個：完全保持
        │   最後の1個：損失
        │
        ├→ B_r
        │   総量 S_r：保持
        │   順序：損失
        │
        └→ (A_r,B_r)
            prefix全体：完全保持
            → lossless

これで「情報を削った」という曖昧な話ではなく、

を式から追跡できるようになった。

6｜次に現れた新しい境界

単発では A_r は lossy。

ところが系列

(A_1,A_2,A_3,...)

として見ると事情が変わる。

A_r が落とした k_{r-1} は、次の A_{r+1} では内部に現れる。

つまり、

A_r
→ k_{r-1} を落とす

A_{r+1}
→ その k_{r-1} を保持

A_{r+2}
→ 次を保持
...

となる可能性がある。

したがって次の監査対象は、

ここが通れば、新しい構造が一本立つ。

単発情報
A_r
→ lossy

        ↓ 系列化

(A_1,A_2,...)
→ lossless ?

これは今まで追ってきた、

という「有限→無限＝型変換」と非常によく似た形を、情報保持そのものの側で再び観測することになる。

現在地

membership境界
→ 有限prefixでは閉じない
→ 無限列で閉じる

作用境界
→ (A_r,B_r) は lossless
→ A_r 単独は1座標lossy

次の問い
→ lossy な A_r を系列化すると、失われた情報はすべて回収されるか。

ここが次の監査点。