【第11弾】1-run生成階層図に現れる周期構造：18→54→162 ★

今回は、1-run生成階層図に現れる周期構造をもう一段掘り下げてみます。

（シリーズ全体を追う時間がない方は、第5弾、第8弾から読むのがおすすめです。）

これまでの記事で、私は
1-run生成階層図という図を手掛かりに、コラッツ写像をビット列として観察してきました。

この図を眺めていると、いくつか気になる規則が見えてきます。

まず、次の18bit列を見てみます。

000010010111101101

これを中央で分けると

000010010 | 111101101

となります。

さらに観察すると

000010010
↓（0と1を反転）
111101101

つまり後半は、前半のビット反転になっています。

記号で書けば、この18bit列は

A | ¬A

という形になっています。

このこと自体は、もしかすると単なる偶然かもしれません。
ただ、この関係は 54bit、162bit の列でも同様に見えます
（少なくとも、観察した範囲ではそうなっています）。

次に、周期を見てみます。

階層図を遡ると、周期は

18
54
162

と伸びていきます。

つまり

×3

で増えていることになります。

このことから、1-runの k ステップ前では

周期 = 2 × 3^(k−1)

という周期構造が現れているように見えます。

もちろん、これは今のところ

観察からそう見える

という段階であって、
なぜこの周期になるのかまでは説明できていません。

ただ少なくとも、

1-runが完全に突然現れるわけではなく、
その手前に何らかの構造がある

ようには見えます。

ここまでで見えているのは、

・周期が 3倍ずつ伸びること
・ビット列が **前半と後半で反転する形（A｜¬A）**になっていること

といった点です。

ただ、この構造がどこから来ているのかはまだよく分かりません。
整理していく必要がありそうです。

階層図には、他にもいくつか特徴が見えてきています。
それについては、次回以降の記事で触れていきたいと思います。

それはそれとして、疑問や質問があれば、ぜひ教えてください。
読者あっての記事なので、遠慮なくコメントしていただけるとありがたいです。