[第2回] コラッツ予想の「これだけは知っておけ」

2026年7月8日 16:54

コラッツ予想を含む$${an+b}$$問題に取り掛かるにあたって、
超重要なポイントをまとめました。

an+b問題の超重要ポイント３選

$${a=1,3}$$の場合は、大域的にみると値は減少傾向になります。

$${a \geq 5}$$の場合は、大域的にみると値は増加傾向になります。

注意点は、

・「減少傾向でも、すべての自然数が１つの値に収束するとは限らない」

・「増加傾向でも、すべての自然数が発散するとは限らない」

ということです。

証明を考えるとき、$${b=1}$$以外のケースを試しましょう！

$${3n+b}$$問題としましょう。$${b=1}$$のときがコラッツ予想です。
bが奇数ならいつでも１つの値に収束するのでしょうか？

実際に計算してみると、次のことが得られます。

・$${b=3^k\quad (k\geq 0)}$$なら$${3^k}$$に収束しそう（１つのサイクルを持ちそう）

・$${b}$$がそれ以外の奇数なら２個以上のサイクルを持ちそう

・「なぜ$${b=1}$$（あるいは$${b=3^k\quad (k\geq 0)}$$）のとき、$${3^k}$$に収束するのか？」

・「なぜ非自明なサイクルが存在しないのか？」

・「なぜ発散しないのか？」

これらが解明できてはじめてコラッツ予想の証明となります。

コラッツ予想を証明したという論文はたくさんありますが、

「$${b=1}$$じゃなくても成立してしまうよね！？」

というものがとても多かったです。

わたしも過去の研究で同じ過ちをしてしまった経験があり、

間違ったまま研究や証明を進めるのは時間がもったいない！

ということで、今回の記事を作成しました。

最後までみていただきありがとうございました！