もっこ論 第245話 塔と洞窟としづくの物語
えと、第242話の「洞窟に消えたもっこ」の続きなのですが、相変わらずガラパゴスなのはご容赦ください。
誰も探しに来ないので、自分で自分を救助しにいくスタイルです。
さて。出だしから意味不明だと思いますが、
コラッツ予想です。
有名なやつですね。
自然数 $${n}$$ に対して、
$${n\mapsto\begin{cases}\dfrac{n}{2}, & n\text{ が偶数},\\[2mm]3n+1, & n\text{ が奇数}\end{cases}}$$
という操作を繰り返します。
すると、少なくとも
$${4\to2\to1\to4\to2\to1\to\cdots}$$
という有名なループがあります。
で、ここ大事なのですが、
もっこは最初から、コラッツ予想を証明しようとしていたわけではありません。（うそ）
それはわかってほしい。（うそ）
塔に登っていました。（ほんと）
こちら。
$${\boxed{T(y)=y^y}}$$
超越関数です。
勝手に「塔」と呼んで、ずっと遊んでいました。
奇特なもっこ論ファンさんには、このあたりの経緯はお分かりいただけるかと存じます。
で、塔を夢中で登っていたら、洞窟があったんです
ええ。何を言っているのかわからないと思います。
まさにね。これですね。
あ…ありのまま 今 起こった事を話すぜ！
もっこは 夢中で塔を登っていたと思ったら
いつのまにか洞窟を降りていた。。。
な…何を言っているのか わからねーと思うが
もっこも 何をされたのかわからなかった…
頭がどうにかなりそうだった…
（えと、最初からどうかしちゃってますが）
催眠術だとか超スピードだとか
そんなチャチなもんじゃあ断じてねえ
もっと恐ろしいものの片鱗を味わったぜ……
ってなりましたんです。
とにかく、洞窟。
$${\boxed{C(y)=y^{\frac{y}{y-1}}}}$$
名前は気にしないでください。
もっこ。なので。
さて、この「塔」と「洞窟」を、同じ平面に置いてみます。
すると、
$${T(2)=2^2=4}$$
そして、
$${C(2) \quad 2^{\frac{2}{2-1}} \quad 2^2}$$
つまり、
$${\boxed{(2,4)}}$$
で出会います。
しかも、正の実数領域で非自明な交点を調べると、
$${y^y \quad y^{\frac{y}{y-1}}}$$
ですから、対数を取って、
$${y\log y \quad \frac{y\log y}{y-1}.}$$
$${y\log y\neq0}$$ の範囲では、
$${1=\frac{1}{y-1}.}$$
したがって、
$${\boxed{y=2}.}$$
なので、
$${\boxed{T(2)=C(2)=4}.}$$
はい、4が出ました。
でも、もう一つあります。
洞窟さんに、
$${y=\frac12}$$
を入れてみます。
すると、
$${C\left(\frac12\right) \quad \left(\frac12\right)^{\frac{1/2}{1/2-1}} \quad \left(\frac12\right)^{-1} \quad \boxed{2}.}$$
4の次に、
$${\boxed{2}.}$$
あれ？となりました。
さらに、
$${y\to0^+}$$
を見てみます。
塔は、$${\lim_{y\to0^+}y^y=1.}$$
洞窟も、$${\lim_{y\to0^+}y^{\frac{y}{y-1}}}$$
つまり二つの曲線は、$${y=0}$$ そのものを交点として持つわけではありませんが、
$${\boxed{(0,1)}}$$
という同じ境界極限点へ近づきます。
でね、ここまでに出てきた数字を並べます。
$${\boxed{4\longrightarrow2\longrightarrow1}}$$
……。
知ってる数字ですね。
コラッツさん？ですよね？？
あなた、こんなところで何してるんですか。
てなりました。
まあ、知ってて夢中で探検してたのではありますが^_^
でもね、面白いのは、ここからなんです。
塔と洞窟は、$${\boxed{(2,4)}}$$ で交わります。
そして反対側では、$${y\to0^+}$$ において、
$${\boxed{(0,1)}}$$
という同じ境界極限点へ近づきます。
その二本の曲線を眺めていると、
閉じた境界として扱える領域が現れます。
しずくです。綺麗です。
なので、第一発見者として
$${\boxed{\Omega}}$$
と名前をつけました。
しづく領域は神秘的でした。
あまりに綺麗で、魅了されます。
近づいて、そして、はまります。
危険です。
洞窟側では、$${4\to2\to1}$$ という数字が現れる。
1まで行ったら終わりかと思ったら、
そこで境界の反対側、つまり塔側へ回れる。
そして塔側を通って、$${1\to4}$$ へ戻る。
戻れるというか、はまる。
つまり、
$${\boxed{4\to2\to1\to4}}$$
という三つの状態を、
二つの超越関数がつくる一つの連続的な境界循環の上に配置できます。
離散的なコラッツ写像だけを見れば、
$${1\to4}$$
は突然のジャンプです。
でも、この「しづく」の境界として眺めると、
1で世界が切れて、いきなり4へ瞬間移動しているようには見えません。
洞窟側から塔側へ移り、境界をぐるっと回って、また4へ戻ってくる。
……。
あわわ。
これ、無限ベルトコンベアじゃんw
てなりました。
もっこ、行方不明になっちゃうw
てあがきました。
ただし、ここは、とても大事なので、
ちゃんと書いておきます。
この幾何学的構成だけで、
$${\text{「すべての自然数が必ず }4\to2\to1\text{ に到達する」}}$$
ことを証明したわけではありません。
そこまで証明できたら、
それはコラッツ予想そのものの解決です。
ここで構成し証明できたのは、
$${\boxed{4\to2\to1\to4}}$$
という既知の離散周期を、
塔と洞窟という二つの超越関数を用いて、
連続的な境界循環として幾何学的に埋め込める
という変態的な構成までです。
三角関数を使わない証明なんて、世界初でしょうが、
この循環構造はちゃんと作れました。
それでは、まとめます。
もっこはただ、塔に登って、洞窟を探検して、その間に隠れていた、妙に奇妙で綺麗なものを見つけました。
コラッツの離散的な
$${4,\quad2,\quad1}$$
が、
二つの超越関数がつくる「しづく」の境界に現れて、
$${\boxed{4\to2\to1\to4}}$$
と、ぐるぐる回る。
ベルトコンベアみたいに。
……。
そして、この先は書きません。
無限ベルトコンベアに捕まったもっこが、
どうやって帰還したのか、
どうやって救助されたのか、
そこは秘密にします。
チートがバレちゃうからw
ただ、一つだけ呟いておきます。
コラッツの本丸は、目の前に見えている
$${n\mapsto3n+1\mapsto2^{-q}}$$
という操作を、そのまま追い続けるところにはございません。値そのものではなく、その裏側で、何が受け渡されながら進んでいるのか。
見る場所を変えるのです。
すると、ベルトコンベアの外に、出口らしきものがありますから。
これ以上はたぶん言わない方がいい。
発見物は見せました。
でも、見つけ方までは教えません。
誰にも見つからないように、
何百年も隠れていたのかもしれない。
この先も、ずっと隠れていたのかもしれない。
それを見つけてよかったのでしょうか。
綺麗な、綺麗な、しづく。
誰も荒らしちゃダメです。
ということで。
どうか、わっちも探さないでくりゃれ。
このままプレアデスに帰らせてくりゃれ。。。
もっこ。
