方程式を「解く」とは何をしているのか――ガロア理論入門：対称性・正規部分群・可解性（⚠️随時更新）

皆さん、こんにちは
HSP×アンチ東大主義の、＠おはようございますです。

0. 学校数学の方程式観の限界

学校数学で方程式を学ぶとき、私たちはこう教わる。

• 係数が与えられる

• 計算すると解が出る

• 公式があるかどうかが重要

しかしこの見方には、決定的に欠けている視点がある。

それは
「解たちのあいだに、どのような対称性があるか」
という問いである。

1. まず用語を整理する

方程式とその解

例として、一般の3次方程式を考える。

$${f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0}$$

解を

$${\alpha,\beta,\gamma}$$

と書く。

ここで重要なのは、
$${\alpha,\beta,\gamma}$$ という名前は 単なる命名 にすぎないという点だ。

• どれが $${\alpha}$$ で、どれが $${\beta}$$ かに本質的な違いはない

• 解全体として「区別されていない」

これが 解の対称性 の出発点である。

2. 体と拡大体

体（field）

体とは、加減乗除（0で割ることを除く）が自由にできる数の集合である。

例：

• $${\mathbb{Q}}$$：有理数体

• $${\mathbb{R}}$$：実数体

• $${\mathbb{C}}$$：複素数体

拡大体

体 $${K}$$ に新しい数を加えてできた体を 拡大体 という。

例：

$${\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$$

根号拡大とは？

根号拡大 とは、

$${E\subset E(\sqrt[n]{a})}$$

の形の拡大体のこと。

• 四則演算 + 根号

• 私たちが「公式」と呼んでいる操作は、すべて根号拡大の反復

3. ここがガロアの革命（最重要）

革命前：体を直接調べていた

それまでの数学者はこう考えていた。

しかしこの方法では、5次方程式で完全に行き詰まった。

ガロアの発想転換

ガロアは、視点を 180度反転 させた。

これが革命。

4. ガロア群とは何か

自己同型

体 $${L}$$ の自己同型とは、

• 和・積を保ち

• 係数体 $${\mathbb{Q}}$$ を固定する

• $${L}$$ から $${L}$$ への写像

のこと。

ガロア群

$${\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})}$$

とは、

である。

• 群をなす

• 解の 対称性の総体

5. なぜ「正規部分群」でなければならないのか

結論

ガロア理論において部分群 $${H \le G}$$ が正規部分群でなければならない理由は、

である。

①. 基本設定

• $${K \subset L}$$：体拡大

• $${G = \mathrm{Gal}(L/K)}$$：ガロア群

• 部分群 $${H \le G}$$ に対し、固定体を

$${L^H := \{x \in L \mid \sigma(x)=x \ \forall \sigma\in H\}}$$

と定義する。

②. 正規性と固定体の関係

$${H}$$ が 正規部分群であることは、

$${gHg^{-1} = H \quad (\forall g \in G)}$$

が成り立つことを意味する。

このとき次が成り立つ：

$${g(L^H) = L^H \quad (\forall g \in G)}$$

つまり、

③. 正規でない場合に何が起こるか

$${H}$$ が正規でないとき、ある $${g \in G}$$ に対して

$${gHg^{-1} \neq H}$$

となる。

このとき、

$${g(L^H) = L^{gHg^{-1}} \neq L^H}$$

つまり、

④. これは何が「ダメ」なのか

方程式を「解ける」と言うためには、

• 解の表示が

• 係数体だけに依存し

• どの自己同型に対しても同じ形を保つ

必要がある。

しかし正規でない場合、

• ある解を基準に定義された体構造が

• 別の解では別の体構造に変わる

これは

ことを意味する。

⑤. 商群が定義できないという致命点

正規部分群でなければ

$${G/H}$$

は群にならない。

しかしガロア理論では、

$${\mathrm{Gal}(L^H/K) \cong G/H}$$

という対応が本質的である。

したがって、

• 商群が定義できない

• 次の段階のガロア群が作れない

• 拡大体の「段階構造」が壊れる

⑥. 可解性との関係

根号による解法とは、

$${\{e\} = G_n \triangleleft G_{n-1} \triangleleft \cdots \triangleleft G_0 = G}$$

という 正規部分群列で、

• 各商群$${G_{i-1}/G_i}$$ がアーベル

であることに対応する。

正規性がなければ、

• この列自体が定義できない

• 「段階的に解く」ことが不可能

⑦. まとめ

• 部分群 $${H}$$ に対応する固定体 $${L^H}$$ が
  係数体上で意味を持つためには
  群作用に対して不変でなければならない

• そのために必要十分な条件が
  $${H}$$ が正規部分群であること

• 正規でない場合、

  • 固定体が自己同型で移動する

  • 商群が定義できない

  • 方程式の解が係数だけで表せなくなる

6. なぜ「アーベル群」でなければならないのか

根号拡大と群の性質

根号拡大

$${E \subset E(\sqrt[n]{a})}$$

に対応する群の商：

$${G/H}$$

は必ず 可換（アーベル） になる。

厳密には、「1のn乗根」がすでに体に含まれている場合に限り、$${x^n - a = 0}$$ のガロア群は巡回群（アーベル群）になる。

• もし1のn乗根（$${\zeta}$$）が含まれていない場合、まず$${\zeta}$$を添加する操作が必要になり、その過程もガロア群に反映される。

• 「根号で解ける ⇔ ガロア群が可解群」という結論自体は正しいが、その内訳は「巡回群の積み重ね」である。

理由：

• 根の選び方は「巡回的」

• 巡回群は可換

非可換だと何が困るか

非可換群では：

• 操作の順序が意味を持つ

• 一貫した「公式」が作れない

つまり：

7. 可解群とは何か

群 $${G}$$ が 可解群 とは、

$${G=G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright \{e\}}$$

で、

• 各 $${G_{i+1}}$$​ は $${G_i}$$​ の正規部分群

• 商群 $${G_i/G_{i+1}}$$ はアーベル

であること。

8. 方程式が「根号で解ける」とは何か

ここで完全に一致する。

これは偶然ではない。

• 根号拡大 ⇔ アーベル商群

• 拡大体の塔 ⇔ 正規部分群の塔

構造が完全に対応している

9. なぜ5次方程式は解けないのか

一般の5次方程式のガロア群は：

$${S_5}$$​

• $${S_5}$$​ は可解でない

• 理由：内部に単純非可換群 $${A_5}$$​ を含む

結果：

10. まとめ（決定版）

• 方程式の本質は「解の対称性」

• 解くとは「対称性を段階的に破ること」

• 根号は「アーベルな対称性」しか壊せない

• 5次方程式の対称性は、それを超えている