はじめての線形代数 練習問題6
【※2/26更新】本記事はこれまで有料記事として公開しておりましたが、このたび無料公開とさせていただくことになりました。
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今回はこちらの練習問題かつ解答を解説します！
問題
基本問題
$${問題1\\A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\\行列Aを対角化させた行列Xを求めよ。}$$
$${問題2\\B=\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\\行列Bを対角化させた行列Yを求めよ。}$$
$${問題3\\C=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}\\行列Cを対角化させた行列Zを求めよ。}$$
応用問題
$${問題4.\\問1の行列Aについて、A^5を求めよ}$$
$${問題5.\\問2の行列Bについて、B^5を求めよ}$$
$${問題6.\\問3の行列Cについて、C^nを求めよ}$$
解答
問1
$${解答1.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-6\lambda +8\\=(\lambda-4)(\lambda-2)\\よって固有値は\lambda_1=4, \lambda_2=2\\\,\\\lambda_1=4のとき、\\\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x-y=0 \Leftrightarrow x=c, y=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=2のとき、\\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+y=0 \Leftrightarrow x=c, y=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}となる。\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\よって対角化するとX=P^{-1}AP\\=\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$
問2
$${解答2.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 3 - \lambda & 3 \\ 1 & 5 - \lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-8\lambda +12\\=(\lambda-6)(\lambda-2)\\よって固有値は\lambda_1=6, \lambda_2=2\\\,\\\lambda_1=6のとき、\\\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x-y=0 \Leftrightarrow x=c, y=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=2のとき、\\\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+3y=0 \Leftrightarrow x=3c, y=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}となる。(\begin{pmatrix}1\\-\frac{1}3\end{pmatrix}でも可)\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1 & 3\\1 &-1\end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\よって対角化するとY=P^{-1}BP\\=\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$
問3
$${解答3.固有値と固有ベクトルを求める。\\固有値は\\\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & 0 \\ 0 & 2 - \lambda &3\\ 2 & 2 &3 -\lambda \end{vmatrix}=-\lambda^3+6\lambda^2-5\lambda -12 \\=-(\lambda+1)(\lambda-3)(\lambda-4)\\よって固有値は\lambda_1=-1, \lambda_2=3, \lambda_3=4\\\,\\\lambda_1=-1のとき、\\\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 0 & 3 &3\\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+z=0 ,y+z=0 \Leftrightarrow x=c, y=c, z=-c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_2=3のとき、\\\begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 &3\\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+y=0 ,y-3z=0 \Leftrightarrow x=-3c, y=3c, z=c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}-3\\3\\1\end{pmatrix}となる。\\\,\\\lambda_3=4のとき、\\\begin{pmatrix} -3 & -2 & 0 \\ 0 & -2 &3\\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix}\vec{x}\sim\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\vec{x}より、\\x+z=0 ,2y-3z=0 \Leftrightarrow x=-2c, y=3c, z=2c (cは任意定数)という関係式ができるので\\固有ベクトルは\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}となる。\\固有ベクトルを並べた行列をPとすると、\\P=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 3\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}となる。また、P^{-1}=-\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -3 & -4 & 3 \\ 5 & 0 & 5 \\ -4 & -2 & -6 \end{pmatrix}\\よって対角化するとZ=P^{-1}CP\\=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}}$$
問4
$${解4.X^5=(P^{-1}AP)^5=P^{-1}APP^{-1}AP…P^{-1}AP\\=P^{-1}A^5Pより\\PX^5P^{-1}=A^5\\\,\\X^5=\begin{pmatrix} 4^5 & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}より\\PX^5P^{-1}=\\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 4^5 & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}・-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4^5 & 2^5 \\4^5 & -2^5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-4^5-2^5 & -4^5+2^5 \\-4^5+2^5 & -4^5-2^5 \end{pmatrix}\\よってA^5=\begin{pmatrix}528 & 496 \\496 & 528 \end{pmatrix}}$$
問5
$${解5.Y^5=(P^{-1}BP)^5=P^{-1}BPP^{-1}BP…P^{-1}BP\\=P^{-1}B^5Pより\\PY^5P^{-1}=B^5\\\,\\Y^5=\begin{pmatrix} 6^5 & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}より\\PX^5P^{-1}=\\\begin{pmatrix} 1 & 3\\1 &-1\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} 6^5 & 0 \\ 0 & 2^5 \end{pmatrix}・-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 6^5 & 3・2^5 \\6^5 & -2^5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -6^5-3・2^5 & -3・6^5+3・2^5 \\-6^5+2^5 & -3・6^5-2^5 \end{pmatrix}よって\\B^5=\begin{pmatrix}1968 & 5808 \\1936 & 5840 \end{pmatrix}}$$
問6
$${解6.Z^5=(P^{-1}CP)^n=P^{-1}CPP^{-1}CP…P^{-1}CP\\=P^{-1}C^5Pより\\PZ^5P^{-1}=C^5\\\,\\Z^n=\begin{pmatrix} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0\\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix}より\\PZ^nP^{-1}=\\\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 1 & 3 & 3\\ -1 & 1 & 2\end{pmatrix}・\begin{pmatrix} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0\\ 0 & 0 & 4^n \end{pmatrix}・-\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -3 & -4 & 3 \\ 5 & 0 & 5 \\ -4 & -2 & -6 \end{pmatrix}\\=-\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} (-1)^n & -3・3^n & -2・4^n \\ (-1)^n & 3・3^n & 3・4^n\\ -(-1)^n & 3^n & 2・4^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 & 3 \\ 5 & 0 & 5 \\ -4 & -2 & -6 \end{pmatrix}\\よってC^n\\=-\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} -3(-1)^n - 15・3^n + 8・4^n & -4(-1)^n + 4・4^n & 3(-1)^n - 15・3^n + 12・4^n \\-3・(-1)^n+15・3^n - 12・4^n & -4(-1)^n - 6・4^n & 3(-1)^n + 15・3^n - 18・4^n \\ 3(-1)^n + 5・3^n -8・4^n & 4(-1)^n - 4・4^n & -3(-1)^n + 5・3^n - 12・4^n \end{pmatrix}}$$
