はじめての線形代数 練習問題4

【※2/26更新】本記事はこれまで有料記事として公開しておりましたが、このたび無料公開とさせていただくことになりました。
すでにご購入いただいた皆さまにはご理解を賜りますよう、何卒よろしくお願い申し上げます。

今回はこちらの記事の練習問題と解説をしようと思います！

問題

基本問題

$${問1.行列 A と B について、 A ,Bの行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\\}$$

$${問2.以下の行列 A の行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}}$$

$${問3.以下の行列 A の行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}}$$

応用問題

$${問4.以下の行列 A の逆行列を、余因子行列と行列式を用いて求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}$$

$${問5.以下の行列 B の行列式を余因子展開を利用して求めよ。\\B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

$${問6.行列Cの逆行列を余因子行列を行列式で除して求めよ。\\C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }$$

解答

問1

$${解答1.\\ A の行列式は、|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2\\ B の行列式は、|B| = -1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = -1}$$

問2

$${解答2.：\\サラスの公式を使うと\\(1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8)\\ - (3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9) \\45+84+96-105-48-72=0}$$

問3

$${解3.ちょっとしたテクニックで紹介した方法を使います。\\1行目の2,3,4倍を2,3,4行目に対して引きます。\\\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\3 & 2 & 1 & 0 \\6 & 4 & 2 & 0 \\9 & 6 & 3 & 0\end{pmatrix}・・・(1)\\この(1)の行列式は}$$

$${4×\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\6&4&2\\9&6&3\end{pmatrix}と同じです。\\サラスの公式であとは行列式を求めてもいいのですがひと工夫しましょう。\\その行列の1行目を2,3倍して2,3行目に対して引くと、\\\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}・・・(2)\\この(2)の行列式は3・\begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix}=0となります。よって、この行列式は0となります。}$$

問4

$${解4.行列 A の余因子行列 を行列D とすると\\D = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}\\行列A の行列式 |A| は\\|A| = \det(A) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 4 = -10\\よって逆行列 A^{-1} は\\A^{-1} = \frac{D}{|A|} = -\dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} }$$

問5

$${解答5.：行列 B の余因子行列 を行列Eとすると、\\E=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -7 \\ 0 & -2 & 8 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}となります。\\行列 Bの行列式 |B| を計算すると、\\|B| =  1\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 1\end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-2\\(サラスで求めてもよいです。)\\よって逆行列 B^{-1} は\\B^{-1} = \frac{E}{|B|}=-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -7 \\ 0 & -2 & 8 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix} }$$

問6

$${解6.余因子行列をFとすると\\F=\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ -4 & -2 & 6 & -6 \\ 2 & 1 & -3 & 1\end{pmatrix}\\Cの行列式は\\|C|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{vmatrix}\\1行目で余因子展開すると\\1・\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0  \\ 1 & 1 & 2  \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}+1・\begin{vmatrix} -2 & 2 & 0  \\ 0 & 1 & 2  \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}+0+0\\せっかくなので左側の行列式の項はサラスで\\右の行列式の項は余因子展開で解いてみます。\\((2+0+0)-(0+2+4)) + (-2・(2-2))\\=-4\\よって逆行列 C^{-1} は\\C^{-1} = \frac{F}{|C|}=-\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} -4 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & 0 & -4 & 4 \\ -4 & -2 & 6 & -6 \\ 2 & 1 & -3 & 1\end{pmatrix}}$$