はじめての線形代数 練習問題5

【※2/26更新】本記事はこれまで有料記事として公開しておりましたが、このたび無料公開とさせていただくことになりました。
すでにご購入いただいた皆さまにはご理解を賜りますよう、何卒よろしくお願い申し上げます。

今回はこちらの練習問題と解説をしようと思います。

問題

基本問題

$${問1：以下の行列Aについて次の問いに答えよ。\\A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\\1.固有値を求めよ。\\2.固有ベクトルλ_1,λ_2を求めよ。}$$

$${問2：以下の行列Bについて次の問いに答えよ。\\A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\1.固有値を求めよ。\\2.固有ベクトルλ_1,λ_2を求めよ。}$$

応用問題

$${問3\\次の行列について以下の問に答えよ\\C=\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}\\1.固有値を求めよ。\\2.固有ベクトルを求めよ。}$$

解説

問1

$${解答1.1\\ A−λE の行列式は\\|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 3 & -\lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0となり\\この解は、λ_1 = 3, \quad λ_2 = -1である。\\よって、行列A の固有値はλ_1=3 とλ_2=−1 である。}$$

$${解答1.2\\固有値λ_1=3 に対する固有ベクトルx_1は、\\式(A−λ_1E)x_1=0を満たす。\\(A - λ_1 E) \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 2 - 3 & 1 \\ 3  & 0-3 \end{pmatrix} \vec{x}_1 \\ = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\行列 \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} となり、\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、 x - y = 0という関係を得られる。\\x=c,y=c(cは任意定数)となるので\\\vec{x}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\\\,\\固有値λ_2= -1 に対する固有ベクトルx_2は、\\式(A−λ_2E)x_2=0を満たす。\\(A - λ_2 E) \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 2+1 & 1 \\ 3 & 0+1\end{pmatrix} \vec{x}_2 \\ = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\行列 \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} となり、\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、 3x + y = 0という関係を得られる。\\x=c,y=-3c  (cは任意定数)となるので\\\vec{x}_2 = c \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\\(\vec{x}_2 = c \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} \\ 1 \end{pmatrix}もOK)}$$

問2

$${解答2.1\\ B−λE の行列式は\\|B - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -1 \\ -1 & 2 -\lambda \end{vmatrix} = (\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0となり\\この解は、λ_1 = 1, \quad λ_2 = 3である。\\よって、行列B の固有値はλ_1=1 とλ_2=3 である。}$$

$${2.2\\固有値λ_1=1 に対する固有ベクトルx_1は、\\式(B−λ_1E)x_1=0を満たす。\\(B - λ_1 E) \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 2 - 1 & -1 \\ -1  & 2-1 \end{pmatrix} \vec{x}_1 \\ = \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\行列 \begin{pmatrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} となり、\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、 x - y = 0という関係を得られる。\\x=c,y=c(cは任意定数)となるので\\\vec{x}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\,\\固有値λ_2= -1 に対する固有ベクトルx_2は、\\式(B−λ_2E)x_2=0を満たす。\\(B - λ_2 E) \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 2 -3 & -1 \\ -1 & 2 - 3 \end{pmatrix} \vec{x}_2 \\ = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\行列 \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} となり、\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、 x + y = 0という関係を得られる。\\x=c,y=-c  (cは任意定数)となるので\\\vec{x}_2 = c \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}}$$

問3

$${解答3.1\\ C−λE の行列式は\\|C - \lambda E| = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 4 -\lambda & -1 \\ 2 & -1 & 4-\lambda \end{vmatrix} \\= ((4-\lambda)^3-2-2)-(4(4-\lambda)+4-\lambda+4-\lambda)\\=(4-\lambda)^3-6(4-\lambda)-4\\=((4-\lambda)+2)((4-\lambda)^2-2(4-\lambda)-2)\\=(6-\lambda)(\lambda^2-2\lambda+6)\\=(6-\lambda)(\lambda-(\sqrt{3}+3))(\lambda-(-\sqrt3+3))\\= 0となり\\行列X の固有値、λ_1 = 6, \quad λ_2 = \sqrt{3}+3,\lambda_3=-\sqrt3+3である。\\(行列式の解き方、式変形は素直に展開してから因数分解してください、こんな風に因数定理使って因数分解しなくてもいいです。)}$$

$${3.2\\固有値λ_1=6 に対する固有ベクトルx_1は、\\式(B−λ_1E)x_1=0を満たす。\\(B - λ_1 E) \vec{x}_1 = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} \vec{x}_1 \\行列 \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -2 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} -2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \\ \begin{pmatrix} 1 & -0.5 & -1 \\ 0 & -1.5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}となり、\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、\begin{pmatrix}x-z=0\\y=0\end{pmatrix}という関係を得られる。\\x=c, y=0, z=c (cは任意定数)となるので\\\vec{x}_1 = c \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}$$

$${固有値λ_2 = \sqrt{3}+3 に対する固有ベクトルx_2は、\\式(B−λ_2E)x_2=0を満たす。\\(B - λ_1 E) \vec{x}_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} + 1 & 1 & 2 \\ 1 & -\sqrt{3} + 1 & -1 \\ 2 & -1 & -\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix} \vec{x}_2 \\行列\begin{pmatrix} -\sqrt{3} + 1 & 1 & 2 \\ 1 & -\sqrt{3} + 1 & -1 \\ 2 & -1 & -\sqrt{3} + 1 \end{pmatrix} を簡約化すると\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\-\sqrt{3} + 1 & 1 & 2 \\ 1 & -\sqrt{3} + 1 & -1 \end{pmatrix}(3行目に1行目を足す。その後、3行目を-\sqrt3+3で割る。3行目を1行目に移動。)\sim  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt3+1 \\ 0 & -\sqrt{3}+1 & -2 \end{pmatrix}(1列目が0になるように変形。このとき、2行目に-\sqrt{3}+1を掛けると3行目と同じになる。) \sim \\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt3+1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}となり、\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt3+1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix} = \vec{0}\\よって、\begin{pmatrix}x+z=0\\y+(\sqrt3+1)z=0\end{pmatrix}という関係を得られる。\\x=c, y=(\sqrt3+1)c, z=-c (cは任意定数)となるので\\\vec{x}_2 = c \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt3+1\\ -1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt3+1\\ -1 \end{pmatrix}}$$

$${固有値λ_3 = -\sqrt{3}+3 に対する固有ベクトルx_3は\\固有ベクトルx_2を求める流れと計算の流れは同じなので割愛する。\\最終的に\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt3+1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\z\end{pmatrix} = \vec{0}となり、\\x=c, y=(\sqrt3+1)c, z=-c (cは任意定数)となるので\\\vec{x}_3 = c \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt3+1\\ -1 \end{pmatrix}の形で表せる。\\よって固有ベクトルは\begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt3+1\\ -1 \end{pmatrix}}$$