式変形補足　時間微分

【※2/26更新】本記事はこれまで有料記事として公開しておりましたが、このたび無料公開とさせていただくことになりました。
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時間での微分について補足です。ソローモデルの解説時に省略した部分を解説します。なお、試験的に有料で配信します。

この記事を読むことで、$${\dfrac{d\log{Y}}{dt}\\\,\\=\dfrac{\Delta{Y}}{Y},もしくは\dfrac{\dot{Y}}{Y}}$$となる過程が納得できると思います。

コブダグラス型関数で解説

コブダグラス型関数を例にしていましょう。変化率を求めていきます。
$${Y=AK^{a}L^{1-a}}$$

まずは対数を取ります

$${\log{Y}=\log{A}+a\log{K}+(1-a)\log{L}}$$

ここで$${時間ｔ}$$で微分します。ぞれぞれの変数$${Y,A,K,L}$$と時間は関連のある数値なので、微分して０になることはなく、合成関数を用います。

試しに$${\log{Y}}$$のみやっていきましょう

$${\dfrac{d\log{Y}}{dt}\\\,\\＝\dfrac{d\log{Y}}{dY}・\dfrac{dY}{dt}}$$

ここで、$${\dfrac{d\log{Y}}{dY}=\dfrac{1}{Y}}$$であること、

$${\dfrac{dY}{dt}=\Delta{Y},もしくは\dot{Y}}$$と表記すると

$${\dfrac{d\log{Y}}{dt}\\\,\\=\dfrac{\Delta{Y}}{Y},もしくは\dfrac{\dot{Y}}{Y}}$$

となります。

なので、先程の$${\log{Y}=\log{A}+a\log{K}+(1-a)\log{L}}$$を時間微分すると
$${\dfrac{\Delta{Y}}{Y}=\dfrac{\Delta{A}}{A}+a\dfrac{\Delta{K}}{K}+(1-a)\dfrac{\Delta{L}}{L}}$$となります。

ソローモデルで解説

ソローモデルでは、$${k=K/L}$$の変形は以下のように行われます。

対数を取る
$${\log{k}=\log{K/L}\\\,\\\log{k}=\log{K}-\log{L}}$$

$${t}$$で微分
$${\dfrac{d\log{Y}}{dt}\\\,\\＝\dfrac{d\log{Y}}{dY}・\dfrac{dY}{dt}\\\,\\=\dfrac{\Delta{Y}}{Y}}$$より

$${\dfrac{\Delta{k}}{k}=\dfrac{\Delta{K}}{K}-\dfrac{\Delta{L}}{L}}$$

となります！！！

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