はじめての線形代数 練習問題2
【※2/26更新】本記事はこれまで有料記事として公開しておりましたが、このたび無料公開とさせていただくことになりました。
すでにご購入いただいた皆さまにはご理解を賜りますよう、何卒よろしくお願い申し上げます。
今回はこちらの記事の練習問題と解説をしようと思います！
問題
基礎問題
$${問題1\begin{Bmatrix} 2x - y = 3 \\ 4x + y = 9 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$
$${問題2.\begin{Bmatrix} x + 6y = -9 \\ 3x + 2y = 5 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$
$${問題3\\\begin{Bmatrix} 3x - 2y = 7 \\ -4x + 3y = - 8 \end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$
$${問題4\\\begin{Bmatrix}3x - 2y = 4 \\6x + 2y = 12\end{Bmatrix}\\この連立方程式を行列の簡約化を\\用いて解を求めてください。}$$
応用問題
$${問題5：\\行列 C,逆行列 C^{-1} が次のように与えられています。\\C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\quad C^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\\逆行列 C^{-1}を利用して、\\連立方程式\begin{Bmatrix} x + 2y = 5 \\ 3x + 5y = 11 \end{Bmatrix}の解を求めてください。}$$
$${問6：\\行列 D,E が次のように与えられています。\\D = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix},E = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\\積DE を計算し、結果を連立方程式\\\begin{Bmatrix} 2x + 5y = 2 \\ x + 3y = 2 \end{Bmatrix}に適用して解を求めてください。}$$
$${問7：\\行列の簡約化を利用して解を求めてください。\\\begin{Bmatrix} x - y + z = 2 \\ -2x + 3y + z = 2 \\ 4x -2y + 8z = 18 \end{Bmatrix}}$$
解答
問１
$${解答1\\\\\begin{Bmatrix} 2x - y = 3 \\ 4x + y = 9 \end{Bmatrix}は\Leftrightarrow{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\4&1&9\end{array}\right)}と書き換えられます。\\ここで\\行列を簡約化すると\\\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\4-(2×2)&1-(2×(-1))&9-(2×3)\end{array}\right)\\\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\0&3&3\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&-1&3\\0&1&1 \end{array}\right)}\\\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2+0&-1+1&3+1\\0&1&1\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}2&0&4\\0&1&1\end{array}\right)}\sim{\left(\begin{array}{cc|c}1&0&2\\0&1&1\end{array}\right)}\Leftrightarrow\begin{Bmatrix} x=2\\y=1 \end{Bmatrix}\\よって、解は \begin{Bmatrix} x = 2 \\ y = 1 \end{Bmatrix} です。}$$
問2
$${解答2.\begin{Bmatrix} x + 6y = -9 \\ 3x + 2y = 5 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 3 & 2 & 5 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 3 - 3 × 1 = 0 & 2 -3 × 6 = -16 & 5 -3 × (-9) =32 \end{array}\right)\\ \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 & -9 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 6 - 6 × 1= 0 & -9 - 6 × (-2) = 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array}\right) \\よって解は \begin{Bmatrix} x = 3 \\ y = -2 \end{Bmatrix}}$$
問3
$${解答3.\begin{Bmatrix} 3x - 2y = 7 \\ -4x + 3y = - 8 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 7 \\ -4 & 3 & -8 \end{array}\right)\sim \\\left(\begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 7 \\ -4 + \frac{4}{3}× 3 =0 & 3 + \frac{4}{3}× (-2) = \frac{1}{3} & - 8 + \frac{4}{3} × 7 = \frac{4}{3} \end{array}\right)\\\left(\begin{array}{cc|c} 1 & \frac{-2}{3} & \frac{7}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1 & \frac{-2}{3} + (2 × \frac{1}{3})= 0 & \frac{7}{3} + (2× \frac{4}{3})=5 \\0 & \frac{1}{3} & \frac{4}{3}\end{array}\right)\\\sim\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0& 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right)よって解は \begin{Bmatrix} x =５ \\ y = 4 \end{Bmatrix} です。}$$
問4
$${解答4\\\begin{Bmatrix}3x - 2y = 4 \\6x + 2y = 12\end{Bmatrix}\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cc|c}3 & -2 & 4 \\6 & 2 & 12\end{array}\right)\sim\\\left(\begin{array}{cc|c}3 & -2 & 4 \\6-2×3=0 & 2+(-2)×(-2)=6 & 12-2×4=4\end{array}\right)\\\sim\left(\begin{array}{cc|c}3 & -2 & 4 \\0 & 1 & \frac{2}{3}\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc|c}1 & -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \\0 & 1 & \frac{2}{3}\end{array}\right)\sim\\\left(\begin{array}{cc|c}1 & -\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×1=0 &\frac{4}{3}+ \frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{16}{9} \\0 & 1 & \frac{2}{3}\end{array}\right)\\よって解は \begin{Bmatrix} x = \frac{16}{9} \\ y = \frac{2}{3} \end{Bmatrix} です。}$$
問5
$${解答5：逆行列の性質を理解することができれば、\\簡約化の手間が省けることができます。\\解は以下のようになります。\\\begin{Bmatrix} x + 2y = 5 \\ 3x + 5y = 11 \end{Bmatrix}\Leftrightarrow{\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&5&11\end{array}\right)}\\\Leftrightarrow C\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix}\\\Leftrightarrow C^{-1}C\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix}\\\Leftrightarrow E\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5×5+2×11\\3×5+-1×11\\\end{pmatrix}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-25+22\\15-11\end{pmatrix}\\\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\ \quad よって\begin{Bmatrix} x = -3 \\ y = 4 \end{Bmatrix}}$$
問6
$${解答6\\積 DE と解は以下のようになります。\\DE =\begin{pmatrix} 2×3+5×-1 & 2×-5+5×2 \\ 1×3+3×-1 & 1×-5+3×2 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\\よって行列Dの逆行列が行列Eであることが\\分かります。連立方程式を行列を用いて表現\\すると\\E\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\両辺にEを左からかけると\\DE\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3×2-5×2\\-1×2+2×2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}, よって\quad \begin{Bmatrix} x = -4 \\ y = 2 \end{Bmatrix}}$$
問7
$${解答7：\\\begin{Bmatrix} x - y + z = 2 \\ -2x + 3y + z = 2 \\ 4x -2 y + 8z = 18 \end{Bmatrix}は{\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\-2&3&1&2\\4&-2&8&18\end{array}\right)}と書き換えられます。\\ここで行列を簡約化すると\\\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\-2+(2×1)&3+(2×(-1))&1+(2×1)&2+2×2\\4-(4×1)&-2-(4×(-1))&8-(4×1)&18-4×2\end{array}\right)\\\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1+1&1+3&2+6\\0&1&3&6\\0&2-(2×1)&4-(2×3)&10-2×6\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&4&8-4=4\\0&1&3&6-3=3\\0&0&-2&-2\end{array}\right)\\\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&4-4&8-4=4\\0&1&3-3&6-3=3\\0&0&1&1\end{array}\right)よって、解は \begin{Bmatrix} x = 4 \\ y = 3 \\ z=1 \end{Bmatrix} です。}$$
