群の同型,準同型とは

　2つの群(G,*)と(H,@)が与えられたとき、全単射関数f:G→Hであって、全てのGの要素u,vに対して、f(u*v)=f(u)@f(v)が成り立つもの(同型写像)が存在するとき、2つの群は同型であるという。G~=Hと表す。
例(R,+)は$${f(x)=e^x}$$として($${R^+}$$,×)に同型である。つまり、exp(a+b)=exp(a)×exp(b)が任意の実数a,bに対して成り立つ。
　準同型(写像)とは2つの群(G,*)と(H,@)が与えられたとき、写像f:G→Hであって、全てのGの要素u,vに対して、f(u*v)=f(u)@f(v)が成り立つものである。
以下の定理が成り立つ。
f:G→Hを群G,Hの準同型写像とする。このとき、
1)Im(f)はHの部分群である。
2)Ker(f)はGの正規部分群である。
3)Im(f)はG/Ker(f)に同型である。
SはGの部分群で、NはGの正規部分群とする。
4)積SNはGの部分群である。
5)共通部分ScapNはGの正規部分群である。
6)商群(SN)/NとS/(ScapN)は同型である。
KもGの正規部分群でNに含まれるとする。
7)商群N/KはG/Kの正規部分群である。
8)商群(G/K)/(N/K)はG/Nに同型である。