商群の定義

商群の定義
　HをGの正規部分群とする。集合 G/H を H の G におけるすべての左剰余類からなる集合と定義する、すなわち、G/H = { aH : a ∈ G } とする。G/H上の演算を次のように定義する。元aH,bHに対し、その積は(aH)(bH)である。
(aH)(bH)=a(Hb)H=a(bH)H=(ab)HH=(ab)Hであるから、演算は結合的で単位元はH,aHの逆元は$${a^{-1}}$$Hである。ゆえに、この演算を考えるとG/Hは群である。この群を商群という。G/Hは G mod Hと読む。