Coeficiente binomial

Os coeficientes binomiais podem ser organizados para formar o triângulo de Pascal, no qual cada entrada é a soma das duas imediatamente acima.

Visualização da expansão binomial até a quarta potência

Em matemática, os coeficientes binomiais são os números inteiros positivos que ocorrem como coeficientes no teorema binomial. Comumente, um coeficiente binomial é indexado por um par de inteiros n ≥ k ≥ 0 e é escrito ${\tbinom {n}{k}}$ ou ⁠$C(n,k)$⁠. É o coeficiente do termo x^k na expansão polinomial da potência binomial (1 + x)ⁿ; este coeficiente pode ser calculado pela fórmula multiplicativa

$${\binom {n}{k}}={\frac {n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times \cdots \times 1}},$$

que, usando a notação fatorial, pode ser expressa de forma compacta como

$${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.$$

Por exemplo, a quarta potência de 1 + x é $${\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}$$ e o coeficiente binomial ${\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6$ é o coeficiente do termo x².

Dispondo os números ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}$ em linhas sucessivas para n = 0, 1, 2, ... obtém-se um arranjo triangular chamado triângulo de Pascal, que satisfaz a relação de recorrência $${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.$$

Os coeficientes binomiais ocorrem em muitas áreas da matemática e, especialmente, na combinatória. Em combinatória, o símbolo ${\tbinom {n}{k}}$ é geralmente lido como "n escolhe k" porque há ${\tbinom {n}{k}}$ maneiras de escolher um subconjunto (não ordenado) de k elementos de um conjunto fixo de n elementos. Por exemplo, há ${\tbinom {4}{2}}=6$ maneiras de escolher 2 elementos de {1, 2, 3, 4}, a saber {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} e {3, 4}.

Os coeficientes binomiais podem ser estendidos para aceitar famílias mais gerais de entradas. Quando n é um inteiro não negativo e k é um inteiro tal que k < 0 ou k > n, é comum definir ⁠${\tbinom {n}{k}}=0$⁠. Se k é um inteiro não negativo e z é qualquer número complexo, a primeira fórmula multiplicativa acima pode ser usada para definir ⁠${\tbinom {z}{k}}$⁠. Muitas das propriedades dos coeficientes binomiais continuam válidas nesses contextos mais gerais.

História e notação

Andreas von Ettingshausen introduziu a notação ${\tbinom {n}{k}}$ em 1826, embora os números fossem conhecidos séculos antes (veja triângulo de Pascal). Por volta de 1150, o matemático indiano Bhaskaracharya deu uma exposição dos coeficientes binomiais em seu livro Līlāvatī.

Notações alternativas incluem C(n, k), _nC_k, ⁿC_k, C^k_n, Cⁿ_k e C_n,k, em todas as quais o C significa combinações ou escolhas; a notação C significa o número de maneiras de escolher k dentre n objetos. Muitas calculadoras usam variantes da notação C porque podem representá-la em um visor de linha única. Nesta forma, os coeficientes binomiais são facilmente comparados com os números de k-permutações de n, escritos como P(n, k), etc.

Definição e interpretações

n \ k	0	1	2	3	4	⋯
0	1	0	0	0	0	⋯
1	1	1	0	0	0	⋯
2	1	2	1	0	0	⋯
3	1	3	3	1	0	⋯
4	1	4	6	4	1	⋯
⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱
Os primeiros coeficientes binomiais em um triângulo de Pascal alinhado à esquerda

Para números naturais (considerando 0) n e k, o coeficiente binomial ${\tbinom {n}{k}}$ pode ser definido como o coeficiente do monômio X^k na expansão de (1 + X)ⁿ. O mesmo coeficiente também ocorre (se k ≤ n) na fórmula binomial

|$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}$|∗

(válida para quaisquer elementos x, y de um anel comutativo), o que explica o nome "coeficiente binomial".

Outra ocorrência deste número está na combinatória, onde ele dá o número de maneiras, desconsiderando a ordem, de escolher k objetos dentre n objetos; mais formalmente, o número de subconjuntos de k elementos (ou k-combinações) de um conjunto de n elementos. Este número pode ser visto como igual ao da primeira definição, independentemente de quaisquer fórmulas abaixo para calculá-lo: se em cada um dos n fatores da potência (1 + X)ⁿ rotularmos temporariamente o termo X com um índice i (variando de 1 a n), então cada subconjunto de k índices dá, após a expansão, uma contribuição X^k, e o coeficiente desse monômio no resultado será o número de tais subconjuntos. Isso mostra em particular que ${\tbinom {n}{k}}$ é um número natural para quaisquer números naturais n e k. Há muitas outras interpretações combinatórias dos coeficientes binomiais (problemas de contagem para os quais a resposta é dada por uma expressão de coeficiente binomial), por exemplo, o número de palavras formadas por n bits (dígitos 0 ou 1) cuja soma é k é dado por ⁠${\tbinom {n}{k}}$⁠, enquanto o número de maneiras de escrever $k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$ onde cada a_i é um inteiro não negativo é dado por ⁠${\tbinom {n+k-1}{n-1}}$⁠. A maioria dessas interpretações pode ser mostrada como equivalente à contagem de k-combinações.

Calculando o valor dos coeficientes binomiais

Existem vários métodos para calcular o valor de ${\tbinom {n}{k}}$ sem realmente expandir uma potência binomial ou contar k-combinações.

Fórmula recursiva

Um método usa a fórmula recursiva puramente aditiva $${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}$$ para todos os inteiros $n,k$ tais que ⁠$1\leq k<n$⁠, com valores de contorno $${\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1$$ para todos os inteiros n ≥ 0.

A fórmula segue considerando o conjunto {1, 2, 3, ..., n} e contando separadamente (a) os agrupamentos de k elementos que incluem um determinado elemento do conjunto, digamos "i", em cada grupo (já que "i" já está escolhido para preencher uma posição em cada grupo, precisamos escolher apenas k − 1 dos n − 1 restantes) e (b) todos os agrupamentos de k que não incluem "i"; isso enumera todas as possíveis k-combinações de n elementos. Também segue rastreando as contribuições para X^k em (1 + X)ⁿ⁻¹(1 + X). Como não há Xⁿ⁺¹ ou X⁻¹ em (1 + X)ⁿ, pode-se estender a definição além dos limites acima para incluir ${\tbinom {n}{k}}=0$ quando k > n ou k < 0. Esta fórmula recursiva então permite a construção do triângulo de Pascal, cercado por espaços em branco onde os zeros, ou os coeficientes triviais, estariam.

Fórmula multiplicativa

Um método mais eficiente para calcular coeficientes binomiais individuais é dado pela fórmula $${\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},$$ onde o numerador da primeira fração, ⁠$n^{\underline {k}}$⁠, é um fatorial decrescente. Esta fórmula é mais fácil de entender para a interpretação combinatória dos coeficientes binomiais. O numerador dá o número de maneiras de selecionar uma sequência de k objetos distintos, mantendo a ordem de seleção, de um conjunto de n objetos. O denominador conta o número de sequências distintas que definem a mesma k-combinação quando a ordem é desconsiderada. Esta fórmula também pode ser declarada em uma forma recursiva. Usando a notação "C" acima, ⁠$C_{n,k}=C_{n,k-1}\cdot (n-k+1)/k$⁠, onde ⁠$C_{n,0}=1$⁠. É prontamente derivada avaliando $C_{n,k}/C_{n,k-1}$ e pode ser intuitivamente compreendida como começando no coeficiente mais à esquerda da ⁠$n$⁠-ésima linha do triângulo de Pascal, cujo valor é sempre ⁠$1$⁠, e calculando recursivamente o próximo coeficiente à sua direita até que o ⁠$k$⁠-ésimo seja alcançado.

Devido à simetria dos coeficientes binomiais em relação a k e n − k, o cálculo do produto acima, bem como a relação recursiva, pode ser otimizado definindo seu limite superior como o menor entre k e n − k.

Fórmula fatorial

Finalmente, há a forma compacta, frequentemente usada em provas e derivações, que faz uso repetido da familiar função fatorial: $${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{para }}\ 0\leq k\leq n,$$ onde n! denota o fatorial de n. Esta fórmula segue da fórmula multiplicativa acima multiplicando numerador e denominador por (n − k)!; como consequência, envolve muitos fatores comuns ao numerador e ao denominador. É menos prática para cálculo explícito (no caso em que k é pequeno e n é grande), a menos que fatores comuns sejam primeiro cancelados (em particular, porque os valores fatoriais crescem muito rapidamente). A fórmula exibe uma simetria que é menos evidente a partir da fórmula multiplicativa (embora seja a partir das definições)

|${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\text{para }}\ 0\leq k\leq n,$|1

o que leva a uma rotina computacional multiplicativa mais eficiente. Usando a notação de fatorial decrescente,$${\binom {n}{k}}={\begin{cases}n^{\underline {k}}/k!&{\text{se }}\ k\leq {\frac {n}{2}}\\n^{\underline {n-k}}/(n-k)!&{\text{se }}\ k>{\frac {n}{2}}\end{cases}}.$$

Generalização e conexão com a série binomial

Ver artigo principal: Série binomial

A fórmula multiplicativa permite que a definição dos coeficientes binomiais seja estendida substituindo n por um número arbitrário α (negativo, real, complexo) ou mesmo por um elemento de qualquer anel comutativo no qual todos os inteiros positivos são invertíveis: $${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{para }}k\in \mathbb {N} {\text{ e }}\alpha {\text{ arbitrário}}.$$

Com esta definição, tem-se uma generalização da fórmula binomial (com uma das variáveis definida como 1), o que justifica ainda chamar os ${\tbinom {\alpha }{k}}$ de coeficientes binomiais:

|$(1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}X^{k}.$|2

Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X com |X| < 1. Também pode ser interpretada como uma identidade de séries de potências formais em X, onde pode servir como definição de potências arbitrárias de séries de potências com coeficiente constante igual a 1; o ponto é que com esta definição todas as identidades que se esperam para a exponenciação são válidas, notadamente $$(1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\text{e}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.$$

Se α é um inteiro não negativo n, então todos os termos com k > n são zero, e a série infinita se torna uma soma finita, recuperando assim a fórmula binomial. No entanto, para outros valores de α, incluindo inteiros negativos e números racionais, a série é realmente infinita.

Triângulo de Pascal

1000ª linha do triângulo de Pascal, disposta verticalmente, com representações em escala de cinza dos dígitos decimais dos coeficientes, alinhados à direita. O limite esquerdo da imagem corresponde aproximadamente ao gráfico do logaritmo dos coeficientes binomiais e ilustra que eles formam uma sequência log-côncava.

Ver artigos principais: Triângulo de Pascal e Regra de Pascal

A regra de Pascal é a importante relação de recorrência

|${\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}},$|3

que pode ser usada para provar por indução matemática que ${\tbinom {n}{k}}$ é um número natural para todo inteiro n ≥ 0 e todo inteiro k, um fato que não é imediatamente óbvio a partir da fórmula (1). À esquerda e à direita do triângulo de Pascal, as entradas (mostradas como espaços em branco) são todas zero.

A regra de Pascal também dá origem ao triângulo de Pascal:

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

A linha número n contém os números ${\tbinom {n}{k}}$ para k = 0, …, n. É construída primeiro colocando 1s nas posições mais externas e depois preenchendo cada posição interna com a soma dos dois números imediatamente acima. Este método permite o cálculo rápido de coeficientes binomiais sem a necessidade de frações ou multiplicações. Por exemplo, olhando para a linha número 5 do triângulo, pode-se ler rapidamente que $$(x+y)^{5}={\underline {1}}x^{5}+{\underline {5}}x^{4}y+{\underline {10}}x^{3}y^{2}+{\underline {10}}x^{2}y^{3}+{\underline {5}}xy^{4}+{\underline {1}}y^{5}.$$

Combinatória e estatística

Os coeficientes binomiais são importantes na combinatória porque fornecem fórmulas prontas para certos problemas de contagem frequentes:

• Há ${\tbinom {n}{k}}$ maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos. Veja Combinação.
• Há ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos se repetições forem permitidas. Veja Multiconjunto.
• Há ${\tbinom {n+k}{k}}$ strings contendo k uns e n zeros.
• Há ${\tbinom {n+1}{k}}$ strings consistindo de k uns e n zeros tais que não haja dois uns adjacentes.
• Os números de Catalan são ⁠${\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}$⁠.
• A distribuição binomial em estatística é ⁠${\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$⁠.

Coeficientes binomiais como polinômios

Para qualquer inteiro não negativo k, a expressão ${\textstyle {\binom {t}{k}}}$ pode ser escrita como um polinômio com denominador k!: $${\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};$$ isso apresenta um polinômio em t com coeficientes racionais.

Como tal, pode ser avaliado em qualquer número real ou complexo t para definir coeficientes binomiais com tais primeiros argumentos. Esses "coeficientes binomiais generalizados" aparecem no teorema binomial generalizado de Newton.

Para cada k, o polinômio ${\tbinom {t}{k}}$ pode ser caracterizado como o único polinômio de grau k p(t) satisfazendo p(0) = p(1) = ⋯ = p(k − 1) = 0 e p(k) = 1.

Seus coeficientes são expressáveis em termos de números de Stirling do primeiro tipo:$${\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.$$A derivada de ${\tbinom {t}{k}}$ pode ser calculada por diferenciação logarítmica:$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}.$$Isso pode causar um problema quando avaliado em inteiros de $0$ a ⁠$t-1$⁠, mas usando identidades abaixo podemos calcular a derivada como:$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {(-1)^{k-i-1}}{k-i}}{\binom {t}{i}}.$$

Coeficientes binomiais como base para o espaço de polinômios

Sobre qualquer corpo de característica 0 (ou seja, qualquer corpo que contenha os números racionais), cada polinômio p(t) de grau no máximo d é unicamente expressável como uma combinação linear ${\textstyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}}$ de coeficientes binomiais, porque os coeficientes binomiais consistem em um polinômio de cada grau. O coeficiente a_k é a k-ésima diferença da sequência p(0), p(1), ..., p(k). Explicitamente,

|$a_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}p(i).$|4

Polinômios com valores inteiros

Ver artigo principal: Polinômio com valores inteiros

Cada polinômio ${\tbinom {t}{k}}$ tem valores inteiros: tem um valor inteiro em todas as entradas inteiras ⁠$t$⁠. (Uma maneira de provar isso é por indução em k usando a identidade de Pascal.) Portanto, qualquer combinação linear inteira de polinômios de coeficientes binomiais também tem valores inteiros. Reciprocamente, (4) mostra que qualquer polinômio com valores inteiros é uma combinação linear inteira desses polinômios de coeficientes binomiais. Mais geralmente, para qualquer subanel R de um corpo K de característica 0, um polinômio em K[t] assume valores em R em todos os inteiros se e somente se for uma combinação linear R-linear de polinômios de coeficientes binomiais.

Exemplo

O polinômio com valores inteiros 3t(3t + 1) / 2 pode ser reescrito como $$9{\binom {t}{2}}+6{\binom {t}{1}}+0{\binom {t}{0}}.$$

Identidades envolvendo coeficientes binomiais

A fórmula fatorial facilita relacionar coeficientes binomiais próximos. Por exemplo, se k é um inteiro positivo e n é arbitrário, então

|${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}$|5

e, com um pouco mais de trabalho, $${\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.$$

Também podemos obter $${\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.$$

Além disso, o seguinte pode ser útil: $${\binom {n}{k}}{\binom {k}{j}}={\binom {n}{j}}{\binom {n-j}{k-j}}={\binom {n}{k-j}}{\binom {n-k+j}{j}}.$$

Para n constante, temos a seguinte recorrência: $${\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.$$

Resumindo, temos $${\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}$$ $$={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.$$

Somas dos coeficientes binomiais

A fórmula

|$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}$|∗∗

diz que os elementos na n-ésima linha do triângulo de Pascal sempre somam 2 elevado à n-ésima potência. Isso é obtido a partir do teorema binomial (∗) definindo x = 1 e y = 1. A fórmula também tem uma interpretação combinatória natural: o lado esquerdo soma o número de subconjuntos de {1, ..., n} de tamanhos k = 0, 1, ..., n, dando o número total de subconjuntos. (Ou seja, o lado esquerdo conta o conjunto das partes de {1, ..., n}.) No entanto, esses subconjuntos também podem ser gerados escolhendo ou excluindo sucessivamente cada elemento 1, ..., n; as n escolhas binárias independentes (strings de bits) permitem um total de $2^{n}$ escolhas. Os lados esquerdo e direito são duas maneiras de contar a mesma coleção de subconjuntos, portanto são iguais.

As fórmulas

|$\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}$|6

e $$\sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}$$ seguem do teorema binomial após derivar em relação a x (duas vezes para a última) e depois substituir x = y = 1.

A identidade de Chu–Vandermonde, que vale para quaisquer valores complexos m e n e qualquer inteiro não negativo k, é

|$\sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}$|7

e pode ser encontrada examinando o coeficiente de $x^{k}$ na expansão de (1 + x)^m(1 + x)^n−m = (1 + x)ⁿ usando a equação (2). Quando m = 1, a equação (7) se reduz à equação (3). No caso especial n = 2m, k = m, usando (1), a expansão (7) se torna (como visto no triângulo de Pascal à direita)

${\begin{array}{c}1\\1\qquad 1\\1\qquad 2\qquad 1\\{\color {blue}1\qquad 3\qquad 3\qquad 1}\\1\qquad 4\qquad 6\qquad 4\qquad 1\\1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1\\1\qquad 6\qquad 15\qquad {\color {red}20}\qquad 15\qquad 6\qquad 1\\1\qquad 7\qquad 21\qquad 35\qquad 35\qquad 21\qquad 7\qquad 1\end{array}}$

Triângulo de Pascal, linhas 0 a 7. A equação 8 para m = 3 é ilustrada nas linhas 3 e 6 como ⁠$1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}=20$⁠.

|$\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}},$|8

onde o termo do lado direito é um coeficiente binomial central.

Outra forma da identidade de Chu–Vandermonde, que se aplica para quaisquer inteiros j, k e n satisfazendo 0 ≤ j ≤ k ≤ n, é

|$\sum _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}.$|9

A prova é semelhante, mas usa a expansão da série binomial (2) com expoentes inteiros negativos. Quando j = k, a equação (9) dá a identidade do taco de hóquei$$\sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}$$e sua relativa $$\sum _{r=0}^{m}{\binom {n+r}{r}}={\binom {n+m+1}{m}}.$$

Seja F(n) o n-ésimo número de Fibonacci. Então$$\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).$$Isso pode ser provado por indução usando (3) ou pela representação de Zeckendorf. Uma prova combinatória é dada abaixo.

Multisseções de somas

Para inteiros s e t tais que ⁠$0\leq t<s$⁠, a multisseção de séries dá a seguinte identidade para a soma dos coeficientes binomiais:$${\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.$$

Para s pequeno, essas séries têm formas particularmente agradáveis; por exemplo,$${\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)$$$${\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)$$$${\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)$$$${\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)$$$${\binom {n}{1}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{9}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}\right)$$$${\binom {n}{2}}+{\binom {n}{6}}+{\binom {n}{10}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}-2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)$$$${\binom {n}{3}}+{\binom {n}{7}}+{\binom {n}{11}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}-2^{\frac {n}{2}}\sin {\frac {n\pi }{4}}\right)$$

Somas parciais

Embora não haja uma fórmula fechada para somas parciais$$\sum _{j=0}^{k}{\binom {n}{j}}$$de coeficientes binomiais, pode-se novamente usar (3) e indução para mostrar que para k = 0, …, n − 1,$$\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},$$com o caso especial

$$\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0$$para n > 0. Este último resultado também é um caso especial do resultado da teoria das diferenças finitas de que para qualquer polinômio P(x) de grau menor que n,$$\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.$$Derivando (2) k vezes e definindo x = −1 obtém-se isso para ⁠$P(x)=x(x-1)\cdots (x-k+1)$⁠, quando 0 ≤ k < n, e o caso geral segue tomando combinações lineares destes.

Quando P(x) é de grau menor ou igual a n,

|$\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(n-j)=n!a_{n}$|10

onde $a_{n}$ é o coeficiente de grau n em P(x).

Mais geralmente para (10),$$\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(m+(n-j)d)=d^{n}n!a_{n}$$onde m e d são números complexos. Isso segue imediatamente aplicando (10) ao polinômio ⁠$Q(x):=P(m+dx)$⁠ em vez de ⁠$P(x)$⁠, e observando que ⁠$Q(x)$⁠ ainda tem grau menor ou igual a n, e que seu coeficiente de grau n é dⁿa_n.

A série ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}$ é convergente para k ≥ 2. Esta fórmula é usada na análise do problema do tanque alemão. Ela segue de ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}\sum _{j=0}^{M}{\frac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\frac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\frac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}$ que é provada por indução em M.

Identidades com provas combinatórias

Muitas identidades envolvendo coeficientes binomiais podem ser provadas por meios combinatórios. Por exemplo, para inteiros não negativos ⁠${n}\geq {q}$⁠, a identidade $$\sum _{k=q}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {k}{q}}=2^{n-q}{\binom {n}{q}}$$ (que se reduz a (6) quando q = 1) pode receber uma prova de contagem dupla, como segue. O lado esquerdo conta o número de maneiras de selecionar um subconjunto de [n] = {1, 2, ..., n} com pelo menos q elementos, e marcar q elementos entre os selecionados. O lado direito conta a mesma coisa, porque há ${\tbinom {n}{q}}$ maneiras de escolher um conjunto de q elementos para marcar, e $2^{n-q}$ para escolher quais dos elementos restantes de [n] também pertencem ao subconjunto.

Na identidade de Pascal $${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}},$$ ambos os lados contam o número de subconjuntos de k elementos de [n]: os dois termos do lado direito os agrupam naqueles que contêm o elemento n e naqueles que não o contêm.

A identidade (8) também tem uma prova combinatória. A identidade diz $$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}.$$

Suponha que você tenha $2n$ quadrados vazios dispostos em uma linha e queira marcar (selecionar) n deles. Há ${\tbinom {2n}{n}}$ maneiras de fazer isso. Por outro lado, você pode selecionar seus n quadrados escolhendo k quadrados entre os primeiros n e $n-k$ quadrados dos n quadrados restantes; qualquer k de 0 a n funcionará. Isso dá $$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n}{n-k}}={\binom {2n}{n}}.$$ Agora aplique (1) para obter o resultado.

Se denotarmos por F(i) a sequência dos números de Fibonacci, indexada de modo que F(0) = F(1) = 1, então a identidade $$\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n)$$ tem a seguinte prova combinatória. Pode-se mostrar por indução que F(n) conta o número de maneiras que uma faixa de quadrados n × 1 pode ser coberta por ladrilhos 2 × 1 e 1 × 1. Por outro lado, se tal ladrilhamento usa exatamente k dos ladrilhos 2 × 1, então ele usa n − 2k dos ladrilhos 1 × 1, e portanto usa n − k ladrilhos no total. Há ${\tbinom {n-k}{k}}$ maneiras de ordenar esses ladrilhos, e somando esse coeficiente sobre todos os valores possíveis de k obtém-se a identidade.

Soma dos coeficientes de uma linha

Ver também: Combinação § Número de k-combinações para todo k

O número de k-combinações para todo k, ⁠$\sum _{0\leq {k}\leq {n}}{\binom {n}{k}}=2^{n}$⁠, é a soma da n-ésima linha (contando a partir de 0) dos coeficientes binomiais. Essas combinações são enumeradas pelos dígitos 1 do conjunto de números na base 2 contando de 0 a ⁠$2^{n}-1$⁠, onde cada posição de dígito é um item do conjunto de n.

Identidade de Dixon

A identidade de Dixon é$$\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\binom {2a}{k+a}}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}$$ou, mais geralmente,$$\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\binom {a+b}{a+k}}{\binom {b+c}{b+k}}{\binom {c+a}{c+k}}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,$$onde a, b e c são inteiros não negativos.

Identidades contínuas

Certas integrais trigonométricas têm valores expressáveis em termos de coeficientes binomiais: Para quaisquer ⁠$m,n\in \mathbb {N}$⁠, $$\int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}$$ $$\int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ ímpar}}\\0,&{\text{caso contrário}}\end{cases}}$$ $$\int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ par}}\\0,&{\text{caso contrário}}\end{cases}}$$

Estas podem ser provadas usando a fórmula de Euler para converter funções trigonométricas em exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo a termo.

Congruências

Se n é primo, então $${\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n$$ para todo k com ⁠$0\leq k\leq n-1$⁠. Mais geralmente, isso permanece verdadeiro se n for qualquer número e k for tal que todos os números entre 1 e k sejam coprimos com n.

De fato, temos $${\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod _{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod _{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.$$

Funções geradoras

Funções geradoras ordinárias

Para um n fixo, a função geradora ordinária da sequência ${\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots$ é$$\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.$$

Para um k fixo, a função geradora ordinária da sequência ⁠${\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots$⁠, é$$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.$$

A função geradora bivariada dos coeficientes binomiais é$$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.$$

Uma função geradora bivariada simétrica dos coeficientes binomiais é$$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-x-y}}.$$que é a mesma função geradora anterior após a substituição ⁠$x\to xy$⁠.

Função geradora exponencial

Uma função geradora exponencial bivariada simétrica dos coeficientes binomiais é: $$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{k}}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.$$

Propriedades de divisibilidade

Ver artigos principais: Teorema de Kummer e Teorema de Lucas

Em 1852, Kummer provou que se m e n são inteiros não negativos e p é um número primo, então a maior potência de p que divide ${\tbinom {m+n}{m}}$ é igual a p^c, onde c é o número de "vai-uns" quando m e n são somados na base p. Equivalentemente, o expoente de um primo p em ${\tbinom {n}{k}}$ é igual ao número de inteiros não negativos j tais que a parte fracionária de k/p^j é maior que a parte fracionária de n/p^j. (Por exemplo, ${\tbinom {n}{k}}$ não é divisível por p se todo dígito na representação base-p de k for menor ou igual ao dígito correspondente na representação base-p de n.) Pode-se deduzir disso que ${\tbinom {n}{k}}$ é divisível por n/mdc(n,k). Em particular, portanto, segue que p divide ${\tbinom {p^{r}}{s}}$ para todos os inteiros positivos r e s tais que s < p^r. No entanto, isso não é verdade para potências superiores de p: por exemplo, 9 não divide ⁠${\tbinom {9}{6}}$⁠.

Qualquer inteiro divide quase todos os coeficientes binomiais. Mais precisamente, fixe um inteiro d e seja f(N) o número de coeficientes binomiais ${\tbinom {n}{k}}$ com $n<N$ tais que d divide ⁠${\tbinom {n}{k}}$⁠. Então$$\lim _{N\to \infty }{\frac {f(N)}{N(N+1)/2}}=1.$$Como o número de coeficientes binomiais ${\tbinom {n}{k}}$ com n < N é N(N + 1) / 2, isso implica que a densidade dos coeficientes binomiais divisíveis por d tende a 1.

Os coeficientes binomiais têm propriedades de divisibilidade relacionadas a mínimos múltiplos comuns de inteiros consecutivos. Por exemplo:$${\binom {n+k}{k}}$$ divide ⁠${\frac {\operatorname {mmc} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}$⁠. $${\binom {n+k}{k}}$$ é um múltiplo de ⁠${\frac {\operatorname {mmc} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {mmc} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}$⁠.

Outro fato: Um inteiro n ≥ 2 é primo se e somente se todos os coeficientes binomiais intermediários $${\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}$$são divisíveis por n.

Prova: Quando p é primo, p divide $${\binom {p}{k}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}$$ para todo 0 < k < p porque ${\tbinom {p}{k}}$ é um número natural e p divide o numerador, mas não o denominador. Quando n é composto, seja p o menor fator primo de n e seja k = n/p. Então 0 < p < n e $${\binom {n}{p}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{p!}}={\frac {k(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{(p-1)!}}\not \equiv 0{\pmod {n}}$$ caso contrário, o numerador k(n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1) teria que ser divisível por n = k×p, o que só pode acontecer quando (n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1) é divisível por p. Mas n é divisível por p, então p não divide n − 1, n − 2, …, n − p + 1 e, como p é primo, sabemos que p não divide (n − 1)(n − 2)⋯(n − p + 1) e, portanto, o numerador não pode ser divisível por n.

Limites e fórmulas assintóticas

Os seguintes limites para ${\tbinom {n}{k}}$ valem para todos os valores de n e k tais que 1 ≤ k ≤ n: $${\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.$$ A primeira desigualdade segue do fato de que $${\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}\cdot {\frac {n-1}{k-1}}\cdots {\frac {n-(k-1)}{1}}$$e cada um desses $k$ termos neste produto é ⁠$\geq {\frac {n}{k}}$⁠. Um argumento semelhante pode ser feito para mostrar a segunda desigualdade. A última desigualdade estrita é equivalente a ⁠$e^{k}>k^{k}/k!$⁠, o que é claro, pois o lado direito é um termo da série exponencial ⁠$e^{k}=\sum _{j=0}^{\infty }k^{j}/j!$⁠.

A partir das propriedades de divisibilidade, podemos inferir que $${\frac {\operatorname {mmc} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {mmc} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {mmc} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}},$$onde ambas as igualdades podem ser alcançadas.

Os seguintes limites são úteis em teoria da informação:$${\frac {1}{n+1}}2^{nH(k/n)}\leq {\binom {n}{k}}\leq 2^{nH(k/n)}$$onde $H(p)=-p\log _{2}(p)-(1-p)\log _{2}(1-p)$ é a função entropia binária. Pode ser ainda mais apertado para$${\sqrt {\frac {n}{8k(n-k)}}}2^{nH(k/n)}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}2^{nH(k/n)}$$para todo ⁠$1\leq k\leq n-1$⁠.

Tanto n quanto k grandes

A aproximação de Stirling fornece a seguinte aproximação, válida quando $n-k,k$ ambos tendem ao infinito:$${\binom {n}{k}}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}$$Como as formas de desigualdade da fórmula de Stirling também limitam os fatoriais, pequenas variações da aproximação assintótica acima fornecem limites exatos. Em particular, quando $n$ é suficientemente grande, tem-se$${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}$$ e ⁠${\sqrt {n}}{\binom {2n}{n}}\geq 2^{2n-1}$⁠. Mais geralmente, para m ≥ 2 e n ≥ 1 (novamente, aplicando a fórmula de Stirling aos fatoriais no coeficiente binomial),$${\sqrt {n}}{\binom {mn}{n}}\geq {\frac {m^{m(n-1)+1}}{(m-1)^{(m-1)(n-1)}}}.$$

Se n é grande e k é linear em n, várias estimativas assintóticas precisas existem para o coeficiente binomial ⁠${\binom {n}{k}}$⁠. Por exemplo, se $|n/2-k|=o(n^{2/3})$ então$${\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}$$onde d = n − 2k.

n muito maior que k

Se n é grande e k é o(n) (isto é, se k/n → 0), então$${\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)$$onde novamente o é a notação pequeno-o.

Somas de coeficientes binomiais

Um limite superior simples para a soma dos coeficientes binomiais pode ser obtido usando uma estimativa aproximada para a fórmula multiplicativa para ${\binom {m}{i}}$ e depois o teorema binomial:$$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq \sum _{i=0}^{k}n^{i}\leq \sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}\,n^{i}\cdot 1^{k-i}=(n+1)^{k}.$$Limites mais precisos são dados por$${\frac {1}{\sqrt {8n\varepsilon (1-\varepsilon )}}}\cdot 2^{H(\varepsilon )\cdot n}\leq \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\leq 2^{H(\varepsilon )\cdot n},$$válidos para todos os inteiros $n>k\geq 1$ com ⁠$\varepsilon \doteq k/n\leq 1/2$⁠.

Coeficientes binomiais generalizados

A fórmula do produto infinito para a função gama também dá uma expressão para coeficientes binomiais$$(-1)^{k}{\binom {z}{k}}={\binom {-z+k-1}{k}}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}$$que fornece as fórmulas assintóticas$${\binom {z}{k}}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{e}}\qquad {\binom {z+k}{k}}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)$$quando ⁠$k\to \infty$⁠.

Este comportamento assintótico está contido na aproximação$${\binom {z+k}{k}}\approx {\frac {e^{z(H_{k}-\gamma )}}{\Gamma (z+1)}}$$também. (Aqui $H_{k}$ é o k-ésimo número harmônico e $\gamma$ é a constante de Euler–Mascheroni.)

Além disso, a fórmula assintótica$${\frac {\binom {z+k}{j}}{\binom {k}{j}}}\to \left(1-{\frac {j}{k}}\right)^{-z}\quad {\text{e}}\quad {\frac {\binom {j}{j-k}}{\binom {j-z}{j-k}}}\to \left({\frac {j}{k}}\right)^{z}$$são verdadeiras sempre que $k\to \infty$ e $j/k\to x$ para algum número complexo ⁠$x$⁠.

Generalizações

Generalização para multinomiais

Ver artigo principal: Teorema multinomial

Os coeficientes binomiais podem ser generalizados para coeficientes multinomiais definidos como o número:$${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}$$onde$$\sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.$$

Enquanto os coeficientes binomiais representam os coeficientes de (x + y)ⁿ, os coeficientes multinomiais representam os coeficientes do polinômio$$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r})^{n}.$$O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:$${\binom {n}{k_{1},k_{2}}}={\binom {n}{k_{1},n-k_{1}}}={\binom {n}{k_{1}}}={\binom {n}{k_{2}}}.$$

A interpretação combinatória dos coeficientes multinomiais é a distribuição de n elementos distinguíveis em r recipientes (distinguíveis), cada um contendo exatamente k_i elementos, onde i é o índice do recipiente.

Os coeficientes multinomiais têm muitas propriedades semelhantes às dos coeficientes binomiais, por exemplo, a relação de recorrência:$${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\ldots ,k_{r}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{r}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}-1}}$$e simetria: $${\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}}={\binom {n}{k_{\sigma _{1}},k_{\sigma _{2}},\ldots ,k_{\sigma _{r}}}}$$onde $(\sigma _{i})$ é uma permutação de (1, 2, ..., r).

Série de Taylor

Usando números de Stirling do primeiro tipo, a expansão em série em torno de qualquer ponto escolhido arbitrariamente $z_{0}$ é$${\begin{aligned}{\binom {z}{k}}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{\binom {z_{0}}{j-i}}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{\binom {j}{i}}{\frac {s_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}$$

Coeficiente binomial com n = 1/2

A definição dos coeficientes binomiais pode ser estendida para o caso em que $n$ é real e $k$ é inteiro.

Em particular, a seguinte identidade vale para qualquer inteiro não negativo ⁠$k$⁠:$${\binom {1/2}{k}}={\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.$$

Isso aparece ao expandir ${\sqrt {1+x}}$ em uma série de potências usando a série binomial de Newton:$${\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.$$

Produtos de coeficientes binomiais

Pode-se expressar o produto de dois coeficientes binomiais como uma combinação linear de coeficientes binomiais:$${\binom {z}{m}}{\binom {z}{n}}=\sum _{k=0}^{\min(m,n)}{\binom {m+n-k}{k,m-k,n-k}}{\binom {z}{m+n-k}},$$

onde os coeficientes de conexão são coeficientes multinomiais. Em termos de objetos combinatórios rotulados, os coeficientes de conexão representam o número de maneiras de atribuir m + n − k rótulos a um par de objetos combinatórios rotulados — de peso m e n, respectivamente — que tiveram seus primeiros k rótulos identificados, ou colados juntos para obter um novo objeto combinatório rotulado de peso m + n − k. (Ou seja, para separar os rótulos em três partes para aplicar à parte colada, à parte não colada do primeiro objeto e à parte não colada do segundo objeto.) A esse respeito, os coeficientes binomiais estão para séries geradoras exponenciais assim como os fatoriais decrescentes estão para séries geradoras ordinárias.

O produto de todos os coeficientes binomiais na n-ésima linha do triângulo de Pascal é dado pela fórmula:$$\prod _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=\prod _{k=1}^{n}k^{2k-n-1}.$$

Decomposição em frações parciais

A decomposição em frações parciais do recíproco é dada por $${\frac {1}{\binom {z}{n}}}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{\binom {n}{i}}{\frac {n-i}{z-i}},\qquad {\frac {1}{\binom {z+n}{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{\binom {n}{i}}{\frac {i}{z+i}}.$$

Série binomial de Newton

Ver artigo principal: Série binomial

A série binomial de Newton, em homenagem a Sir Isaac Newton, é uma generalização do teorema binomial para séries infinitas:$$(1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}z^{n}=1+{\binom {\alpha }{1}}z+{\binom {\alpha }{2}}z^{2}+\cdots .$$

A identidade pode ser obtida mostrando que ambos os lados satisfazem a equação diferencial (1 + z) f'(z) = α f(z).

O raio de convergência desta série é 1. Uma expressão alternativa é $${\frac {1}{(1-z)^{\alpha +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+\alpha }{n}}z^{n}$$onde a identidade $${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k-n-1}{k}}$$é aplicada.

Coeficiente binomial multiconjunto (ascendente)

Ver artigo principal: Multiescolha § Contando multiconjuntos

Coeficientes binomiais contam subconjuntos de tamanho prescrito de um determinado conjunto. Um problema combinatório relacionado é contar multiconjuntos de tamanho prescrito com elementos retirados de um determinado conjunto, ou seja, contar o número de maneiras de selecionar um certo número de elementos de um determinado conjunto com a possibilidade de selecionar o mesmo elemento repetidamente. Os números resultantes são chamados de coeficientes multiconjunto; o número de maneiras de "multiescolher" (isto é, escolher com reposição) k itens de um conjunto de n elementos é denotado ⁠$\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)$⁠.

Para evitar ambiguidade e confusão com a denotação principal de n neste artigo,
seja f = n = r + (k − 1) e r = f − (k − 1).

Os coeficientes multiconjunto podem ser expressos em termos de coeficientes binomiais pela regra $${\binom {f}{k}}=\left(\!\!{\binom {r}{k}}\!\!\right)={\binom {r+k-1}{k}}.$$Uma possível caracterização alternativa desta identidade é a seguinte: Podemos definir o fatorial decrescente como$$(f)_{k}=f^{\underline {k}}=(f-k+1)\cdots (f-3)\cdot (f-2)\cdot (f-1)\cdot f,$$e o fatorial ascendente correspondente como $$r^{(k)}=\,r^{\overline {k}}=\,r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdot (r+3)\cdots (r+k-1);$$assim, por exemplo, $$17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21=(21)_{5}=21^{\underline {5}}=17^{\overline {5}}=17^{(5)}.$$Então os coeficientes binomiais podem ser escritos como $${\binom {f}{k}}={\frac {(f)_{k}}{k!}}={\frac {(f-k+1)\cdots (f-2)\cdot (f-1)\cdot f}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}},$$enquanto o coeficiente multiconjunto correspondente é definido substituindo o fatorial decrescente pelo ascendente: $$\left(\!\!{\binom {r}{k}}\!\!\right)={\frac {r^{(k)}}{k!}}={\frac {r\cdot (r+1)\cdot (r+2)\cdots (r+k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots k}}.$$

Generalização para inteiros negativos n

Para qualquer n,$${\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)\;.\end{aligned}}$$ Em particular, coeficientes binomiais avaliados em inteiros negativos n são dados por coeficientes multiconjunto com sinal. No caso especial ⁠$n=-1$⁠, isso se reduz a ⁠$(-1)^{k}={\binom {-1}{k}}=\left(\!\!{\binom {-k}{k}}\!\!\right)$⁠.

Por exemplo, se n = −4 e k = 7, então r = 4 e f = 10: $${\begin{aligned}{\binom {-4}{7}}&={\frac {-10\cdot -9\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -5\cdot -4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=(-1)^{7}\;{\frac {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=\left(\!\!{\binom {-7}{7}}\!\!\right)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)={\binom {-1}{7}}{\binom {10}{7}}.\end{aligned}}$$

Dois argumentos reais ou complexos

O coeficiente binomial é generalizado para dois argumentos reais ou complexos usando a função gama ou função beta através de $${\binom {x}{y}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (y+1,x-y+1)}}.$$ Esta definição herda estas seguintes propriedades adicionais de ⁠$\Gamma$⁠: $${\binom {x}{y}}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {-y-1}{-x-1}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{\binom {y-x-1}{y}};$$ além disso, $${\binom {x}{y}}\cdot {\binom {y}{x}}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.$$

A função resultante tem sido pouco estudada, aparentemente sendo representada graficamente pela primeira vez em (Fowler 1996). Notavelmente, muitas identidades binomiais falham: ${\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n}{n-m}}}$ mas ${\textstyle {\binom {-n}{m}}\neq {\binom {-n}{-n-m}}}$ para n positivo (então $-n$ negativo). O comportamento é bastante complexo e marcadamente diferente em vários octantes (isto é, em relação aos eixos x e y e à linha ⁠$y=x$⁠), com o comportamento para x negativo tendo singularidades em valores inteiros negativos e um tabuleiro de xadrez de regiões positivas e negativas:

• no octante $0\leq y\leq x$ é uma forma interpolada suavemente do binomial usual, com uma crista ("crista de Pascal").
• no octante $0\leq x\leq y$ e no quadrante $x\geq 0,y\leq 0$ a função está próxima de zero.
• no quadrante $x\leq 0,y\geq 0$ a função é alternadamente muito grande positiva e negativa nos paralelogramos com vértices $$(-n,m+1),(-n,m),(-n-1,m-1),(-n-1,m)$$
• no octante $0>x>y$ o comportamento é novamente alternadamente muito grande positivo e negativo, mas em uma grade quadrada.
• no octante $-1>y>x+1$ está próximo de zero, exceto perto das singularidades.

Generalização para q-séries

O coeficiente binomial tem uma generalização q-análoga conhecida como coeficiente binomial gaussiano. Esses coeficientes são polinômios em uma indeterminada (tradicionalmente denotada q) e têm aplicações a muitos problemas enumerativos em combinatória, como contar o número de subespaços lineares de um espaço vetorial sobre um corpo finito e contar o número de subconjuntos de {1, 2, ..., n} com certas simetrias (uma instância do fenômeno de peneiramento cíclico).

Generalização para cardinais infinitos

A definição do coeficiente binomial pode ser generalizada para cardinais infinitos definindo: $${\binom {\alpha }{\beta }}=\left|\left\{B\subseteq A:\left|B\right|=\beta \right\}\right|$$ onde A é algum conjunto com cardinalidade ⁠$\alpha$⁠. Pode-se mostrar que o coeficiente binomial generalizado é bem definido, no sentido de que não importa qual conjunto escolhemos para representar o número cardinal ⁠$\alpha$⁠, ${\textstyle {\alpha \choose \beta }}$ permanecerá o mesmo. Para cardinais finitos, esta definição coincide com a definição padrão do coeficiente binomial.

Assumindo o Axioma da Escolha, pode-se mostrar que ${\textstyle {\binom {\alpha }{\alpha }}=2^{\alpha }}$ para qualquer cardinal infinito ⁠$\alpha$⁠.

Ver também

• Transformada binomial
• Número de Delannoy
• Número euleriano
• Função hipergeométrica
• Lista de tópicos sobre fatorial e binomial
• Representação de Macaulay de um inteiro
• Número de Motzkin
• Multiplicidades de entradas no triângulo de Pascal
• Número de Narayana
• Teorema da Estrela de Davi
• Identidade curiosa de Sun
• Tabela de séries newtonianas
• Expansão trinomial

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Binomial coefficients», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Andrew Granville (1997). «Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers». CMS Conf. Proc. 20: 151–162. Consultado em 3 de setembro de 2013. Arquivado do original em 23 de setembro de 2015