Os Elementos

Os Elementos
Autor	Euclides
Tema	geometria euclidiana, matemática
Gênero	tratado
	[edite no Wikidata]

Os Elementos (em grego clássico: Στοιχεῖα Stoikheîa) é um tratado matemático escrito c. 300 a.C. pelo matemático grego antigo Euclides.

Os Elementos é o mais antigo tratamento dedutivo de grande escala da matemática ainda existente. Baseando-se nos trabalhos de matemáticos anteriores como Hipócrates de Quios, Eudoxo de Cnido e Teeteto, os Elementos é uma coleção em 13 livros de definições, postulados, construções geométricas e teoremas com suas provas que abrange geometria euclidiana plana e espacial, teoria dos números elementar e incomensurabilidade. Estes incluem o teorema de Pitágoras, o teorema de Tales, o algoritmo de Euclides para máximos divisores comuns, o teorema de Euclides de que existem infinitos números primos e a construção de polígonos regulares e poliedros regulares.

Frequentemente referido como o livro didático mais bem-sucedido já escrito, os Elementos continuou a ser usado para o ensino introdutório de geometria. Foi traduzido para o árabe e o latim no período medieval, onde exerceu uma grande influência na matemática no mundo islâmico medieval e na Europa Ocidental, e provou ser fundamental no desenvolvimento da lógica e da ciência moderna, onde seu rigor lógico não foi superado até o século XIX.

Antecedentes

Os Elementos de Euclides é o mais antigo tratamento dedutivo de grande escala da matemática ainda existente.^[1] Proclo, um matemático grego que viveu cerca de sete séculos depois de Euclides, escreveu em seu comentário sobre os Elementos: "Euclides, que reuniu os Elementos, coletando muitos dos teoremas de Eudoxo, aperfeiçoando muitos dos de Teeteto, e também trazendo a demonstrações irrefutáveis as coisas que foram apenas frouxamente provadas por seus predecessores".^[a] Estudiosos acreditam que os Elementos é em grande parte uma compilação de proposições baseadas em livros de matemáticos gregos anteriores,^[2] incluindo Eudoxo, Hipócrates de Quios,^[b] Tales e Teeteto, enquanto outros teoremas são mencionados por Platão e Aristóteles.^[3] É difícil diferenciar o trabalho de Euclides do de seus predecessores, especialmente porque os Elementos essencialmente substituíram grande parte da matemática grega anterior e agora perdida.^[4] A versão dos Elementos disponível hoje também inclui matemática "pós-euclidiana", provavelmente adicionada mais tarde por editores posteriores como o matemático Téon de Alexandria no século IV.^[3] O classicista Markus Asper conclui que "aparentemente, a realização de Euclides consiste em reunir conhecimento matemático aceito em uma ordem coerente e adicionar novas provas para preencher as lacunas" e a historiadora Serafina Cuomo o descreveu como um "reservatório de resultados".^[5]^[3] Apesar disso, o historiador Michalis Sialaros opina que sua "estrutura notavelmente rígida" sugere que o próprio Euclides escreveu os Elementos em vez de meramente editar os trabalhos de outros.^[6]

A atribuição detalhada de partes dos Elementos a matemáticos específicos ainda é objeto de debate acadêmico. De acordo com W. W. Rouse Ball, Pitágoras foi provavelmente a fonte para a maior parte dos livros I e II, Hipócrates de Quios para o livro III, e Eudoxo de Cnido para o livro V, enquanto os livros IV, VI, XI e XII provavelmente vieram de outros matemáticos pitagóricos ou atenienses.^[7] Os Elementos podem ter sido baseados em um livro-texto anterior de Hipócrates de Quios, que também pode ter originado o uso de letras para se referir a figuras.^[8] Wilbur Knorr atribui a origem do material nos Livros I, III e VI dos Elementos à época de Hipócrates de Quios, e do material nos livros II, IV, X e XIII ao período posterior de Teodoro de Cirene, Teeteto e Eudoxo. No entanto, esta história sugerida foi criticada por van der Waerden, que acreditava que os livros I a IV eram em grande parte devidos à escola pitagórica muito anterior.^[9]

Outros trabalhos semelhantes também foram relatados como tendo sido escritos por Hipócrates de Quios, Teudio de Magnésia e Leão, mas estão agora perdidos.^[10]^[11]

Conteúdos

Conteúdos Resumidos dos *Elementos* de Euclides (edição de Heath)
Livro	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	Totais
Definições	23	2	11	7	18	4	22	–	–	16	28	–	–	131
Postulados	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
Noções Comuns	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
Proposições	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

Os Elementos não discute exclusivamente geometria como às vezes se acredita.^[4]^[12] É tradicionalmente dividido em três tópicos: geometria plana (livros I–VI), teoria dos números básica (livros VII–X) e geometria espacial (livros XI–XIII)—embora o livro V (sobre proporções) e X (sobre incomensurabilidade) não se encaixem exatamente neste esquema.^[13]^[14] O coração do texto são os teoremas espalhados por toda a obra.^[15] Usando a terminologia de Aristóteles, estes podem ser geralmente separados em duas categorias: "primeiros princípios" e "segundos princípios".^[16] O primeiro grupo inclui declarações rotuladas como uma "definição" (em grego clássico: ὅρος ou ὁρισμός), "postulado" (αἴτημα), ou uma "noção comum" (κοινὴ ἔννοια).^[16]^[17] Os postulados (isto é, axiomas) e noções comuns ocorrem apenas no livro I.^[4] Um estudo aprofundado de Proclo sugere que versões mais antigas dos Elementos podem ter seguido as mesmas distinções, mas com terminologia diferente, chamando cada definição de "hipótese" (ὑπόθεσις) e cada noção comum de "axioma" (ἀξίωμα).^[17] O segundo grupo consiste em proposições, apresentadas juntamente com provas matemáticas e diagramas.^[16] Não se sabe se Euclides pretendia que os Elementos fosse um livro-texto,^[6] apesar de seu amplo uso subsequente como tal.^[18] Como um todo, a voz autoral permanece geral e impessoal.^[3]

Postulados de Euclides e noção comums^[19]
N.º	Postulados
Que sejam postulados os seguintes:
1	Traçar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto.
2	Produzir uma linha reta finita continuamente em uma linha reta
3	Para descrever um círculo com qualquer centro e distância
4	Que todos os ângulos retos são iguais entre si
5	Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas fizer os ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se naquele lado no qual estão os ângulos menores do que os dois ângulos retos ^[c]
N.º	Noções comuns
1	Coisas que são iguais à mesma coisa também são iguais entre si
2	Se iguais forem somados a iguais, os todos são iguais
3	Se iguais forem subtraídos de iguais, os restos são iguais
4	Coisas que coincidem uma com a outra são iguais entre si
5	O todo é maior que a parte

Livros I a VI: Geometria plana

Livro I

O Livro I dos Elementos é fundamental para todo o texto.^[4] Ele começa com uma série de 20 definições para conceitos geométricos básicos como pontos, linhas, ângulos e vários polígonos regulares.^[20] Euclides então apresenta 10 suposições (ver tabela, à direita), agrupadas em cinco postulados e cinco noções comuns.^[21] Essas suposições destinam-se a fornecer a base lógica para cada teorema subsequente, ou seja, servem como um sistema axiomático.^[22] As noções comuns dizem respeito exclusivamente à comparação de magnitudes, os tamanhos de objetos geométricos.^[23] Na matemática moderna, essas grandezas seriam tratadas como números reais medindo comprimento de arco, ângulo ou área, e comparadas numericamente, mas Euclides, em vez disso, encontrou maneiras de comparar a magnitude de formas usando operações geométricas, sem interpretar essas grandezas como números.^[24] Enquanto os primeiros quatro postulados são relativamente diretos, o quinto não é. É conhecido como o postulado das paralelas, e a questão de sua independência dos outros quatro postulados tornou-se o foco de uma longa linha de pesquisa que levou ao desenvolvimento da geometria não euclidiana.^[23]

O Livro I também inclui 48 proposições, que podem ser vagamente divididas em: teoremas básicos e construções de geometria plana e congruência de triângulos (1–26), linhas paralelas (27–34), a área de triângulos e paralelogramos (35–45), e o teorema de Pitágoras e seu recíproco (46–48).^[23]

A Proposição 5, que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, tornou-se conhecida na Idade Média como a pons asinorum, ou ponte dos asnos, separando os matemáticos que podiam prová-la dos tolos que não podiam.^[25] O Papiro Oxirrinco 29, um papiro do século III d.C., contém fragmentos das proposições 8–11 e 14–25.^[d] As duas últimas proposições do Livro I compreendem a mais antiga prova sobrevivente do teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notavelmente delicada".^[16] A figura para o teorema de Pitágoras tornou-se ela própria bem conhecida sob múltiplos nomes: a Cadeira da Noiva, o moinho de vento, ou a cauda do pavão.^[26]

Livro II

O segundo livro foca em área, medida através da quadratura, significando a construção de um quadrado de área igual a uma figura dada. Inclui um precursor geométrico da lei dos cossenos, e culmina na quadratura de retângulos arbitrários.^[23] No final do século XIX e XX, o Livro II foi interpretado por alguns historiadores da matemática como estabelecendo uma "álgebra geométrica", uma expressão da manipulação algébrica de equações lineares e quadráticas em termos de conceitos geométricos de comprimento e área,^[27]^[28] centrada no caso quadrático do teorema binomial.^[23] Esta interpretação tem sido fortemente debatida desde a década de 1970;^[28] críticos descrevem a caracterização como anacrônica, uma vez que as fundações mesmo da álgebra nascente ocorreram muitos séculos depois.^[16] No entanto, tomadas como declarações sobre geometria, muitas das proposições neste livro são supérfluas para a matemática moderna, pois podem ser subsumidas pelo uso da álgebra.^[29]

A Proposição 11 do Livro II subdivide um segmento de reta dado em extrema e média razão, agora chamada de razão áurea. É a primeira de várias proposições envolvendo esta razão: É mais tarde usada no Livro IV para construir um triângulo áureo e um pentágono regular e no Livro XIII para construir o dodecaedro regular e o icosaedro regular, e estudada como uma razão no Livro VI Proposição 30.^[30]^[31]

Livro III

O Livro III começa com uma lista de 11 definições, e segue com 37 proposições que lidam com círculos e suas propriedades. A Proposição 1 é sobre encontrar o centro de um círculo. As proposições 2 a 15 dizem respeito a cordas, e círculos intersectantes e tangentes. Retas tangentes a círculos são os assuntos das proposições 16 a 19. Em seguida, estão proposições sobre ângulos inscritos (20 a 22), e sobre cordas, arcos e ângulos (23 a 30), incluindo o teorema do ângulo inscrito relacionando ângulos inscritos a ângulos centrais como proposição 20. As proposições 31 a 34 dizem respeito a ângulos em círculos, incluindo o teorema de Tales de que um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto (parte da proposição 31). As proposições restantes, 35 a 37, dizem respeito a cordas e tangentes que se intersectam; a proposição 35 é o teorema das cordas intersectantes, e a proposição 36 é o teorema da tangente-secante.^[32]

Livro IV

O Livro IV trata quatro problemas sistematicamente para diferentes polígonos: inscrever um polígono dentro de um círculo, circunscrever um polígono a um círculo, inscrever um círculo dentro de um polígono, e circunscrever um círculo a um polígono.^[33] Esses problemas são resolvidos em sequência para triângulos e depois para polígonos regulares construtíveis (isto é, aqueles que têm uma construção com régua e compasso) com 4, 5, 6 e 15 lados.^[4]

Livro V

O Livro V, que é independente dos quatro livros anteriores, diz respeito a razões de magnitudes (intuitivamente, o quanto uma forma é maior ou menor em relação a outra) e a comparação de razões.^[34] Heath e outros tradutores formularam suas primeiras seis proposições em álgebra simbólica, como formas da lei distributiva da multiplicação sobre a divisão e da lei associativa para a multiplicação. No entanto, Leo Corry argumenta que isso é anacrônico e enganoso, porque Euclides não tratava magnitudes como números, nem tomava uma razão como uma operação binária de números para números.^[35]

Grande parte do Livro V foi provavelmente averiguada de matemáticos anteriores, talvez Eudoxo,^[16] embora certas proposições, como V.16, lidando com "alternância" (se a : b :: c : d, então a : c :: b : d) provavelmente são anteriores a Eudoxo.^[36]

Christopher Zeeman argumentou que o foco do Livro V no comportamento das razões sob a adição de magnitudes, e seu consequente fracasso em definir razões de razões, foi uma falha que impediu os gregos de encontrar certos conceitos importantes, como a razão cruzada (central para a geometria projetiva).^[37]

Livro VI

O Livro VI usa a teoria das razões do Livro V no contexto da geometria plana,^[4] especialmente a construção e reconhecimento de figuras semelhantes. É construído quase inteiramente de sua primeira proposição:^[38] "Triângulos e paralelogramos que estão sob a mesma altura estão um para o outro como suas bases". Isto é, se dois triângulos têm a mesma altura, a razão de suas áreas é a mesma que a razão dos comprimentos de seus dois segmentos de base (e analogamente para dois paralelogramos da mesma altura). Esta proposição fornece uma conexão entre razões de comprimentos e razões de áreas.^[39] A Proposição 25 constrói, a partir de quaisquer dois polígonos, um terceiro polígono semelhante ao primeiro e com a mesma área do segundo. Plutarco atribui esta construção a Pitágoras, chamando-a de "mais sutil e mais científica" do que o teorema de Pitágoras. O famoso problema grego antigo da duplicação do cubo, agora conhecido como impossível com compasso e régua, é um caso especial do problema 3D análogo de construir uma figura com uma forma e volume especificados.^[40] O livro termina como começou, conectando dois tipos de razões: razões de ângulos, e razões de comprimentos de arcos circulares, na proposição 33.^[41]

Livros VII a X: Teoria dos números

A teoria dos números, a teoria da aritmética dos números naturais, é coberta pelos livros VII a X. O Livro VII começa com um conjunto de 22 definições para paridade (se um número é par ou ímpar), números primos, e outros conceitos relacionados à aritmética.^[4] A primeira dessas definições é para a unidade (em termos modernos, o número um), enquanto a segunda afirma que "um número é uma multidão composta de unidades";^[42] isso é geralmente interpretado como significando que, para Euclides, um não é um número, e os números naturais começam no dois.^[43]

Livro VII

O Livro VII lida com a teoria dos números elementar, e inclui 39 proposições, que podem ser vagamente divididas em: o algoritmo de Euclides, um método para determinar se os números são primos entre si e para encontrar o máximo divisor comum (1–4), frações (5–10), a teoria das proporções para números (11–19), números primos e primos entre si e a teoria dos máximos divisores comuns, (20–32), e mínimos múltiplos comuns (33–39).^[44]

Livro VIII

O tópico do Livro VIII são as progressões geométricas.^[44] Para Euclides, estas eram definidas pela propriedade de estarem em proporção contínua (cada duas magnitudes consecutivas têm a mesma razão) em vez de, como nos tratamentos modernos, por exponenciação (o $i$ -ésimo termo da progressão tem a forma $ax^{i}$ para constantes $a$ e $x$ ). Isso permitiu a Euclides evitar a multiplicação de mais de dois valores, mas levou a algumas provas desajeitadas de fatos que a notação exponencial tornaria óbvios.^[45]

A primeira parte do Livro VIII (proposições 1 a 10) lida com a construção e existência de progressões geométricas de inteiros em geral, e a divisibilidade dos membros de uma progressão geométrica entre si. As proposições 11 a 27 lidam com números quadrados e números cúbicos em progressões geométricas, e a relação entre essas progressões especiais e os elementos a dois ou três passos de distância em uma progressão geométrica arbitrária.^[44]

Livro IX

Após continuar as investigações do Livro VIII sobre quadrados e cubos em progressões geométricas,^[44] o Livro IX aplica os resultados dos dois livros precedentes e fornece a infinitude dos números primos (teorema de Euclides, proposição 20), a fórmula para a soma de uma série geométrica finita (proposição 35) e uma construção usando esta soma para números perfeitos pares (proposição 36). Aqui, um número é perfeito se ele é igual à soma de seus divisores próprios, como por exemplo 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.^[4]^[46] Alhazen conjecturou c. 1000, e no século XVIII Leonhard Euler provou, que esta construção gera todos os números perfeitos pares. Este resultado é o teorema de Euclides–Euler.^[47]

Livro X

Dos Elementos, o livro X é de longe o maior e mais complexo, lidando com (em termos modernos) números irracionais no contexto de magnitudes.^[16]^[48] A Proposição 9 (como reafirmada em termos modernos) prova a irracionalidade das raízes quadradas de todos os inteiros não quadrados, como ${\sqrt {2}}$ , a raiz quadrada de 2.^[49] Um lema para a Proposição 29 fornece a fórmula de Euclides para produzir todos os ternos pitagóricos fundamentais.^[50] Adicionalmente, este livro classifica comprimentos irracionais em treze categorias disjuntas, relacionadas à sua construção por várias combinações de outros comprimentos que são inteiros e suas raízes quadradas.^[51] No entanto, Wilbur Knorr adverte que "O estudante que aborda o Livro X de Euclides na esperança de que sua extensão e obscuridade escondam tesouros matemáticos provavelmente ficará desapontado. ... as ideias matemáticas são poucas."^[52]

Em vez de tratar magnitudes como números reais e perguntar se estes são números racionais, Euclides maneja este material em termos da comensurabilidade de comprimentos ou áreas: se dois segmentos de reta ou dois retângulos podem ambos ser medidos por um número inteiro de cópias de uma subunidade comum.^[48] Sua classificação de comprimentos como racionais ou irracionais difere do significado moderno: para Euclides, um segmento de reta é racional quando o quadrado em seu lado tem uma área racional. Isto é, para Euclides, um comprimento como ${\sqrt {2}}$ que é a raiz quadrada de uma área racional é ele próprio racional.^[53]

Este livro está conectado a uma curta passagem no diálogo Teeteto de Platão entre Sócrates, Teodoro de Cirene e Teeteto, um matemático mais jovem. Esta passagem discute uma prova de Teodoro de que os inteiros não quadrados de 3 a 17 têm raízes quadradas irracionais (após a descoberta muito anterior da irracionalidade de ${\sqrt {2}}$ ), a generalização deste resultado para todos os inteiros não quadrados por Teeteto, e uma classificação parcial dos números irracionais (com menos de 13 classes).^[54]^[55]

Livros XI a XIII: Geometria espacial

Os três livros finais discutem principalmente a geometria espacial.^[13] Ao introduzir uma lista de 37 definições, o Livro XI contextualiza os próximos dois.^[56] Embora seu caráter fundamental se assemelhe ao Livro I, diferentemente do Livro I, ele não apresenta nenhum sistema axiomático ou postulados.^[56]

Livro XI

O Livro XI generaliza os resultados do livro VI para figuras espaciais: perpendicularidade, paralelismo, volumes e semelhança de paralelepípedos (poliedros com três pares de faces paralelas). As três seções do Livro XI incluem conteúdo sobre: geometria espacial (1–19), ângulos sólidos (20–23) e paralelepípedos (24–37).^[56]

Livro XII

O Livro XII estuda os volumes de cones, pirâmides e cilindros em detalhes usando o método da exaustão, um precursor da integração,^[56] e mostra, por exemplo, que o volume de um cone é um terço do volume do cilindro correspondente.^[57] Ele conclui mostrando que o volume de uma esfera é proporcional ao cubo de seu raio (em linguagem moderna) aproximando seu volume por uma união de muitas pirâmides.^[58]

Livro XIII

O Livro XIII constrói os cinco sólidos platônicos (poliedros regulares) inscritos em uma esfera, compara as razões de suas arestas com o raio da esfera,^[59] e conclui os Elementos provando que estes são os únicos poliedros regulares.^[60]

Livros apócrifos

Dois livros adicionais, que não foram escritos por Euclides, os Livros XIV e XV, foram transmitidos nos manuscritos dos Elementos:^[61]

O Livro XIV foi provavelmente escrito por Hipsicles, seguindo um tratado de Apolônio de Perga. Ele continua o estudo no Livro XIII dos sólidos platônicos e suas esferas circunscritas. Conclui que, para um dodecaedro e icosaedro inscritos em uma esfera comum, a razão de suas áreas de superfície e a razão de seus volumes são iguais, sendo ambas^[61] ${\sqrt {\frac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{6}}}.$
O Livro XV pode ter sido escrito por um aluno de Isidoro de Mileto. Ele também estuda os sólidos platônicos; inscreve alguns deles uns dentro dos outros, conta suas arestas e vértices (sem, no entanto, encontrar a fórmula de Euler $V-E+F=2$ relacionando essas contagens entre si) e calcula os ângulos diedros entre suas faces.^[61]

A prática de adicionar às obras de autores famosos, exemplificada por esses livros, não era incomum na matemática grega antiga.^[61]

Método e estilo de apresentação de Euclides

• Traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer ponto.
• Descrever um círculo com qualquer centro e distância.

Euclides, Elements, Livro I, Postulados 1 e 3.^[62]

Uma animação mostrando como Euclides construiu um hexágono (Livro IV, Proposição 15). Cada figura bidimensional nos *Elementos* pode ser construída usando apenas um compasso e uma régua não graduada.^[62]

A abordagem axiomática e os métodos construtivos de Euclides foram amplamente influentes.^[63]^[64]

Muitas das proposições de Euclides eram construtivas, demonstrando a existência de alguma figura detalhando os passos que ele usava para construir o objeto usando um compasso (ferramenta para desenhar círculos) e régua (não graduada). Sua abordagem construtiva aparece até mesmo nos postulados de sua geometria, já que os primeiro e terceiro postulados afirmando a existência de uma linha e um círculo são construtivos. Em vez de afirmar que linhas e círculos existem de acordo com suas definições anteriores, ele afirma que é possível 'construir' uma linha e um círculo. Também parece que, para ele usar uma figura em uma de suas provas, ele precisa construí-la em uma proposição anterior. Por exemplo, ele prova o teorema de Pitágoras primeiro inscrevendo um quadrado nos lados de um triângulo retângulo, mas somente após construir um quadrado em uma linha dada uma proposição antes.^[65]

A apresentação de cada resultado é dada em uma forma estilizada, que, embora não inventada por Euclides, é reconhecida como tipicamente clássica. Ela tem seis partes diferentes: Primeiro é a 'enunciação', que declara o resultado em termos gerais (isto é, a declaração da proposição). Depois vem a 'exposição', que fornece a figura e denota objetos geométricos particulares por letras. Em seguida, vem a 'definição' ou 'especificação', que reafirma a enunciação em termos da figura particular. Então, a 'construção' ou 'maquinaria' segue. Aqui, a figura original é estendida para avançar a prova. Depois, a 'prova' propriamente dita segue. Finalmente, a 'conclusão' conecta a prova à enunciação, declarando as conclusões específicas extraídas na prova, nos termos gerais da enunciação.^[66]

Nenhuma indicação é dada sobre o método de raciocínio que levou ao resultado, embora um livro diferente de Euclides, Data, forneça instruções sobre como abordar os tipos de problemas encontrados nos primeiros quatro livros dos Elementos.^[67] Para provas envolvendo análise de casos, os Elementos muitas vezes incluem detalhes apenas do caso mais difícil; algumas dessas análises de casos foram preenchidas por editores posteriores como Téon.^[68]

A apresentação de Euclides era limitada pelas ideias matemáticas e notações em circulação comum em sua era, e isso faz com que o tratamento pareça desajeitado para o leitor moderno em alguns lugares. Por exemplo, não havia noção de um ângulo maior que dois ângulos retos,^[69] o número 1 era às vezes tratado separadamente de outros inteiros positivos, e, como a multiplicação era tratada geometricamente, como a área de um retângulo com comprimentos laterais dados, ele não usava o produto de mais de 3 números diferentes. O tratamento geométrico da teoria dos números pode ter sido porque a alternativa teria sido o sistema extremamente desajeitado dos numerais alexandrinos,^[70] um sistema numeral alfabético no qual cada letra grega representava um múltiplo de um dígito de uma potência de dez.^[71]

Recepção

Os Elementos de Euclides têm sido referidos como o livro didático mais bem-sucedido já escrito.^[18]^[72] Os Elementos são frequentemente considerados, depois da Bíblia, como o livro mais frequentemente traduzido, publicado e estudado na história.^[73] Com a Metafísica de Aristóteles, os Elementos são talvez o texto grego antigo de maior sucesso, e foi o livro-texto matemático dominante no mundo islâmico medieval e na Europa Ocidental.^[73]^[72] Foi um dos primeiríssimos trabalhos matemáticos a serem impressos após a invenção da prensa móvel e estima-se que seja o segundo apenas para a Bíblia no número de edições publicadas desde a primeira impressão em 1482,^[74]^[75] com o número chegando a bem mais de mil.^[75]

Antiguidade clássica

As evidências mais antigas existentes dos Elementos de Euclides são um conjunto de seis óstracos (fragmentos de argila com escrita riscada neles) encontrados entre os papiros e óstracos de Elefantina, do século III a.C., que lidam com as proposições XIII.10 e XIII.16, sobre a construção de um dodecaedro.^[76] Um papiro recuperado de Herculano^[77] contém um ensaio do filósofo epicurista Demétrio Lacon sobre os Elementos de Euclides.^[76] O mais antigo papiro existente contendo o texto real dos Elementos é o Papiro Oxirrinco 29, um fragmento contendo o texto do Livro II, Proposição 5 e um diagrama acompanhante, datado de c. 75–125 d.C..^[78]

Cópias do texto grego ainda existem, algumas das quais podem ser encontradas na Biblioteca do Vaticano e na Biblioteca Bodleiana em Oxford.^[e]^[f] Os manuscritos disponíveis são de qualidade variável, e frequentemente incompletos.^[79] Por meio de análise cuidadosa das traduções e originais, hipóteses foram feitas sobre o conteúdo do texto original.^[80] Também são importantes os escólios, ou anotações ao texto. Essas adições, que frequentemente se distinguiam do texto principal (dependendo do manuscrito), gradualmente se acumularam ao longo do tempo, à medida que as opiniões variavam sobre o que era digno de explicação ou estudo adicional.^[81]

No século IV d.C., Téon de Alexandria produziu uma edição de Euclides que foi tão amplamente usada que se tornou a única fonte sobrevivente em língua grega (em múltiplos manuscritos) até a descoberta de François Peyrard em 1808 no Vaticano de um manuscrito não derivado do de Téon.^[82] Este manuscrito, MS. Vat.gr.190,^[e] foi transcrito no século X. Ele não inclui texto que se identifique como editado por Téon, e falta um corolário à Proposição 33 do Livro VI que Téon afirmava ser sua própria adição. Ambas as versões gregas incluem muitas explicações além das proposições e suas provas que estão faltando nas traduções árabes dos Elementos. Isso provocou um debate acadêmico do século XIX entre M. Klamroth e J. L. Heiberg sobre se as diferenças entre as várias versões refletiam abreviações ou adições ao texto de Euclides. Revisitando esta questão, Wilbur Knorr fica do lado de Klamroth ao sugerir que as fontes árabes estavam mais próximas do original, mas conclui que "Nós nunca tivemos um texto 'genuíno' de Euclides, e nunca teremos um."^[82]

Embora Euclides fosse conhecido por Cícero, por exemplo, não existe registro do texto ter sido traduzido para o latim antes de Boécio no quinto ou sexto século.^[83]

Era medieval

Da antiguidade clássica até a invenção ocidental da imprensa, textos como os Elementos foram preservados e duplicados através do processo de cópia de manuscritos. Isso era laborioso e caro, então os manuscritos estavam frequentemente confinados às coleções dos ricos ou a instituições como a Casa da Sabedoria no mundo islâmico medieval ou os mosteiros e primeiras universidades da Europa medieval.^[84]

O mundo islâmico recebeu os Elementos do Império Bizantino por volta de 760. De acordo com fontes daquele meio, esta versão foi traduzida para o árabe sob Harune Arraxide (c. 800),^[83] em duas versões por Alhajaje ibne Iúçufe ibne Matar. Outra tradução árabe foi feita mais tarde no século IX por Isaque ibne Hunaine e revisada por Tábite ibne Curra.^[85]^[86] Embora a maioria dos manuscritos árabes tenha sido atribuída a uma ou outra dessas traduções, alguns misturam material de ambas,^[85] e suas atribuições nem sempre estão de acordo com as evidências de semelhanças textuais em manuscritos sobreviventes.^[86] Esta mistura também foi transmitida para as traduções medievais para o hebraico a partir do árabe.^[85]

O estudioso bizantino Aretas encomendou a cópia de um dos manuscritos gregos de Euclides no final do século IX;^[87] este e outro manuscrito bizantino são as duas cópias sobreviventes mais antigas do texto grego.^[88] Embora conhecido em Bizâncio, os Elementos estavam perdidos para a Europa Ocidental até cerca de 1120,^[89] exceto por fragmentos de uma tradução para o latim por Boécio (c. 500), citados em outras obras.^[90]^[g] Por volta de 1120, o monge inglês Adelardo de Bath traduziu os Elementos para o latim a partir de uma tradução árabe.^[91] Uma descoberta relativamente recente foi feita de uma tradução grego-para-latim do século XII em Palermo, Sicília. O nome do tradutor não é conhecido, além de que ele era um estudante de medicina anônimo de Salerno que estava visitando Palermo para traduzir o Almagesto para o latim. O manuscrito de Euclides é existente e bastante completo.^[89]

Após a tradução de Adelardo (que ficou conhecida como Adelardo I), houve uma enxurrada de traduções do árabe. Tradutores notáveis neste período incluem Hermano da Caríntia, que escreveu uma edição por volta de 1140, Roberto de Chester (seus manuscritos são referidos coletivamente como Adelardo II, escritos em ou antes de 1251), João de Tynemouth^[92] (final do século XII; seus manuscritos são referidos coletivamente como Adelardo III), e Gerardo de Cremona (algum tempo após 1120, mas antes de 1187). A história detalhada da transmissão dessas traduções ainda é uma área ativa de pesquisa.^[93] Campano de Novara baseou-se fortemente nessas traduções árabes para criar sua edição (algum tempo antes de 1260) que acabou por dominar as edições latinas até a disponibilidade de manuscritos gregos no século XVI. Existem mais de 100 manuscritos de Campano pré-1482 ainda disponíveis hoje.^[90]^[h] Após sua disponibilidade na Europa, os primeiros livros dos Elementos tornaram-se padrão nas universidades medievais como parte do quadrivium, o segundo estágio de instrução após o trivium de gramática, lógica e retórica.^[84]

Renascimento e período moderno inicial

A primeira edição impressa dos Elementos foi publicada por Erhard Ratdolt em 1482, baseada na versão de Campano,^[94] e desde então foi traduzida para muitas línguas e publicada em mais de mil edições diferentes.^[75] Um manuscrito descendente da versão grega de Téon foi recuperado e uma tradução latina foi publicada em Veneza em 1505 por de.^[95] O próprio texto grego foi publicado em 1533.^[96] O primeiro a traduzir os Elementos para uma língua europeia moderna foi Nicolo Tartaglia, que publicou uma edição italiana em 1543.^[97]

Em 1570, John Dee forneceu um "Prefácio Matemático" amplamente respeitado, juntamente com copiosas notas e material suplementar, para a primeira edição em inglês por Henry Billingsley.^[98]^[99]^[100] Em 1607, o jesuíta italiano Matteo Ricci e o matemático chinês Xu Guangqi publicaram a primeira edição chinesa dos Elementos de Euclides.^[101]

O Renascimento também viu a criação de novas obras sobre poliedros, ilustradas com desenhos em perspectiva, incluindo De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca (final dos anos 1400), seu plágio por Luca Pacioli como Divina proportione (1498, ilustrado por Leonardo da Vinci), e Perspectiva corporum regularium de Wenzel Jamnitzer (1568).^[102] Os Elementos foram a principal inspiração por trás do trabalho inicial de della Francesca nessa direção.^[103]^[104] Pacioli lecionou em Veneza sobre Euclides, e seu comentário foi incluído em uma edição de 1509 dos Elementos.^[105] Jamnitzer, da mesma forma, credita os Elementos nos subtítulos de seu livro.^[106]

Embora este período também tenha visto uma explosão de livros-texto recém-publicados, os professores muitas vezes se atinham aos clássicos: uma lista de leituras recomendadas pelo humanista holandês do século XVI Joachim Sterck van Ringelbergh, por exemplo, lista os Elementos como seu único livro de matemática.^[107] Mesmo depois que versões impressas existiam, uma universidade poderia esperar que seus alunos copiassem à mão o material da cópia dos Elementos da universidade.^[108]

Matemática moderna

No século XIX, os Elementos caíram em desuso como livro-texto de geometria, em parte suplantado por livros mais novos como o de Adrien-Marie Legendre,^[109]^[110]^[111] em parte por causa do surgimento de outras formas de geometria incluindo geometria não euclidiana, geometria analítica e geometria descritiva,^[112]^[113] e em parte pela pressão por uma abordagem à educação matemática com mais ênfase na intuição e menos na memorização.^[112]^[114] Charles Dodgson (mais conhecido como Lewis Carroll), em particular, protestou contra essa substituição de Euclides em seu livro Euclid and His Modern Rivals (1879).^[109] Outro defensor dos Elementos, o matemático e historiador W. W. Rouse Ball, observou que "o fato de que por dois mil anos [os Elementos] foi o livro-texto usual sobre o assunto levanta uma forte presunção de que não é inadequado para esse propósito."^[69] Apesar de cair em amplo desuso na educação, os Elementos ainda são ocasionalmente usados como livro-texto em projetos de educação experimental.^[115]

Os Elementos permanecem um objeto de estudo acadêmico para a história da matemática, e tiveram influência significativa em duas áreas da matemática moderna, o desenvolvimento da geometria não euclidiana^[116]^[117] e do método axiomático.^[118]^[119]

Geometria não euclidiana

As diferentes versões do postulado das paralelas resultam em geometrias diferentes.

O sistema geométrico estabelecido pelos Elementos dominou o campo por muito tempo; no entanto, hoje esse sistema é frequentemente referido como 'geometria euclidiana' para distingui-lo de outras geometrias não euclidianas descobertas no início do século XIX.^[73]

Uma das influências mais notáveis de Euclides na matemática moderna e, além da matemática, na física moderna e na descoberta da relatividade geral, é a discussão do postulado das paralelas.^[116]^[117] No Livro I, Euclides lista cinco postulados, o quinto dos quais estipula^[120]

Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas fizer os ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se naquele lado no qual estão os ângulos menores do que os dois ângulos retos.

Este postulado atormentou os matemáticos por séculos devido à sua aparente complexidade em comparação com os outros quatro postulados. Muitas tentativas foram feitas para provar o quinto postulado com base nos outros quatro, mas nunca tiveram sucesso. Eventualmente, em 1829, o matemático Nikolai Lobachevsky publicou uma descrição da geometria aguda (ou geometria hiperbólica), uma geometria que assumia uma forma diferente do postulado das paralelas. É de fato possível criar uma geometria válida sem o quinto postulado inteiramente, ou com diferentes versões do quinto postulado (geometria elíptica). Se alguém toma o quinto postulado como dado, o resultado é a geometria euclidiana.^[121]

Axiomática

O raciocínio axiomático dos Elementos de Euclides foi por muito tempo considerado o padrão de rigor matemático,^[122] mas as questões da solidez e completude dos axiomas de Euclides vieram à tona no final do século XIX, quando lacunas foram encontradas em seu raciocínio^[123] e quando David Hilbert começou a buscar "reviver o ponto de vista axiomático de Euclides", para desenvolver sistemas de axiomas melhorados através dos quais todas as questões matemáticas e físicas pudessem ser respondidas por cálculos simples.^[118] As esperanças de Hilbert foram frustradas na crise dos fundamentos do início do século XX, na qual Kurt Gödel e outros descobriram que qualquer sistema de axiomas sólido para a teoria dos conjuntos deve necessariamente ser incompleto.^[124] No século XXI, um novo padrão de rigor surgiu, as provas assistidas por computador, e as proposições dos Elementos (com algumas atualizações em suas provas) resistiram à verificação por computador.^[119]^[125]

Algumas das provas fundamentais dos Elementos usam suposições que Euclides não declarou explicitamente como axiomas. Por exemplo, na primeira construção do Livro 1, de um triângulo equilátero, Euclides usou uma premissa que não foi postulada nem provada: que dois círculos compartilhando o mesmo segmento de reta como raio se cruzarão em dois pontos, em vez de, de alguma forma, não se cruzarem.^[126]^[127] Este exemplo depende apenas de propriedades topológicas de seu diagrama, que permanecem evidentes mesmo se o diagrama for desenhado de forma imprecisa.^[128] No entanto, em outros casos, Euclides não provou que certos objetos eram distintos ou separados uns dos outros, e a possibilidade de que pudessem coincidir (um tipo de degenerescência) poderia não ser evidente a partir de um único diagrama. Um exemplo ocorre na bissecção de um ângulo por Euclides, construindo um triângulo isósceles no ângulo dado e um triângulo equilátero com a mesma base, e conectando por uma linha os ápices dos dois triângulos. Isso falha quando o ângulo inicial é 60° e os dois ápices coincidem.^[125]

Editores posteriores dos Elementos incluíram essas suposições axiomáticas implícitas, como o axioma de Pasch,^[129]^[130] nas listas de axiomas formais de suas edições.^[131] As primeiras tentativas de construir um conjunto mais completo de axiomas incluem os axiomas da geometria de Hilbert^[132]^[133] e os de Tarski.^[129]^[134] Em 2017, Michael Beeson et al. usaram assistentes de prova computacionais para criar e verificar um conjunto de axiomas semelhante ao de Euclides. Beeson et al. escolheram o sistema de Tarski como ponto de partida, em vez do de Hilbert, porque está mais próximo do de Euclides e usa apenas pontos como variáveis em suas fórmulas. Eles forneceram provas verificadas por computador de todas as proposições do Livro I, usando esses axiomas, e também provaram (usando uma formalização lógica separada dos números reais) que todos os seus axiomas são válidos para os pontos do sistema de coordenadas cartesianas.^[125]

Edições

Mais de mil edições dos Elements de Euclides foram publicadas,^[75] em grego, latim, inglês e outras línguas. Algumas das mais significativas incluem:

Edições contemporâneas

"Elementos" (em espanhol) 3 vols, 1996. Gredos ISBN 84-249-1464-3
"Thirteen Books of Euclid´s Elements" 3 vols., 1954. Dover Science. ISBN 0-486-60088-2
"Euclid's Elements - All thirteen books in one volume" Green Lion Press. ISBN 1-888009-18-7

Baseado na tradução de Heath.

"Os Elementos" (primeira tradução completa para o Português diretamente do Grego Clássico; Tradutor: Irineu Bicudo). Editora Unesp. ISBN 978-85-7139-935-8.

Seleção

Preclarissimus liber elementorum Euclidis perspicacissimi in artem geometriam incipit quam foelicissime. Veneza: Erhard Ratdolt. 1482 A editio princeps (em latim), baseada na tradução e comentário do século XIII de Campano.^[135]
Zamberti, Bartolomeo, ed. (1505). Euclidis megarẽsis philosophi platonici. Veneza: [s.n.] Primeira tradução latina completa diretamente do grego.^[95] A confusão no título entre Euclides de Alexandria, o autor dos Elements, e Euclides de Mégara, um filósofo de quase um século antes, foi um erro comum na Idade Média e Renascimento.^[136]
Lefèvre d'Étaples, Jacques, ed. (1516). Euclidis Megarensis Geometricorum elementorum liber XV. Paris: Henri Estienne Baseado em Campano e Zamberti, mas sem alguns comentários de Zamberti. A primeira edição publicada na França.^[137]
Grynaeus, Simon, ed. (1533). Ευκλείδου Στοιχεῖον. Basileia: Johann Herwagen Editio princeps do texto grego. Baseado em dois manuscritos gregos, Paris gr. 2343 e Venetus Marcianus 301,^[138] ambos "muito inferiores".^[95]
Tartalea, Nicolo, ed. (1543). Euclide megarense philosopho solo introduttore delle scientie mathematice. Veneza: Rossinelli A tradução de Tartaglia dos Elements para o italiano foi a primeira para qualquer língua europeia moderna, e foi baseada tanto em Campano quanto em Zamberti. Foi revisada em 1565 e reimpressa em 1569 e 1586.^[97]
Magnien, Jean, ed. (1557). Euclidis Elementorum libri XV grœce et latine. Paris: Cavellat Grego com tradução latina. Revisada postumamente por Stephanus Gracilis; incorpora uma tradução do Livro X de Pierre de Montdoré. Maioria das provas omitidas.^[139]
Billingsley, H., ed. (1570). The Elements of Geometrie. Prefácio por John Dee. Londres: John Daye A primeira edição publicada em língua inglesa.^[100]
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Clavius, Christopher, ed. (1574). Euclidis elementorum libri XV. Roma: Apud Vincentium Accoltum Latim, com comentários adicionais de Clavius. Publicado em uma 2ª edição expandida em 1584. Baseado em múltiplas fontes, mas mais intimamente relacionado à versão de Magnien e Gracilis.^[137]
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Briggs, Henry, ed. (1620). Eukleidou Stoicheiōn biblia 13 / Elementorum Euclidis libri tredecim. Londres: William Jones Apesar do título, isto inclui apenas os primeiros seis livros, com colunas paralelas de grego de Grynaeus 1533 e latim corrigido de Commandino 1572. A primeira edição em qualquer língua publicada na Inglaterra.^[100]
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Casey, John, ed. (1882). The First Six Books of the Elements of Euclid with Copious Annotations and Numerous Exercises. Dublin: Hodges, Figgis, & Co. ^[147] Casey produziu muitas edições subsequentes; a terceira edição foi republicada em uma edição online gratuita pelo Projeto Gutenberg. A versão de Casey dos Elements era provavelmente "Casey's frost book of page torn on dirty" da seção de geometria do Finnegans Wake de James Joyce.^[148] Casey também escreveu A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid (Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1881).
Heiberg, Johan Ludvig, ed. (1883–1888) Euclidis Opera omnia [Obras completas de Euclides, em grego]. Leipzig: Teubner. Os volumes 1–5 compreendem os Elements. Vol. I, Vol. II, Vol. III, Vol. IV, Vol. V. Heiberg consultou múltiplos manuscritos gregos para seu trabalho, assumindo a posição de que a única versão não editada por Téon, MS. Vat.gr.190, era a mais autêntica, mas seguindo as outras em pontos onde suspeitava que seu texto primário era defeituoso.^[82]
Heath, Thomas, ed. (1908). The Thirteen Books of Euclid's Elements. [S.l.]: Cambridge University Press 2ª ed., 1926. Em três volumes: Vol. I, Vol. II, Vol. III. Reimpressões incluem Dover, 1956; Green Lion Press, 2002, ISBN 1-888009-18-7 (volume único, sem o comentário de Heath);^[149] Barnes & Noble, 2006, ISBN 0-7607-6312-7 (volume único).

Referências

Notas

↑ Esta tradução é de Heath 1908, p. 1; para outra tradução, veja Proclus (1970). A commentary on the first book of Euclid's Elements. Traduzido por Morrow, Glenn Raymond. [S.l.]: Princeton University Press. p. 56
↑ Hipócrates de Quios não deve ser confundido com seu contemporâneo Hipócrates de Cós, famoso como o "pai da medicina".
↑ A recíproca deste postulado é: se os ângulos internos somam dois ângulos retos, então as linhas não se intersectam. Isso é provado nos Elements, usando uma noção comum ou postulado não listado aqui: "duas linhas retas não encerram nenhuma região", o que é equivalente a "duas linhas retas têm no máximo um ponto de interseção". É esta propriedade que permite distinguir a geometria euclidiana da geometria esférica
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↑ Pensava-se uma vez que uma tradução latina completa de Boécio permaneceu disponível na Inglaterra antes de Adelardo, e foi anotada por Alfredo, o Grande. No entanto, não há evidência de qualquer tradução completa de Boécio sobrevivente (se é que alguma vez existiu) e um manuscrito encontrado na Biblioteca Marciana em Veneza, contendo uma nota marginal de que foi anotado por Alfredo, é um dos muitos pós-Adelardo. Ver Busard 2005, p. 3 e Clagett 1954.
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Edição multilíngue de Elementa na Bibliotheca Polyglotta
David E. Joyce, ed. (1997). «Euclid's Elements» Em HTML com figuras interativas baseadas em Java.

Texto completo em português moderno
Livro I em HTML (da edição portuguesa de 1855)
TRadução moderna e análise do Livro I
Edição bilíngue grego-inglês (Em inglês. Usa a edição em grego de J.L Heidelberg (1883-1885) com tradução para o inglês moderno pelo autor, Richrd Fitzpatrick. Não inclui os Livros XIV e XVI nem escólios. Livre em PDF, disponível impresso.)
Reading Euclid - um curso em inglês para ler Euclides no original grego, com traduções da obra em inglês e comentários (HTML com ilustrações)
Texto completo em grego (pdf) (Domínio público)
Texto completo em grego
«Excertos dos manuscritos da tradução latina de Adelardo de Bath» (em inglês)
Tradução eletrônica do Inglês para o Esperanto
Os elementos no Perseus Project (em grego clássico). O site, além de conter uma tradução paralela para o inglês, permite que o usuário confira a tradução de palavra por palavra, apenas clicando sobre elas.

[translation-2] Esta tradução é de Heath 1908, p. 1; para outra tradução, veja Proclus (1970). A commentary on the first book of Euclid's Elements. Traduzido por Morrow, Glenn Raymond. [S.l.]: Princeton University Press. p. 56

[4] Hipócrates de Quios não deve ser confundido com seu contemporâneo Hipócrates de Cós, famoso como o "pai da medicina".

[22] A recíproca deste postulado é: se os ângulos internos somam dois ângulos retos, então as linhas não se intersectam. Isso é provado nos Elements, usando uma noção comum ou postulado não listado aqui: "duas linhas retas não encerram nenhuma região", o que é equivalente a "duas linhas retas têm no máximo um ponto de interseção". É esta propriedade que permite distinguir a geometria euclidiana da geometria esférica

[29] «P.Oxy. LXXXII 5299. Euclid, Elements 1.4 (Diagram), 8–11, 14–25 (without Proofs)» (em inglês). University of Oxford. 26 de setembro de 2022. Consultado em 3 de julho de 2025 Para a descoberta e conteúdo deste fragmento veja Henry 2016 e Dorandi 2018.

[vat190-83] 1 2 MS. Vat.gr.190.pt.1 e MS. Vat.gr.190.pt.2. Digital Vatican Library. Acessado em 11-9-2025.

[84] «MS. D'Orville 301». Bodleian Library. University of Oxford. Consultado em 11 de setembro de 2025

[97] Pensava-se uma vez que uma tradução latina completa de Boécio permaneceu disponível na Inglaterra antes de Adelardo, e foi anotada por Alfredo, o Grande. No entanto, não há evidência de qualquer tradução completa de Boécio sobrevivente (se é que alguma vez existiu) e um manuscrito encontrado na Biblioteca Marciana em Veneza, contendo uma nota marginal de que foi anotado por Alfredo, é um dos muitos pós-Adelardo. Ver Busard 2005, p. 3 e Clagett 1954.

[101] Campanus. «Manuscrito – Pal.lat.1348». Digital Vatican Library. Consultado em 20 novembro 2023

[FOOTNOTEGrant2002-1] Grant 2002.

[FOOTNOTEVan_der_Waerden1975197-3] Van der Waerden 1975, p. 197.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._6-5] 1 2 3 4 Asper 2010, § para. 6.

[FOOTNOTETaisbakVan_der_Waerden2021§_"Fontes_e_conteúdos_dos_''Elements''"-6] 1 2 3 4 5 6 7 8 Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Fontes e conteúdos dos Elements".

[FOOTNOTECuomo2005131-7] Cuomo 2005, p. 131.

[FOOTNOTESialaros2021§_"Obras"-8] 1 2 Sialaros 2021, § "Obras".

[FOOTNOTERouse_Ball191515-9] Rouse Ball 1915, p. 15.

[FOOTNOTERouse_Ball191538-10] Rouse Ball 1915, p. 38.

[vdw-11] Review of The Evolution of the Euclidean Elements por Bartel Leendert van der Waerden (1976), Historia Mathematica 3 (4): 497–499, doi:10.1016/0315-0860(76)90092-6.

[FOOTNOTEUnguru1985-12] Unguru 1985.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201193-13] Merzbach & Boyer 2011, p. 93.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201193–94-14] Merzbach & Boyer 2011, pp. 93–94.

[FOOTNOTEArtmann20123-15] 1 2 Artmann 2012, p. 3.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._4-16] Asper 2010, § para. 4.

[FOOTNOTEAsper2010§_para._2-17] Asper 2010, § para. 2.

[FOOTNOTESialaros2021§_"Os_''Elements''"-18] 1 2 3 4 5 6 7 Sialaros 2021, § "Os Elements".

[FOOTNOTEJahnke201018-19] 1 2 Jahnke 2010, p. 18.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201190-20] 1 2 Merzbach & Boyer 2011, p. 90.

[FOOTNOTEHeath1908154–155Vol._I-21] Heath 1908, pp. 154–155, Vol. I.

[FOOTNOTEArtmann20123–4-23] Artmann 2012, p. 3–4.

[FOOTNOTEWolfe19454-24] Wolfe 1945, p. 4.

[FOOTNOTEPickover200956-25] Pickover 2009, p. 56.

[FOOTNOTEArtmann20124-26] 1 2 3 4 5 Artmann 2012, p. 4.

[FOOTNOTECorry202112-27] Corry 2021, p. 12.

[FOOTNOTEReid196320-28] Reid 1963, p. 20.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201197-30] Merzbach & Boyer 2011, p. 97.

[31] Høyrup, Jens (2017). «What is 'geometric algebra', and what has it been in historiography?». AIMS Mathematics. 2 (1): 128–160. doi:10.3934/Math.2017.1.128

[FOOTNOTECorry2013-32] 1 2 Corry 2013.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer201198-33] Merzbach & Boyer 2011, p. 98.

[FOOTNOTEFowler1980-34] Fowler 1980.

[FOOTNOTEHerz-Fischler19981–3-35] Herz-Fischler 1998, pp. 1–3.

[FOOTNOTEArtmann201279-36] Artmann 2012, p. 79.

[FOOTNOTEArtmann20125-37] Artmann 2012, p. 5.

[FOOTNOTEArtmann20125–6-38] Artmann 2012, pp. 5–6.

[FOOTNOTECorry2021-39] Corry 2021.

[FOOTNOTEArtmann20125-6-40] Artmann 2012, p. 5-6.

[FOOTNOTEZeeman2008-41] Zeeman 2008.

[FOOTNOTEArtmann20126-42] Artmann 2012, p. 6.

[FOOTNOTEArtmann2012136-43] Artmann 2012, p. 136.

[FOOTNOTEArtmann2012148-44] Artmann 2012, p. 148.

[FOOTNOTEFletcher1938-45] Fletcher 1938.

[FOOTNOTEHeath1908Vol._II,_[https://archive.org/details/bwb_S0-AHZ-704_2/page/276_p._277]-46] Heath 1908, Vol. II, p. 277.

[FOOTNOTECaldwellReddickXiongKeller2012-47] Caldwell et al. 2012.

[FOOTNOTEArtmann20127-48] 1 2 3 4 Artmann 2012, p. 7.

[FOOTNOTEUnguru2018[https://books.google.com/books?id=DZRdDwAAQBAJ&pg=PA26_26–27]-49] Unguru 2018, pp. 26–27.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011103–104-50] Merzbach & Boyer 2011, pp. 103–104.

[FOOTNOTEO'ConnorRobertson1999-51] O'Connor & Robertson 1999.

[FOOTNOTEArtmann2012223-52] 1 2 Artmann 2012, p. 223.

[FOOTNOTEHeath190828–31Vol._III-53] Heath 1908, pp. 28–31, Vol. III.

[FOOTNOTEKnorr1975[https://books.google.com/books?id=_1H6BwAAQBAJ&pg=PA157_157]-54] Knorr 1975, p. 157.

[FOOTNOTERoskam2009-55] Roskam 2009.

[FOOTNOTEKnorr198360-56] Knorr 1983, p. 60.

[57] Ver Livro X, Definição 4, Heath 1908, Vol. III, pp. 10, 12–13.

[FOOTNOTEDyde1899[https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&pg=PA86_86–87]-58] Dyde 1899, pp. 86–87.

[FOOTNOTEKnorr198342-59] Knorr 1983, p. 42.

[FOOTNOTEArtmann20129-60] 1 2 3 4 Artmann 2012, p. 9.

[FOOTNOTEEdwards197923-61] Edwards 1979, p. 23.

[FOOTNOTEEdwards197924–25-62] Edwards 1979, pp. 24–25.

[FOOTNOTEArtmann201210-63] Artmann 2012, p. 10.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011106-64] Merzbach & Boyer 2011, p. 106.

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011107Apócrifos-65] 1 2 3 4 Merzbach & Boyer 2011, p. 107, Apócrifos.

[FOOTNOTEHartshorne200018-66] 1 2 Hartshorne 2000, p. 18.

[FOOTNOTEMueller1969-67] Mueller 1969.

[FOOTNOTEAndrade-MolinaRavn2016-68] Andrade-Molina & Ravn 2016.

[FOOTNOTEHartshorne200018–20-69] Hartshorne 2000, pp. 18–20.

[FOOTNOTEHeath1931216-70] Heath 1931, p. 216.

[FOOTNOTERouse_Ball191554-71] Rouse Ball 1915, p. 54.

[FOOTNOTEHeath190859Vol._I-72] Heath 1908, p. 59, Vol. I.

[FOOTNOTERouse_Ball191555-73] 1 2 Rouse Ball 1915, p. 55.

[FOOTNOTERouse_Ball191554,58,127-74] Rouse Ball 1915, pp. 54,58,127.

[FOOTNOTEHeath193115–18-75] Heath 1931, pp. 15–18.

[FOOTNOTEHartshorne20001-76] 1 2 Hartshorne 2000, p. 1.

[FOOTNOTETaisbakVan_der_Waerden2021§_"Legado"-77] 1 2 3 Taisbak & Van der Waerden 2021, § "Legado".

[FOOTNOTEMerzbachBoyer2011108-78] Merzbach & Boyer 2011, p. 108.

[FOOTNOTEBuntJonesBedient1988142-79] 1 2 3 4 Bunt, Jones & Bedient 1988, p. 142.

[FOOTNOTEFowler1999209-210-80] 1 2 Fowler 1999, pp. 209-210.

[81] P. Herc. 1061

[FOOTNOTEFowler1999210–211-82] Fowler 1999, pp. 210–211.

[FOOTNOTEHeath190847–51Vol._I-85] Heath 1908, pp. 47–51, Vol. I.

[FOOTNOTEHeath190851–53Vol._I-86] Heath 1908, pp. 51–53, Vol. I.

[FOOTNOTEHeath190864–74Vol._I-87] Heath 1908, pp. 64–74, Vol. I.

[FOOTNOTEKnorr1996-88] 1 2 3 Knorr 1996.

[FOOTNOTERussell2013177-89] 1 2 3 Russell 2013, p. 177.

[FOOTNOTESchubring2022-90] 1 2 Schubring 2022.

[FOOTNOTEElior2024-91] 1 2 3 Elior 2024.

[FOOTNOTEBrentjes2018-92] 1 2 Brentjes 2018.

[FOOTNOTEReynoldsWilson199157-93] Reynolds & Wilson 1991, p. 57.

[FOOTNOTEWardhaugh202346-94] Wardhaugh 2023, p. 46.

[FOOTNOTEMurdoch1967-95] 1 2 Murdoch 1967.

[FOOTNOTEFolkerts1989-96] 1 2 Folkerts 1989.

[FOOTNOTERouse_Ball1915165-98] Rouse Ball 1915, p. 165.

[FOOTNOTEKnorr1990-99] Knorr 1990.

[FOOTNOTEBusard20051-40Levantamento_das_traduções_árabe-latim_e_grego-latim-100] Busard 2005, pp. 1-40, Levantamento das traduções árabe-latim e grego-latim.

[FOOTNOTEFurlong2015-102] Furlong 2015.

[FOOTNOTEMueller1970[https://books.google.com/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PR47_xlvii]-103] 1 2 3 Mueller 1970, p. xlvii.

[FOOTNOTESwetz2021-104] Swetz 2021.

[FOOTNOTEElior2021-105] 1 2 Elior 2021.

[FOOTNOTEAlexandersonGreenwalt2012-106] Alexanderson & Greenwalt 2012.

[FOOTNOTEGoulding2009120-107] Goulding 2009, p. 120.

[FOOTNOTESimpkins1966-108] 1 2 3 4 Simpkins 1966.

[FOOTNOTESiu2011-109] 1 2 Siu 2011.

[FOOTNOTEWardhaugh2021212–226-110] Wardhaugh 2021, pp. 212–226.

[FOOTNOTEField1997246-111] Field 1997, p. 246.

[FOOTNOTEDavis197718–19-112] Davis 1977, pp. 18–19.

[FOOTNOTEDamiani2024-113] Damiani 2024.

[FOOTNOTERothstein2013101-114] Rothstein 2013, p. 101.

[FOOTNOTEGrafton2008-115] Grafton 2008.

[FOOTNOTEWardhaugh2021-116] Wardhaugh 2021.

[FOOTNOTEMoktefi2005-117] 1 2 Moktefi 2005.

[FOOTNOTEToumasis1990-118] Toumasis 1990.

[FOOTNOTESinclair2008[https://books.google.com/books?id=G_onDwAAQBAJ&pg=PA14_14–18]O_currículo_de_geometria_nos_Estados_Unidos_no_início_do_século_XIX-119] Sinclair 2008, pp. 14–18, O currículo de geometria nos Estados Unidos no início do século XIX.

[FOOTNOTEBrock1975-120] 1 2 Brock 1975.

[FOOTNOTESinclair2008[https://books.google.com/books?id=G_onDwAAQBAJ&pg=PA23_23–25]Década_de_1860:_Um_desafio_matemático_ao_domínio_da_geometria_euclidiana-121] Sinclair 2008, pp. 23–25, Década de 1860: Um desafio matemático ao domínio da geometria euclidiana.

[FOOTNOTESinclair2008[https://books.google.com/books?id=G_onDwAAQBAJ&pg=PA19_19–22]Década_de_1850:_Primeiras_influências_pedagógicas_no_currículo_de_geometria-122] Sinclair 2008, pp. 19–22, Década de 1850: Primeiras influências pedagógicas no currículo de geometria.

[123] Jameson 2019; Hoppen 2023

[FOOTNOTEBardi2008-124] 1 2 Bardi 2008.

[FOOTNOTEWardhaugh2023267–268-125] 1 2 Wardhaugh 2023, pp. 267–268.

[FOOTNOTEMajer2006-126] 1 2 Majer 2006.

[FOOTNOTEBeeson2022-127] 1 2 Beeson 2022.

[FOOTNOTEHeath1908155Vol._I-128] Heath 1908, p. 155, Vol. I.

[FOOTNOTELaubenbacherPengelley1999-129] Laubenbacher & Pengelley 1999.

[FOOTNOTEArtmann2012v-130] Artmann 2012, p. v.

[FOOTNOTEJahnke2003[https://books.google.com/books?id=c8AjDwAAQBAJ&pg=PA156_156]-131] Jahnke 2003, p. 156.

[FOOTNOTERobič2015-132] Robič 2015.

[FOOTNOTEBeesonNarbouxWiedijk2019-133] 1 2 3 Beeson, Narboux & Wiedijk 2019.

[FOOTNOTEHeath1908242Vol._I-134] Heath 1908, p. 242, Vol. I.

[FOOTNOTEToussaint1993-135] Toussaint 1993.

[FOOTNOTEPanza2012-136] Panza 2012.

[FOOTNOTESzmielew1974-137] 1 2 Szmielew 1974.

[FOOTNOTECederberg200141–43-138] Cederberg 2001, pp. 41–43.

[FOOTNOTEHeath190862Vol._I-139] Heath 1908, p. 62, Vol. I.

[FOOTNOTEHilbert1902-140] Hilbert 1902.

[FOOTNOTEBaldwin2018-141] Baldwin 2018.

[FOOTNOTETarski1959-142] Tarski 1959.

[FOOTNOTEBaldasso2013-143] Baldasso 2013.

[FOOTNOTEGoulding2009-144] Goulding 2009.

[FOOTNOTEWardhaugh2024-145] 1 2 Wardhaugh 2024.

[FOOTNOTEHeath1908101Vol._I-146] Heath 1908, p. 101, Vol. I.

[FOOTNOTEPantin2006-147] Pantin 2006.

[FOOTNOTEGavagna2014-148] Gavagna 2014.

[FOOTNOTEDe_Young2012-149] De Young 2012.

[FOOTNOTEAckerberg-Hastings2023-150] Ackerberg-Hastings 2023.

[FOOTNOTECairns1934-151] Cairns 1934.

[FOOTNOTEHawesKolpas2015-152] Hawes & Kolpas 2015.

[FOOTNOTEMoriarty2023-153] 1 2 Moriarty 2023.

[FOOTNOTECampbell2017-154] Campbell 2017.

[FOOTNOTEHenrici1884-155] Henrici 1884.

[FOOTNOTEMcCreedy2011-156] McCreedy 2011.

[FOOTNOTEWardhaugh2016-157] Wardhaugh 2016.

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