تحليل عقدي

  ميّز عن تحليل بطريقة العقد.

تمثيل الدالة f(x)=(x² - 1)(x - 2 - i)²/(x² + 2 + 2i).حيث تمثل الألوان عمدة عدد عقدي، والسطوع معيار عدد عقدي.

التحليل العقدي (الإنجليزية: Complex analysis) هو أحد فروع الرياضيات التي تبحث في توابع (دوال) الأعداد العقدية والتي تعرف أيضا بالعقدية، للتحليل العقدي استخدامات واسعة في الرياضيات التطبيقية وفي فروع متعددة من الرياضيات. الاهتمام الأساسي للتحليل العقدي هو الدوال التحليلية ذات المتغيرات العقدية، أو ما يعرف بالدوال تامة الشكل.

وصف موراي رالف شبيغل التحليل العقدي بأنه من أجمل فروع الرياضيات وأكثرها نفعا.

بسبب حتمية تحقيق معادلة لابلاس من طرف الجزئين الحقيقي والتخيلي لأية دالة تحليلية، فإن التحليل العقدي مستعمل بشكل مكثف في المعضلات ذات البعدين الاثنين في الفيزياء.

التاريخ

مجموعة ماندلبرو، مثال على الكسيريات.

التحليل العقدي هو واحد من الفروع الاعتيادية للرياضيات، تعود جذوره إلى قبيل بداية القرن التاسع عشر. من أهم أسمائه أويلر وغاوس وريمان وكوشي وفايرشتراس وغيرهم كثير في القرن العشرين. مجال آخر مهم يستعمل فيه التحليل العقدي هو نظرية الأوتار. في العصر الحالي، صار التحليل العقدي شعبيا جدا بسبب استعماله في إطار التحليل الديناميكي وفي الكسيريات اللائي هن مجرد تكرارٌ لدوال تامة الشكل.

الدوال العقدية

دالة عقدية هي دالة لها متغير وهو عدد عقدي وقيمها هي أعداد عقدية أيضا. وبصيغة أخرى، دالة عقدية هي دالة مجموعة انطلاقها ومجموعة وصولها هما ضمن المستوى العقدي.

$z=x+iy\,$ و

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

حيث $x,y\in \mathbb {R} \,$ و $u(x,y),v(x,y)\,$ دالتان ذات قيم حقيقية.

عادة، تُقدم المفاهيم الأساسية للتحليل العقدي من خلال تمديد الدوال الحقيقية الأساسية إلى مجموعة الأعداد العقدية. الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية والدوال المثلثية كلها أمثلة على ذلك.

الدوال تامة الشكل

المقالة الرئيسة: دالة تامة الشكل

في الرياضيات، تعد الدوال التامة الشكل مركزية في دراسة التحليل العقدي. دالة تامة الشكل (الإنجليزية: Holomorphic function) هي دالة عقدية معرفة في $\mathbb {C}$، يشترط فيها أن تكون قابلة للتفاضل في جوار ما لأي نقطة من مجموعة انطلاقها.

أهم النتائج

انظر إلى:

• تكامل المسار
• مبرهنة التكامل لكوشي
• دالة زيتا لريمان
• دالة جزئية الشكل

انظر أيضا

• التحليل الحقيقي
• دالة ذات قيم حقيقية
• دالة ذات عدة متغيرات حقيقية

وصلات خارجية

• مقالة تحليل عقدي في الموسوعة العربية.