Dodécagramme
Un dodécagramme est un polygone étoilé à 12 sommets. Sa première forme régulière est {12/5}. C'est un polygramme (en).
Tous les dodécagrammes partagent leurs sommets avec ceux d'un dodécagone {12/1}.
Dodécagramme dans un polyèdre étoilé
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Un antiprisme étoilé dodécagrammique
Un antiprisme étoilé croisé dodécagrammique
Aire d'un dodécagramme régulier
[modifier | modifier le code]Le dodécagramme régulier est un polygone étoilé régulier obtenu en reliant chaque sommet d'un dodécagone régulier au cinquième sommet suivant.
Aire orientée
[modifier | modifier le code]Soit le rayon du cercle circonscrit au dodécagramme.
Pour un polygone étoilé régulier , l'aire orientée est donnée par :
Dans le cas du dodécagramme , on a et . Ainsi :
Or :
Par conséquent :
L'aire orientée du dodécagramme régulier est donc :
Expression en fonction de la longueur d'arête
[modifier | modifier le code]Soit la longueur d'une arête du dodécagramme.
La relation entre et le rayon circonscrit est :
Comme :
on obtient :
En remplaçant dans l'expression précédente :
Après simplification :
En rationalisant le dénominateur :
Numériquement :
Aire orientée et aire géométrique
[modifier | modifier le code]L'aire calculée ci-dessus est l'aire orientée du polygone étoilé.
Pour un polygone simple, l'aire orientée coïncide avec l'aire géométrique. Dans le cas d'un polygone étoilé, certaines régions sont parcourues plusieurs fois lors du tracé du contour. L'aire orientée tient compte de ces multiplicités algébriques, tandis que l'aire géométrique correspond à la surface effectivement occupée par la figure.
L'expression fermée de l'aire géométrique du dodécagramme régulier n'est généralement pas donnée dans la littérature de référence et nécessite une étude détaillée de la structure interne du polygone étoilé.
Stellation
[modifier | modifier le code]Il existe trois stellations régulières de dodécagramme, {12/2}, {12/3} et {12/4}. Le premier est composé de deux hexagones, le second de trois carrés et le dernier de quatre triangles.
{12/2}
{12/3}
{12/4}
Graphe complet
[modifier | modifier le code]La superposition de tous les dodécagones et dodécagrammes les uns sur les autres - y compris le dégénéré de la composition de six digones (segments), {12/6} - produit le graphe complet K12 suivant :
Évocation dans la photographie
[modifier | modifier le code]Des formes apparentées au dodécagramme peuvent être observées en photographie dans les motifs produits par certains diaphragmes d'objectifs. Un diaphragme est constitué d'un ensemble de lamelles mobiles qui déterminent l'ouverture par laquelle passe la lumière. Lorsque l'ouverture est fortement réduite, les arêtes des lamelles provoquent des phénomènes de diffraction autour des sources lumineuses ponctuelles.
Des fabricants comme Canon, Nikon ou Sony utilisent souvent des diaphragmes à 9, 11 ou 13 lamelles pour obtenir un bokeh plus circulaire. Les diaphragmes à 12 lamelles sont plus rares mais recherchés dans certains objectifs haut de gamme pour la douceur du bokeh et l'esthétique obtenu sur la gestion de la diffraction lumineuse. Dans le cas d'un diaphragme comportant douze lamelles, les aigrettes de diffraction peuvent former un motif à douze branches présentant une symétrie proche de celle d'un dodécagramme. Cette ressemblance est particulièrement visible lors de la photographie du Soleil, d'éclairages urbains ou de toute autre source lumineuse intense apparaissant sur un fond sombre.
Le motif obtenu ne constitue cependant pas un véritable dodécagramme au sens géométrique du terme. Les branches visibles résultent de phénomènes optiques liés à la diffraction de la lumière et non de l'intersection de segments reliant les sommets d'un polygone régulier. La parenté entre les deux figures est donc essentiellement visuelle.
Les diaphragmes comportant un grand nombre de lamelles sont également recherchés pour leur capacité à produire un bokeh plus circulaire lorsque l'objectif est utilisé à grande ouverture. Les objectifs haut de gamme peuvent ainsi comporter neuf, onze, douze ou davantage de lamelles afin d'améliorer le rendu esthétique des zones hors foyer tout en produisant des motifs de diffraction plus réguliers à petite ouverture.
Le rapprochement est donc surtout :
- visuel (forme étoilée à 12 pointes) ;
- optique (étoiles de diffraction à 12 branches) ;
- symbolique dans certains schémas techniques ou logos liés à la photographie.
Référence
[modifier | modifier le code]Voir aussi
[modifier | modifier le code]Références
[modifier | modifier le code]- H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Dover Publications.
- Branko Grünbaum et G. C. Shephard, Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company.
Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code](en) Eric W. Weisstein, « Dodecagram », sur MathWorld
