Loi réciproque

loi réciproque
Fonction de masse
Fonction de répartition
Paramètres	$0<a<b,a,b\in \mathbb {R}$
Support	$[a,b]$
Densité de probabilité	${\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}$
Fonction de répartition	${\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Espérance	${\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}=M_{\text{ln}}(a,b)$
Médiane	${\sqrt {ab}}=G(a,b)$
Mode	$a$
Variance	${\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}$

En probabilités et en statistique, la loi réciproque, également appelée distribution log-uniforme, est une loi de probabilité continue. Elle se caractérise par le fait que sa densité de probabilité, dans son support de la distribution, est proportionnelle à l'inverse de la variable.

La loi réciproque est un exemple de loi inverse, et l'inverse d'une variable aléatoire avec une loi réciproque suit elle-même une loi réciproque.

Définition

La densité de probabilité de la loi réciproque est

$f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}1\!\!1_{[a,b]}(x)\quad {\text{ pour }}a>0.$

Ici, $a$ et $b$ sont les paramètres de la distribution, qui sont les bornes inférieure et supérieure du support, et $\ln$ est le logarithme naturel. La fonction de répartition est

$F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}1\!\!1_{[a,b]}(x).$

Moments, médiane, mode

L'espérance de la loi réciproque sur [a , b] est la moyenne logarithmique de a et b :

$\mathbb {E} (X)=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\mathrm {d} x={\frac {b-a}{\ln(b)-\ln(a)}}=M_{\ln }(a,b).$

Sa médiane est la moyenne géométrique de a et b, en effet :

$F(m;a,b)={\frac {\ln(m)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}={\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow {\frac {m}{a}}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{\frac {1}{2}}\Longleftrightarrow m={\sqrt {ab}}.$

Caractérisation

Relation entre la distribution log-uniforme et la distribution uniforme

Histogramme et log-histogramme des écarts aléatoires par rapport à la distribution réciproque

Une variable aléatoire positive X est distribuée de manière log-uniforme si le logarithme de X est distribué de manière uniforme, soit

$\ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).$

Cette relation est vraie quelle que soit la base de la fonction logarithmique ou exponentielle. Si $\log _{a}(Y)$ est distribué uniformément, alors il en est de même $\log _{b}(Y)$, pour deux nombres positifs quelconques $a,b\neq 1$. De même, si ${\rm {e}}^{X}$ est distribuée de manière log-uniforme, alors il en est de même $a^{X}$, où $0<a\neq 1$.

Par la varextropie

Pour une variable aléatoire X de densité f_X continue, on définit la varextropie pondérée de X par :

$VJ^{w}(X)={\frac {1}{4}}\int _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f_{X}(x)^{3}\mathrm {d} x-{\frac {1}{4}}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)^{2}\mathrm {d} x\right)^{2}$

alors X suit une loi réciproque si et seulement si $VJ^{w}(X)=0$.

Applications

La loi réciproque est d’une importance considérable dans l'analyse numérique, car les opérations arithmétiques d’un ordinateur, en particulier les multiplications et/ou divisions répétées, transforment les mantisses avec des lois initialement arbitraires en loi réciproque comme loi limite.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reciprocal distribution » (voir la liste des auteurs).