Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione

Data una matrice invertibile $G$, indicando con $G^{T}$ la sua trasposta si definisce $G$ ortogonale se

$GG^{T}=G^{T}G=I_{n}$

laddove $I_{n}$ è la matrice identità, ossia la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione $N$ è $N(N-1)/2$.

Proprietà

Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione $G^{T}G=I_{n}$.

Rileggendo similmente la relazione $GG^{T}=I_{n}$, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di $\mathbb {R} ^{n}$.

Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di $\mathbb {R} ^{n}$ che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se $V$ è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo e $f\colon V\to V$ è un'applicazione lineare con

$\langle f(x),f(y)\rangle =\langle x,y\rangle$

per tutti gli elementi $x$, $y$ di $V$, allora $f$ è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di $V$ da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 o 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno a un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

$(GH)\cdot (GH)^{T}=GHH^{T}G^{T}=GG^{T}=I.$

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali $n\times n$ forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con $\mathrm {O} (n)$.

La sua dimensione è $n(n-1)/2$. Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli $n^{2}$ numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle $n^{2}$ uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici $(i,j)$ che vanno da 1 a $n$, ma l'equazione relativa a $(i,j)$ con $i<j$ equivale a quella relativa a $(j,i)$ e quindi ci sono solo $n(n+1)/2$ equazioni indipendenti, e quindi $n(n-1)/2$ gradi di libertà.

Gruppo b-ortogonale

Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $b\colon V\times V\to \mathbb {R}$ una forma bilineare simmetrica che induce un prodotto scalare.

Il gruppo ortogonale associato a $b$ è il gruppo delle trasformazioni lineari di $V$ che preservano la forma bilineare.

$\mathrm {O} (b):=\{g\in \mathrm {GL} (V)\mid b(g(v),g(w))=b(v,w)\ \ \forall v,w\in V\}.$

In termini matriciali, vale che una matrice $M$ appartiene a tale sottogruppo se $M^{T}BM=B$, ove $B$ è la matrice di Gram associata alla forma bilineare considerata.

Si osserva inoltre che se il prodotto scalare coincide con il prodotto scalare standard, la matrice di Gram coincide con l'identità e si ottiene dunque il gruppo ortogonale con la definizione usuale. Infatti, i gruppi $\mathrm {O} (b)$ e $\mathrm {O} (n)$ sono isomorfi mediante un opportuno cambiamento di base quando $b$ è definita positiva.

Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è $1$ o $-1$. Questo si può dimostrare come segue:

$1=\det(I)=\det(G\cdot G^{T})=\det(G)\det(G^{T})=(\det(G))^{2}.$

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di $\mathrm {O} (n)$ di indice $2,$ chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato $\mathrm {SO} (n)$.

Autovalori e decomposizioni

Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto $1$. Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale $Q$, esiste una matrice ortogonale $P$, tale che:

$P^{-1}QP={\begin{pmatrix}R_{1}\\&R_{2}\\&&\ddots \\&&&R_{k}\\&&&&\pm 1\\&&&&&\ddots \\&&&&&&\pm 1\\\end{pmatrix}}$

dove $R_{1},\dots ,R_{k}$ denotano matrici di rotazione $2\times 2$. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici $R_{1},\dots ,R_{k}$ corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di $Q$.

Decomposizione QR

Se $A$ è una arbitraria matrice di tipo $m\times n$ di rango $n$ (cioè $m\geq n$), si può sempre scrivere:

$A=Q{\begin{pmatrix}R\\0\end{pmatrix}},$

dove $Q$ è una matrice ortogonale di tipo $m\times n$ e $R$ è una matrice triangolare superiore di tipo $n\times n$ con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di $A$.

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alla rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di $\mathbb {R} ^{2}$ sono $e_{1}=[1,0]$ e $e_{2}=[0,1]$ e un generico vettore $[x,y]$ di questo piano cartesiano si può scrivere:

$[x,y]=x[1,0]+y[0,1].$

La matrice ortogonale

$E_{1}:={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice $y=x$, poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y&x\end{bmatrix}}.$

La matrice ortogonale

$E_{2}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse $x$, poiché il punto $[x,y]$ ha come immagine $[x,-y]$:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&-y\end{bmatrix}}.$

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

$E_{1}\times E_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}};$

$E_{2}\times E_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.$

Si tratta delle due rotazioni nel piano di $\pi /2$ e di $-\pi /2$, rotazioni opposte: quindi le due matrici $E_{i}$ anticommutano. In formule:

$E_{1}^{2}=E_{2}^{2}=I,\qquad E_{1}E_{2}=-E_{2}E_{1}.$

Si considerino ora $E_{1}$ ed $E_{2}$ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

$(x,y):=xE_{1}+yE_{2}={\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}.$

Definendo

$A\cdot B:={\frac {1}{2}}(AB+BA),$

si trova

${\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v&u\\u&-v\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\begin{bmatrix}xu+yv&yu-xv\\xv-yu&xu+yv\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}xu+yv&xv-yu\\yu-xv&xu+yv\end{bmatrix}}{\Biggr )}={\begin{bmatrix}xu+yv&0\\0&xu+yv\end{bmatrix}}.$

Per il quadrato di una di queste matrici in particolare si ha:

${\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&0\\0&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.$

Si può quindi definire come prodotto scalare di $A$ e $B$ la precedente operazione. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica definita positiva. Il prodotto scalare di una matrice con sé stessa fornisce il quadrato della norma indotta.

Dato che le matrici scelte come base anticommutano, si vede che:

$E_{1}\cdot E_{2}=0.$

Le matrici $E_{1}$ ed $E_{2}$ sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

${\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&\mp \sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\pm \cos(\alpha )\end{bmatrix}}.$

Matrice ortogonale 3×3

${\begin{bmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{bmatrix}}.$

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio $n$-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione $n\times n$.

Bibliografia

• (EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
• (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
• (EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
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• (EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. Archiviato il 7 ottobre 2007 in Internet Archive.

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Gruppo ortogonale
• Matrice antisimmetrica
• Matrice normale
• Matrice simplettica
• Matrice trasposta coniugata
• Matrice unitaria
• Teorema di Schur-Horn

Collegamenti esterni

• matrice ortogonale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Orthogonal Matrix, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice ortogonale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.