Serie telescopica

L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

i cui termini appaiono nella forma

$a_{k}=A_{k+1}-A_{k}$

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione $\{A_{k}\}$:

${\begin{aligned}s_{n}&=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=\\&=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=\\&=A_{n+1}-A_{1}\,,\end{aligned}}$

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione $\{A_{k}\}$, dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

$\quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots$

Esempi

• Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.$

Si può dimostrare che la somma di questa serie è $1$ infatti

${\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),$

cioè si tratta di una serie telescopica con $A_{k}=-{\frac {1}{k}}$ e quindi

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.$

• Altro esempio è la serie geometrica:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,$

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,$

da cui si dimostra subito che se $\left|q\right|<1$ la serie converge a ${\frac {1}{1-q}}$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Telescoping Sum, su MathWorld, Wolfram Research.