Comprimento de onda

Comprimento de onda
Outros nomes	Período espacial
Símbolos	$\lambda$
Unidade no SI	metro (m)
Outras unidades	centímetro (cm), milímetro (mm), micrômetro (μm), nanômetro (nm)
Em unidades de base do SI	m
Transformação de coordenadas	Escalar
Expressões	$\lambda ={\frac {v}{f}}$, $\lambda ={\frac {2\pi }{k}}$
Dimensão	${\mathsf {L}}$

Relação entre o comprimento de onda e outras propriedades das ondas

Em física e matemática, o comprimento de onda, ou período espacial, de uma onda ou função periódica é a distância ao longo da qual sua forma se repete. Em outras palavras, é a distância entre pontos correspondentes consecutivos de mesma fase, como duas cristas, dois vales ou dois cruzamentos por zero. O comprimento de onda é uma característica das ondas progressivas, das ondas estacionárias e de outros padrões ondulatórios no espaço. O inverso do comprimento de onda é chamado de frequência espacial. O comprimento de onda costuma ser indicado pela letra grega lambda, λ. Em uma onda modulada, o termo pode se referir ao comprimento de onda da portadora do sinal. Também pode ser aplicado à envoltória que se repete em ondas moduladas ou em ondas formadas pela interferência de senoides.

Para uma onda senoidal que se propaga com velocidade constante, o comprimento de onda é inversamente proporcional à frequência. Ondas de maior frequência têm menor comprimento de onda, e ondas de menor frequência têm maior comprimento de onda.

O comprimento de onda depende do meio em que a onda se propaga, como o vácuo, o ar ou a água. São exemplos as ondas sonoras, a luz, as ondas na água e os sinais elétricos periódicos em um condutor elétrico. Uma onda sonora consiste em uma variação da pressão do ar. Na luz e em outras formas de radiação eletromagnética, variam as intensidades dos campos elétrico e magnético. As ondas na água são variações na altura de sua superfície. Nas vibrações da rede cristalina, variam as posições dos átomos.

O conjunto de comprimentos de onda ou frequências de um fenômeno ondulatório é chamado de espectro. Isaac Newton usou o termo para a faixa de cores da luz solar separada por um prisma. Além do espectro da luz visível, o termo se aplica a todo o espectro eletromagnético, ao espectro sonoro e ao espectro de vibrações.

Ondas senoidais

O comprimento de onda de uma onda senoidal, λ, pode ser medido entre dois pontos correspondentes de mesma fase, como duas cristas, na parte superior, dois vales, na parte inferior, ou dois cruzamentos por zero, como na figura.

Em meios lineares, qualquer padrão ondulatório pode ser expresso pela propagação independente de componentes senoidais. O comprimento de onda λ de uma onda senoidal que se propaga com velocidade constante $v$ é dado por

$$\lambda ={\frac {v}{f}},$$

em que $v$ é a velocidade escalar de fase, o módulo da velocidade de fase da onda, e $f$ é sua frequência. Em um meio dispersivo, a própria velocidade de fase depende da frequência da onda. Essa dependência é expressa pela relação de dispersão.

No caso da radiação eletromagnética, como a luz, no vácuo, a velocidade de fase é a velocidade da luz, cerca de 3 × 10⁸ m/s. Uma onda eletromagnética de rádio de 100 MHz tem, assim, comprimento de onda de aproximadamente 3 m, resultado da divisão de 3 × 10⁸ m/s por 10⁸ Hz. O comprimento de onda da luz visível vai de cerca de 700 nm, no vermelho profundo, a cerca de 400 nm, no violeta. Esses limites são aproximados. A sensibilidade visual também depende da intensidade da radiação e de características do observador, como a idade. Outros exemplos podem ser encontrados no artigo sobre o espectro eletromagnético.

Para ondas sonoras no ar a 20 °C, a velocidade do som é de aproximadamente 343 m/s. A faixa de frequências audíveis para o ouvido humano, em geral de 20 Hz a 20 kHz, corresponde, nessas condições, a comprimentos de onda de aproximadamente 17 m a 17 mm, respectivamente. Muitos morcegos usam ultrassom na ecolocalização. Os comprimentos de onda mais curtos favorecem a detecção de pequenos alvos, como insetos. Os comprimentos de onda do som audível são muito maiores que os da luz visível.

Ondas estacionárias senoidais em uma caixa cujas extremidades devem ser nós têm um número inteiro de meios comprimentos de onda no interior da caixa.

Uma onda estacionária, em preto, formada pela soma de duas ondas progressivas que se propagam em sentidos opostos, em vermelho e azul

Ondas estacionárias

Uma onda estacionária é um movimento ondulatório que permanece no mesmo lugar. Uma onda estacionária senoidal tem pontos fixos que não oscilam, chamados de nós, e seu comprimento de onda é o dobro da distância entre nós consecutivos.

A figura superior mostra três ondas estacionárias em uma caixa. A exigência de que haja nós nas paredes da caixa, um exemplo de condição de contorno, determina os comprimentos de onda permitidos. No caso de uma onda eletromagnética em uma caixa com paredes perfeitamente condutoras, por exemplo, essa condição decorre da impossibilidade de haver um campo elétrico tangencial nas paredes, o que exige que a amplitude da onda seja nula nesses pontos.

A onda estacionária pode ser expressa como a soma de duas ondas senoidais progressivas com velocidades de sentidos opostos. Por isso, o comprimento de onda e a frequência da onda estacionária se relacionam com a velocidade das ondas progressivas que a compõem pela mesma expressão, $v=\lambda f$. A velocidade da luz, por exemplo, pode ser determinada pela observação de ondas estacionárias em uma caixa metálica que contenha um vácuo ideal.

Cordas e tubos sonoros

Em uma corda ideal de comprimento L, fixa nas duas extremidades, os nós das extremidades limitam os comprimentos de onda possíveis a

$$\lambda _{n}={\frac {2L}{n}},\qquad n=1,2,3,\ldots$$

O número n é a ordem do harmônico. O primeiro harmônico tem um único ventre, ou antinó, o segundo tem dois, e assim por diante. Com uma extremidade fixa e outra livre, há um nó na primeira e um ventre na segunda. Nesse caso,

$$\lambda _{n}={\frac {4L}{n}},\qquad n=1,3,5,\ldots$$

As mesmas relações se aplicam, aproximadamente, a colunas de ar em tubos. Um tubo aberto nas duas extremidades admite $\lambda _{n}=2L/n$. Um tubo fechado em uma extremidade e aberto na outra admite $\lambda _{n}=4L/n$, apenas com harmônicos ímpares. Quanto ao deslocamento do ar, a extremidade fechada é um nó e a aberta é um ventre. Para a variação de pressão, ocorre o inverso.

Representação matemática

Ondas senoidais progressivas costumam ser expressas matematicamente em função de sua velocidade v na direção x, de sua frequência f e de seu comprimento de onda λ como

$$y(x,t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right),$$

em que y é o valor da onda na posição x e no instante t, e A é sua amplitude. Também é comum expressá-las em função do número de onda k, igual a 2π vezes o inverso do comprimento de onda, e da frequência angular ω, igual a 2π vezes a frequência,

$$y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)=A\cos \left(k(x-vt)\right).$$

Nessa forma, o comprimento de onda e o número de onda se relacionam com a velocidade e a frequência por

$$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},$$

ou

$$\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.$$

Na segunda forma apresentada, a fase $kx-\omega t$ costuma ser generalizada para $\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t$. Para isso, substitui-se o número de onda k por um vetor de onda que especifica a direção e o número de onda de uma onda plana no espaço tridimensional, em função do vetor posição r. Nesse caso, o número de onda k, que é o módulo de k, mantém a relação com o comprimento de onda apresentada acima. A grandeza v passa a ser a velocidade escalar na direção do vetor de onda. A primeira forma, que usa o inverso do comprimento de onda na fase, não se generaliza com a mesma facilidade para uma onda em uma direção arbitrária.

Também são comuns as generalizações para senoides de outras fases e para exponenciais complexas, como no caso das ondas planas. A convenção de usar a fase do cosseno em vez da fase do seno ao expressar uma onda decorre do fato de o cosseno ser a parte real da exponencial complexa

$$Ae^{i(kx-\omega t)}.$$

Comprimento de onda reduzido

O comprimento de onda reduzido, indicado por ƛ ou ${\bar {\lambda }}$, é o comprimento de onda dividido por $2\pi$. Sua relação com o número de onda e a frequência angular é

$${\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {1}{k}}={\frac {v}{\omega }}.$$

Na mecânica quântica, essa notação permite escrever a relação de de Broglie como $p=\hbar /{\bar {\lambda }}$, em que $\hbar =h/(2\pi )$ é a constante de Planck reduzida.

Meios em geral

O comprimento de onda diminui em um meio no qual a propagação é mais lenta.

Refração de uma onda ao entrar em um meio no qual sua velocidade é menor, com mudança na direção de propagação

Separação das cores por um prisma. Clique na imagem para ver a animação, caso ela não esteja em movimento.

A velocidade de uma onda depende do meio em que ela se propaga. Na água e no vidro, por exemplo, a velocidade da luz é menor que no vácuo. Ao atravessar uma interface estacionária entre meios, a frequência permanece a mesma. A redução da velocidade faz o comprimento de onda diminuir, como na figura à direita.

Essa mudança de velocidade ao entrar em um meio causa a refração, a mudança de direção das ondas que atingem obliquamente a interface entre dois meios. Para as ondas eletromagnéticas, a mudança no ângulo de propagação é regida pela lei de Snell.

A velocidade da onda pode mudar de um meio para outro e, em geral, também varia com o comprimento de onda. Por isso, a mudança de direção ao entrar em outro meio depende do comprimento de onda.

Para ondas eletromagnéticas, a velocidade em um meio depende de seu índice de refração e é dada por

$$v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},$$

em que c é a velocidade da luz no vácuo e n(λ₀) é o índice de refração do meio para o comprimento de onda λ₀, medido no vácuo. O comprimento de onda correspondente no meio é

$$\lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.$$

Quando se informa o comprimento de onda de uma radiação eletromagnética, em geral o valor se refere ao vácuo, salvo indicação de outro meio. Na acústica, em que a existência das ondas exige um meio material, o comprimento de onda é informado para um meio específico.

A variação da velocidade da luz com o comprimento de onda é chamada de dispersão. Ela também causa a separação da luz em suas cores componentes ao passar por um prisma. Essa separação ocorre porque o índice de refração do prisma varia com o comprimento de onda. Cada comprimento de onda se propaga com uma velocidade diferente no interior do prisma e sofre refração em um ângulo diferente. A relação matemática entre a velocidade da luz em um meio e o comprimento de onda é chamada de relação de dispersão.

Meios não uniformes

Comprimentos de onda locais, medidos de crista a crista, em uma onda oceânica que se aproxima da costa

O conceito de comprimento de onda pode ser útil mesmo quando a onda não é periódica no espaço. Na onda oceânica que se aproxima da costa na figura, por exemplo, o comprimento de onda local diminui à medida que a onda entra em águas rasas e se propaga mais lentamente. A análise pode se basear na comparação entre o comprimento de onda local e a profundidade local da água.

Uma onda senoidal que se propaga em um meio não uniforme, com perdas

Ondas que são senoidais no tempo, mas se propagam em um meio cujas propriedades variam com a posição, um meio não homogêneo, podem ter velocidade variável com a posição e, por isso, não ser senoidais no espaço. A figura à direita mostra um exemplo. À medida que a onda desacelera, seu comprimento de onda diminui e sua amplitude aumenta. Depois do ponto de resposta máxima, o comprimento de onda curto ocorre junto a uma perda elevada, e a onda se extingue.

A análise das equações diferenciais desses sistemas costuma ser aproximada, com o uso do método WKB, também chamado de método de Liouville-Green. O método integra a fase ao longo do espaço a partir de um número de onda local, que permite obter um "comprimento de onda local" da solução em função do tempo e do espaço. Em cada posição, o método considera o sistema como se ele fosse uniforme e tivesse as propriedades locais. Para estimar o número de onda ou o comprimento de onda local, basta conhecer a velocidade local de propagação na frequência em questão. O método também calcula uma amplitude que varia lentamente, de modo a satisfazer outras restrições das equações ou do sistema físico, como a conservação da energia da onda.

Cristais

Uma onda em uma linha de átomos pode ser interpretada com diferentes comprimentos de onda.

Nas vibrações de uma rede cristalina, os deslocamentos ocorrem em partículas discretas dispostas em uma rede regular. Isso produz aliasing, já que uma mesma vibração pode corresponder a diferentes comprimentos de onda, como na figura. Usar mais de um desses comprimentos de onda na representação é redundante. Por convenção, escolhe-se o maior comprimento de onda compatível com o fenômeno. O intervalo de comprimentos de onda suficiente para representar todas as ondas possíveis em um meio cristalino corresponde aos vetores de onda contidos na zona de Brillouin.

Essa indeterminação do comprimento de onda em sólidos deve ser levada em conta na análise de fenômenos ondulatórios, como as bandas de energia e as vibrações da rede cristalina. Ela é matematicamente equivalente ao aliasing de um sinal amostrado em intervalos discretos.

Formas de onda mais gerais

Ondas quase periódicas em águas rasas

O conceito de comprimento de onda costuma ser aplicado a ondas senoidais ou quase senoidais porque, em um meio linear e uniforme, uma componente senoidal mantém sua forma durante a propagação, com mudança de fase e, possivelmente, de amplitude. O comprimento de onda, assim como o número de onda ou o vetor de onda, caracteriza a onda no espaço. Sua relação com a frequência depende das condições físicas do sistema. As senoides são as soluções mais simples para ondas progressivas. Soluções mais complexas podem ser construídas por superposição.

No caso particular de meios uniformes e sem dispersão, ondas de outras formas também se propagam sem mudar de forma e com velocidade constante. Em certas circunstâncias, ondas que mantêm a forma também podem ocorrer em meios não lineares. A figura mostra ondas oceânicas em águas rasas com cristas mais pontiagudas e vales mais achatados que os de uma senoide. Esse perfil é típico de uma onda cnoidal, uma onda progressiva cujo nome vem da função elíptica de Jacobi de parâmetro m usada para expressá-la, geralmente indicada por $\operatorname {cn} (x;m)$. Ondas oceânicas de grande amplitude e de certas formas podem se propagar sem alteração graças às propriedades não lineares do meio em que essas ondas de superfície se propagam.

Comprimento de onda de uma forma de onda periódica não senoidal

Uma onda progressiva de forma fixa que se repete no espaço ou no tempo é uma onda periódica. Mesmo sem ser senoidal, uma onda desse tipo pode ter um comprimento de onda. Como na figura, ele é medido entre pontos correspondentes consecutivos da forma de onda.

Pacotes de ondas

Ver artigo principal: Pacote de ondas

Um pacote de ondas em propagação

Pacotes de ondas localizados são "pulsos" de atividade ondulatória que se deslocam como uma unidade e têm aplicações em muitos campos da física. Um pacote de ondas tem uma envoltória que determina a amplitude geral da onda. No interior dela, a distância entre cristas ou vales consecutivos às vezes é chamada de comprimento de onda local. A figura mostra um exemplo. Em geral, a envoltória do pacote se desloca com uma velocidade diferente daquelas das ondas que o compõem.

Por meio da análise de Fourier, os pacotes de ondas podem ser decompostos em somas infinitas, ou integrais, de ondas senoidais com diferentes números de onda ou comprimentos de onda.

Louis de Broglie postulou que toda partícula com um valor definido de momento linear p tem um comprimento de onda λ = h/p, em que h é a constante de Planck. Essa hipótese foi uma das bases da mecânica quântica. Esse comprimento de onda é chamado de comprimento de onda de Broglie. Em um tubo de raios catódicos que acelera elétrons por uma diferença de potencial de 30 kV, o comprimento de onda de Broglie é de cerca de 7 × 10⁻¹² m. Para evitar que a função de onda de uma partícula se estendesse por todo o espaço, de Broglie propôs o uso de pacotes de ondas para representar partículas localizadas no espaço. A extensão espacial do pacote e a dispersão dos números de onda das senoides que o compõem correspondem às incertezas na posição e no momento linear da partícula. O produto dessas incertezas tem um limite inferior estabelecido pelo princípio da incerteza de Heisenberg.

Interferência e difração

Interferência de dupla fenda

Ver artigo principal: Interferência

Padrão de intensidade luminosa em uma tela após a passagem da luz por duas fendas. As indicações à direita se referem à diferença entre os comprimentos dos percursos a partir das fendas, aqui idealizadas como fontes pontuais.

Quando formas de onda senoidais se somam, elas podem se reforçar, em uma interferência construtiva, ou se anular, em uma interferência destrutiva, dependendo de sua fase relativa. Esse fenômeno é usado no interferômetro. Um exemplo simples é a experiência da dupla fenda de Thomas Young, na qual a luz passa por duas fendas. Como na figura, a luz atravessa as fendas e atinge uma tela. O percurso até um ponto da tela é diferente para cada fenda e depende do ângulo θ que o percurso forma com a normal à tela. Se a tela estiver suficientemente distante das fendas, de modo que s seja grande em comparação com a separação d entre elas, os percursos serão quase paralelos e sua diferença será simplesmente $d\sin \theta$. A condição para a interferência construtiva é

$$d\sin \theta =m\lambda ,$$

em que m é um número inteiro. Para a interferência destrutiva, a condição é

$$d\sin \theta =\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\lambda .$$

Se o comprimento de onda da luz for conhecido, a separação entre as fendas pode ser determinada pelo padrão de interferência, ou pelas franjas, e vice-versa.

Para mais de duas fendas, o padrão é dado por

$$I_{q}=I_{1}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)}},$$

em que q é o número de fendas, g é a distância entre os centros de fendas consecutivas, chamada de constante da rede, e α é o ângulo de observação em relação à normal ao plano das fendas, para incidência normal. O primeiro fator, I₁, é o resultado para uma única fenda. Ele modula o segundo fator, que varia mais rapidamente e depende do número de fendas e de sua separação. Na figura, I₁ foi igualado a 1, uma aproximação bastante grosseira.

A interferência redistribui a luz. A energia luminosa não se altera, apenas sua distribuição no espaço.

Difração de fenda única

Ver artigos principais: Difração e Formalismo da difração

O padrão de difração de uma dupla fenda tem como envoltória o padrão de uma fenda única.

As noções de diferença de percurso e de interferência construtiva ou destrutiva usadas na experiência da dupla fenda também se aplicam à luz que atravessa uma única fenda e atinge uma tela. O principal resultado dessa interferência é espalhar a luz de uma fenda estreita em uma imagem mais larga na tela. Essa distribuição da energia da onda é chamada de difração.

A difração de Fraunhofer, ou de campo distante, permite aproximar como paralelos os raios que partem da abertura em direção a um mesmo ponto de observação. A distância necessária para essa aproximação depende das dimensões da abertura e do comprimento de onda. Na difração de Fresnel, ou de campo próximo, a curvatura das frentes de onda precisa ser levada em conta.

Na análise de uma fenda única, considera-se sua largura não nula, e cada ponto da abertura é tomado como uma fonte de pequenas ondas, as ondículas de Huygens, que compõem o feixe de luz. A luz que chega à tela a partir de cada ponto da fenda percorre uma distância diferente, ainda que a diferença possa ser muito pequena. Por isso, ocorre interferência.

No padrão de difração de Fraunhofer, a uma distância suficiente de uma fenda única e com a aproximação para ângulos pequenos, a distribuição de intensidade normalizada S se relaciona com a posição x pelo quadrado de uma função sinc,

$$S(u)=\operatorname {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2},$$

com

$$u={\frac {xL}{\lambda R}},$$

em que L é a largura da fenda, R é a distância da fenda ao padrão na tela e λ é o comprimento de onda da luz usada. A função S é nula quando u é um número inteiro diferente de zero. Os valores de x correspondentes a esses zeros têm uma separação proporcional ao comprimento de onda.

Resolução limitada pela difração

Ver artigos principais: Resolução angular e Sistema limitado por difração

A difração limita o poder de resolução dos instrumentos ópticos convencionais, como os telescópios, inclusive os radiotelescópios, e os microscópios. Para uma abertura circular, a mancha da imagem limitada pela difração é chamada de disco de Airy. A distribuição de intensidade é radialmente simétrica e envolve a função de Bessel de primeira ordem, J₁.

Para duas fontes pontuais de igual brilho, o critério de Rayleigh toma como limite de resolução a separação em que o máximo central do padrão de uma coincide com o primeiro mínimo do padrão da outra. Em um microscópio com abertura circular, o raio do disco de Airy referido ao plano do objeto é proporcional ao comprimento de onda da luz e depende da abertura numérica,

$$r_{\mathrm {Airy} }=1{,}22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }},$$

em que λ é o comprimento de onda no vácuo e a abertura numérica é definida por $\mathrm {NA} =n\sin \theta$. O índice de refração n é o do meio entre o objeto e a objetiva, e θ é o semiângulo do cone de raios aceito por ela. O critério de Rayleigh é uma medida convencional de resolução, cuja aplicação depende das condições de formação da imagem.

O tamanho angular da região central luminosa da imagem difratada por uma abertura circular, medido pelo raio até o primeiro mínimo nulo do disco de Airy, é uma medida mais usada para telescópios e câmeras. Ele é dado por

$$\delta =1{,}22{\frac {\lambda }{D}},$$

em que λ é o comprimento de onda das ondas focalizadas para formar a imagem, D é o diâmetro da pupila de entrada do sistema óptico, expresso na mesma unidade de comprimento, e δ é a resolução angular em radianos.

Como em outros padrões de difração, o tamanho do padrão é proporcional ao comprimento de onda. Comprimentos de onda menores podem, assim, permitir maior resolução.

Dimensões inferiores ao comprimento de onda

O termo inglês subwavelength se aplica a um objeto que tem uma ou mais dimensões menores que o comprimento da onda com a qual interage. Uma fibra óptica de diâmetro inferior ao comprimento de onda, por exemplo, é uma fibra óptica cujo diâmetro é menor que o comprimento de onda da luz que se propaga por ela.

As partículas também podem ter dimensões inferiores ao comprimento de onda da luz com a qual interagem. Para partículas muito menores que esse comprimento de onda, pode-se usar a aproximação do espalhamento de Rayleigh. Aberturas de dimensões inferiores ao comprimento de onda são orifícios menores que o comprimento de onda da luz que os atravessa. Essas estruturas têm aplicações na transmissão óptica extraordinária e em guias de onda de modo zero, entre outras áreas da fotônica.

O termo subwavelength também pode se referir a fenômenos que envolvem objetos com essas dimensões, como a formação de imagens de objetos menores que o comprimento de onda.

Ver também

• Espectro de emissão, conjunto de comprimentos de onda emitidos por uma substância
• Espectro de Fraunhofer, linhas escuras do espectro solar usadas como referências de comprimento de onda na óptica
• Raia espectral, linha de emissão ou absorção em um comprimento de onda específico
• Espectroscopia, estudo da matéria por meio de seus espectros

Ligações externas

• Conversão entre comprimento de onda e frequência para ondas sonoras e ondas de rádio
• Material didático sobre som e comprimento de onda para estudantes de 14 a 16 anos, arquivado em 13 de março de 2012
• Espectro eletromagnético visível em cores para a web e seus comprimentos de onda correspondentes