Relógio de sol

Relógio de sol vertical declinante, voltado para sul-sudoeste, no Moot Hall, em Aldeburgh, Suffolk, Inglaterra. O gnômon é uma haste tão fina que funciona como estilo. O lema em latim pode ser traduzido livremente como "Só conto as horas de sol".

Relógio horizontal encomendado em 1862. O gnômon é a lâmina triangular, e o estilo é sua borda inclinada.

Um relógio de sol é um instrumento de horologia que indica as horas do dia pela posição aparente [en] do Sol no céu, quando recebe luz solar direta. No uso civil, as horas são expressas em hora civil [en]. Em sentido estrito, o instrumento consiste em uma placa plana, o mostrador, e um gnômon, que projeta uma sombra sobre ela. À medida que o Sol parece se deslocar pelo céu, a sombra passa pelas linhas horárias traçadas no mostrador. O estilo é a borda do gnômon cuja sombra indica a hora, embora também se possa usar um único ponto, chamado nódulo. O gnômon projeta uma sombra larga, e a sombra do estilo permite ler a hora. O gnômon pode ser uma haste, um fio ou uma peça de metal fundido com decoração elaborada. Para que esse tipo de relógio mantenha a precisão ao longo do ano, o estilo deve ficar paralelo ao eixo [en] de rotação da Terra. O ângulo entre o estilo e a horizontal corresponde à latitude geográfica do relógio.

O termo relógio de sol também abrange instrumentos que indicam as horas pela altura do Sol, por seu azimute ou pela combinação dessas duas medidas. Relógios de sol são usados como objetos decorativos e metáforas, despertam curiosidade e são estudados pela matemática.

É possível acompanhar a passagem do tempo com uma vareta fincada na areia ou um prego fixado em uma tábua, colocando marcas na borda da sombra ou contornando-a em intervalos regulares. Relógios decorativos baratos, produzidos em série, muitas vezes têm gnômons mal alinhados e linhas horárias ou comprimentos de sombra inadequados, sem possibilidade de ajuste para indicar a hora correta.

Introdução

Há diferentes tipos de relógios de sol. Alguns indicam as horas por uma sombra ou por sua borda. Outros usam uma linha ou um ponto de luz.

O objeto que projeta a sombra, chamado gnômon, pode ser uma haste longa e fina ou outro objeto com ponta afilada ou borda reta. Há muitos tipos de gnômon. Ele pode ser fixo ou ter sua posição alterada com as estações do ano. Pode ficar na vertical, na horizontal, paralelo ao eixo da Terra ou em outra direção definida por cálculos matemáticos.

Uma linha de luz pode ser formada pela passagem dos raios solares por uma fenda estreita ou por sua concentração através de uma lente cilíndrica. Um ponto de luz pode resultar da passagem dos raios por um pequeno orifício, uma janela ou um óculo, ou de sua reflexão em um pequeno espelho circular. Esse ponto pode ser tão pequeno quanto um orifício estenopeico [en] de um solarígrafo ou tão grande quanto o óculo do Panteão.

As superfícies que recebem a luz ou a sombra também podem ter formas diferentes. Os planos são os mais comuns, mas também se usam partes de esferas, cilindros, cones e outras formas, para obter maior precisão ou por razões estéticas.

Os relógios diferem quanto à facilidade de transporte e à necessidade de orientação. A instalação de muitos modelos exige conhecer a latitude local, a direção vertical exata, determinada com um nível ou fio de prumo, e a direção do norte verdadeiro. Alguns relógios portáteis permitem encontrar a orientação correta sem bússola. Podem reunir, na mesma placa, dois mostradores que operam por princípios diferentes, como um horizontal e um analemático [en]. Nesses modelos, com o ajuste correto para a data, as leituras coincidem quando a placa está orientada corretamente.

Um relógio de sol pode indicar apenas a hora solar local. Para obter a hora oficial, são necessárias três correções.

1. A órbita da Terra não é perfeitamente circular, e seu eixo de rotação não é perpendicular ao plano orbital. Por isso, a hora solar indicada pelo instrumento difere da hora de um relógio comum em pequenas quantidades que mudam ao longo do ano. Essa correção, que pode chegar a 16 minutos e 33 segundos, é dada pela equação do tempo. Um relógio de sol mais elaborado, com estilo ou linhas horárias curvas, pode incorporá-la. Nos modelos mais simples e comuns, uma pequena placa às vezes informa as correções para diferentes épocas do ano.
2. A hora solar precisa ser corrigida pela diferença entre a longitude do relógio e a longitude de referência do fuso horário oficial. Por exemplo, um relógio de sol sem essa correção, a oeste de Greenwich, na Inglaterra, mas no mesmo fuso, indica uma hora anterior à oficial. Pode mostrar "11h45" ao meio-dia oficial e só indicar o meio-dia depois disso. Nos modelos com espaçamento angular uniforme, essa correção pode ser incorporada ao projeto pela rotação das linhas horárias em um ângulo constante, igual à diferença de longitude.
3. Onde há horário de verão, é preciso acrescentar o adiantamento oficial, geralmente de uma hora. O mostrador pode trazer duas numerações para as linhas horárias ou, em certos modelos, permitir a troca da numeração. É mais comum deixar esse ajuste a cargo de quem consulta o relógio ou mencioná-lo na placa de correções, quando ela existe.

Movimento aparente do Sol

Vista superior de um relógio de sol equatorial. As linhas horárias têm espaçamento uniforme ao redor do círculo. A sombra do gnômon, uma haste cilíndrica fina, se desloca das 3h às 21h no solstício ou em uma data próxima, quando o Sol atinge sua declinação máxima.

O movimento aparente do Sol facilita a compreensão do funcionamento dos relógios solares. A Terra gira em torno de seu eixo e percorre uma órbita elíptica ao redor do Sol. Para estudar o relógio, uma aproximação útil é imaginar o Sol girando em torno de uma Terra imóvel, na esfera celeste, e completando seu percurso diário em cerca de 24 horas. O eixo celeste é a linha que une os polos celestes. Como esse eixo coincide com o eixo de rotação terrestre, seu ângulo com a horizontal local corresponde à latitude geográfica.

Ao contrário das estrelas fixas, o Sol muda de posição na esfera celeste. Sua declinação é positiva na primavera e no verão do hemisfério norte, negativa no outono e no inverno e igual a zero nos equinócios, quando ele está sobre o equador celeste. A longitude celeste do Sol também muda, completando uma volta por ano. O caminho que ele percorre na esfera celeste é chamado eclíptica. Ao longo de um ano, a eclíptica atravessa as doze constelações do zodíaco.

Relógio de sol de arco e fio nos Jardins Botânicos de Singapura. Sua disposição corresponde à posição de Singapura, quase sobre a linha do equador.

Nesse modelo do movimento solar, se o gnômon estiver alinhado com os polos celestes, sua sombra gira a uma taxa aproximadamente constante, que não muda com as estações. Essa é a disposição mais comum. Ela permite usar as mesmas linhas horárias o ano inteiro. O espaçamento angular entre elas é uniforme quando a superfície que recebe a sombra é perpendicular ao gnômon, como no relógio equatorial, ou circular ao seu redor, como na esfera armilar.

Em outros casos, as linhas horárias não ficam igualmente espaçadas, mesmo que a sombra gire de modo uniforme. Se o gnômon não estiver alinhado com os polos celestes, a própria rotação de sua sombra será desigual, e o traçado das linhas terá de levar isso em conta. Os raios de luz que passam pela ponta do gnômon, por um pequeno orifício ou por um pequeno espelho formam um cone alinhado com os polos celestes. Quando o ponto luminoso ou a ponta da sombra incide sobre uma superfície plana, seu percurso forma uma seção cônica, como uma hipérbole, uma elipse ou, nos polos Norte e Sul, um círculo.

Essa seção cônica resulta da interseção entre o cone de raios luminosos e a superfície plana. O cone e sua seção mudam com as estações, acompanhando a declinação solar. Por isso, os relógios que seguem esses pontos de luz ou pontas de sombra costumam ter linhas horárias diferentes para cada época do ano. É o caso dos relógios de pastor, dos relógios de anel e dos gnômons verticais, como os obeliscos. Outra possibilidade é alterar o ângulo ou a posição do gnômon em relação às linhas horárias, como nos relógios analemáticos e de Lambert.

História

Ver também: História dos relógios de sol [en].

Relógio de sol do Vale dos Reis, no Egito, de cerca de 1500 a.C., entre os mais antigos conhecidos.

Os relógios de sol mais antigos conhecidos pela arqueologia são relógios de sombra de cerca de 1500 a.C., também expresso como antes da Era Comum, feitos no âmbito da astronomia egípcia [en] e da astronomia babilônica. Por volta de 240 a.C., Eratóstenes havia estimado a circunferência da Terra usando um obelisco e um poço. Alguns séculos depois, Ptolomeu calculou a latitude de cidades pelo ângulo do Sol. Os habitantes de Cuxe construíram relógios solares com o uso da geometria. O escritor romano Vitrúvio enumera, em De architectura, os mostradores e relógios de sombra conhecidos em sua época. A Torre dos Ventos, em Atenas, tinha um relógio de sol e uma clepsidra. Os relógios de sol canônicos [en] indicavam as horas canônicas dos atos litúrgicos e foram usados por ordens religiosas entre os séculos VII e XIV. O astrônomo italiano Giovanni Padovani [en] publicou, em 1570, um tratado com instruções para construir e traçar relógios solares de parede, verticais, e horizontais. A obra Constructio instrumenti ad horologia solaria, de Giuseppe Biancani, publicada por volta de 1620, explica como construir um relógio solar exato. Esses instrumentos tiveram uso comum a partir do século XVI.

Relógio de sol coreano, chamado angbu-ilgu, criado por Jang Yeong-sil [en] no período Joseon e exposto em Gyeongbokgung.

Funcionamento

Relógio horizontal do tipo londrino [en]. A borda oeste do gnômon funciona como estilo antes do meio-dia, e a borda leste, depois. A troca cria uma descontinuidade na escala horária, o intervalo do meio-dia.

Em geral, os relógios solares indicam as horas ao projetar uma sombra ou luz sobre uma superfície chamada mostrador. Embora normalmente seja plano, o mostrador também pode ser a superfície interna ou externa de uma esfera, um cilindro, um cone, uma hélice ou outra forma.

A hora é lida no ponto em que a sombra ou a luz incide sobre o mostrador, que costuma ter linhas horárias. Essas linhas geralmente são retas, mas também podem ser curvas, conforme o projeto. Alguns modelos permitem determinar a data, enquanto outros exigem que ela seja conhecida para se ler a hora correta. Nesses casos, podem existir conjuntos de linhas horárias para meses diferentes ou mecanismos para ajustar ou calcular o mês. O mostrador também pode ter indicações do horizonte, do equador e dos trópicos. Essas indicações adicionais são chamadas, em conjunto, de elementos auxiliares do mostrador.

O objeto inteiro que projeta sombra ou luz sobre o mostrador é o gnômon. Em geral, porém, apenas uma de suas bordas, ou outro elemento linear, projeta a sombra usada para determinar a hora. Esse elemento é o estilo. O estilo costuma ser paralelo ao eixo da esfera celeste e ficar alinhado com o meridiano geográfico local. Em certos projetos, apenas um ponto, como a ponta do estilo, permite determinar a hora e a data. Esse ponto é chamado nódulo. Alguns relógios usam o estilo e o nódulo para indicar a hora e a data.

O gnômon geralmente fica fixo em relação ao mostrador, mas há exceções. No relógio analemático, por exemplo, sua posição muda com o mês. Quando o estilo é fixo, a linha do mostrador situada perpendicularmente sob ele é chamada subestilo, isto é, "sob o estilo". O ângulo entre o estilo e o plano do mostrador recebe o nome de altura do subestilo, um uso pouco comum da palavra altura para designar um ângulo. Em muitos relógios de parede, o subestilo não coincide com a linha do meio-dia. O ângulo entre essas duas linhas, medido no plano do mostrador, é chamado distância do subestilo, outro caso em que uma palavra normalmente usada para uma medida linear designa um ângulo.

Muitos relógios solares trazem um lema, geralmente em forma de epigrama. Alguns fazem observações sombrias sobre a passagem do tempo e a brevidade da vida. Outros trazem comentários bem-humorados de quem construiu o relógio, como "Sou um relógio de sol e faço mal o que um relógio de bolso faz muito melhor".

Um relógio é equiangular quando suas linhas horárias são retas e têm o mesmo espaçamento angular. A maioria desses relógios tem estilo fixo, alinhado com o eixo de rotação da Terra, e uma superfície que recebe a sombra e é simétrica em relação a esse eixo. São exemplos o relógio equatorial, o arco equatorial, a esfera armilar e os relógios cilíndricos e cônicos. Outros modelos também são equiangulares, como o relógio de Lambert, uma versão do relógio analemático [en] com estilo móvel.

No hemisfério sul

Relógio de sol em Perth, na Austrália, no hemisfério sul. As horas seguem o sentido anti-horário. Acima do gnômon, o gráfico da equação do tempo permite corrigir a leitura.

Um relógio projetado para determinada latitude de um hemisfério precisa ter sua disposição invertida para funcionar na latitude oposta do outro hemisfério. Um relógio vertical voltado diretamente para o sul no hemisfério norte passa a ser um relógio vertical voltado diretamente para o norte no hemisfério sul. Para posicionar corretamente um relógio horizontal, é preciso encontrar o norte ou o sul verdadeiro. O mesmo procedimento permite determinar as duas direções. Com a inclinação ajustada à latitude, o gnômon deve apontar para o sul verdadeiro no hemisfério sul e para o norte verdadeiro no hemisfério norte. A numeração também muda de sentido. Em um mostrador horizontal do hemisfério sul, as horas avançam no sentido anti-horário.

Um relógio projetado para funcionar na horizontal em um hemisfério pode funcionar na vertical na latitude complementar do outro. Por exemplo, o relógio da imagem, em Perth, a 32° de latitude sul, funcionaria em uma parede vertical voltada para o sul a 58° de latitude norte, pois 90° − 32° = 58°. Essa latitude fica um pouco ao norte de Perth, na Escócia. Desconsiderando a diferença de longitude, a parede escocesa seria paralela ao solo horizontal australiano, e o relógio funcionaria da mesma maneira nas duas superfícies. As horas, que avançam no sentido anti-horário em um mostrador horizontal do hemisfério sul, também seguem esse sentido em um mostrador vertical do hemisfério norte, como nas duas primeiras imagens do artigo. Nos relógios horizontais do hemisfério norte e nos verticais do hemisfério sul, as horas avançam no sentido horário.

Ajustes para obter a hora de um relógio comum

A causa mais comum de uma grande diferença entre a leitura de um relógio solar e a de um relógio comum é a orientação incorreta do instrumento ou o traçado inadequado das linhas horárias. A maioria dos relógios vendidos comercialmente, por exemplo, é horizontal. Para funcionar com precisão, o relógio precisa ter sido projetado para a latitude local, e seu estilo deve ficar paralelo ao eixo de rotação terrestre. O estilo deve seguir a direção norte-sul verdadeira, e sua altura, isto é, o ângulo com a horizontal, deve corresponder à latitude. Muitas vezes, é possível ajustar esse ângulo inclinando um pouco o relógio para cima ou para baixo, sem mudar o alinhamento norte-sul do estilo.

Correção do horário de verão

Em lugares que adotam o horário de verão, a hora oficial é adiantada, geralmente em uma hora. Esse adiantamento deve ser acrescentado à leitura do relógio solar para que ela corresponda à hora oficial.

Correção do fuso horário e da longitude

Um fuso horário abrange, em princípio, cerca de 15° de longitude. Em qualquer ponto que não esteja sobre o meridiano de referência, geralmente um múltiplo de 15°, a diferença de longitude produz uma diferença de quatro minutos por grau em relação à hora desse meridiano. Por exemplo, o nascer e o pôr do sol ocorrem em uma hora oficial mais tardia na extremidade oeste de um fuso do que na extremidade leste. Um relógio solar situado 5° a oeste do meridiano de referência fica 20 minutos atrasado por esse motivo, já que o movimento aparente do Sol corresponde a cerca de 15° por hora. Essa correção é constante ao longo do ano. Em relógios equiangulares, como os equatoriais, os esféricos e os de Lambert, pode-se girar o mostrador em um ângulo igual à diferença de longitude, sem alterar a posição ou a orientação do gnômon. O procedimento não se aplica a outros tipos, como o horizontal, nos quais a correção precisa ser feita por quem consulta o relógio.

As fronteiras dos fusos, porém, foram adaptadas por razões políticas e práticas. Nos casos extremos, o meio-dia oficial, somado ao horário de verão quando adotado, pode anteceder o meio-dia solar em até três horas. Nessa situação, o Sol só cruza o meridiano às 15h do relógio comum. Isso ocorre no extremo oeste do Alasca, da China e da Espanha. Outros exemplos são apresentados no artigo sobre fusos horários.

No Brasil, Recife e Brasília compartilham a mesma hora oficial, mas a hora solar de Recife está cerca de 52 minutos adiantada em relação à de Brasília, devido à diferença de longitude.

Correção pela equação do tempo

Equação do tempo. Acima do eixo, o valor é positivo, e o relógio de sol fica adiantado em relação a um relógio que indica a hora solar média local. Abaixo do eixo, ocorre o contrário.

Ver artigo principal: Equação do tempo

Relógio de sol de Whitehurst & Son [en], feito em 1812, com escala circular para a correção pela equação do tempo. Está exposto no Museu de Derby.

O movimento aparente do Sol em torno da Terra não é perfeitamente uniforme. Isso ocorre pela excentricidade da órbita terrestre, que é ligeiramente elíptica, e pela inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano orbital. Por isso, a hora de um relógio solar difere da hora média local [en]. Em quatro dias do ano, a correção é praticamente nula. Em outros, o relógio solar pode adiantar ou atrasar cerca de um quarto de hora. Essa diferença é dada pela equação do tempo. A correção é a mesma no mundo inteiro, independentemente da latitude ou da longitude do observador. Ela muda, porém, em intervalos de séculos ou mais, devido às lentas alterações dos movimentos de translação e rotação da Terra. Tabelas e gráficos feitos há séculos já não fornecem os mesmos valores. A leitura de um relógio antigo precisa ser corrigida com a equação do tempo da época da consulta, e não com a de sua construção.

Alguns relógios têm uma placa com os valores da equação do tempo, para que o observador faça a correção. Em modelos mais elaborados, o ajuste pode ocorrer automaticamente. Certos relógios de arco equatorial, por exemplo, têm uma pequena roda para selecionar a época do ano. Ela gira o arco e corrige a leitura. Outros usam linhas horárias curvas ou um arco equatorial em forma de vaso, aproveitando a mudança da altura solar ao longo do ano para produzir a correção necessária.

O heliocronômetro é um relógio solar de precisão, concebido por Philipp Hahn [en] por volta de 1763 e aperfeiçoado pelo abade Guyoux por volta de 1827. Ele corrige a hora solar aparente para a hora solar média ou outra hora padrão. Em geral, os heliocronômetros permitem ler os minutos com erro inferior a um minuto em relação ao Tempo Universal.

Relógio de sol Sunquest, projetado por Richard L. Schmoyer, no Observatório de Mount Cuba [en], em Greenville, Delaware.

O relógio de sol Sunquest [en], projetado por Richard L. Schmoyer na década de 1950, usa um gnômon inspirado no analema para projetar uma faixa de luz sobre uma escala horária equatorial em forma de crescente. O instrumento permite ajustar a latitude e a longitude e corrige automaticamente a equação do tempo. Schmoyer o apresentou como "tão preciso quanto a maioria dos relógios de bolso". De modo semelhante, o relógio solar da Universidade Miguel Hernández projeta um gráfico da equação do tempo sobre uma escala horária, permitindo ler diretamente a hora de um relógio comum.

Relógio de sol no campus de Orihuela da Universidade Miguel Hernández [en], na Espanha. O gráfico da equação do tempo, projetado dentro da sombra, indica a hora de um relógio comum.

Pode-se acrescentar um analema a muitos tipos de relógios solares para corrigir a hora solar aparente e obter a hora solar média ou outra hora padrão. Nesses modelos, as linhas horárias costumam ter a forma de um oito, os analemas, traçada a partir da equação do tempo. Isso compensa a pequena excentricidade da órbita terrestre e a inclinação do eixo da Terra, que produzem diferenças da ordem de 15 minutos em relação à hora solar média. O analema é um dos elementos auxiliares encontrados nos relógios horizontais e verticais mais elaborados.

Antes da invenção de relógios mecânicos precisos, em meados do século XVII, os relógios solares eram os instrumentos de uso corrente que forneciam a hora tida como "certa". Não se aplicava a equação do tempo. Mesmo depois do aperfeiçoamento dos relógios mecânicos, a hora solar ainda era aceita como correta, e a divergência dos relógios comuns era vista como erro. A equação do tempo era aplicada no sentido inverso ao habitual: corrigia-se a hora do relógio mecânico para fazê-la coincidir com a do relógio solar. Alguns relógios de equação [en], como o construído por Joseph Williamson em 1720, faziam esse ajuste automaticamente. O relógio de Williamson pode ter sido o primeiro aparelho a empregar uma engrenagem diferencial. Só a partir de cerca de 1800 a hora regular do relógio mecânico passou a ser tida como "certa", e a hora solar, em geral, como "errada", dando à equação do tempo seu uso habitual.

Relógios com gnômon axial fixo

Os relógios solares mais comuns têm um estilo fixo, alinhado com o eixo de rotação da Terra. Ele segue a direção norte-sul verdadeira e forma com a horizontal um ângulo correspondente à latitude geográfica. Esse eixo aponta para os polos celestes, e o polo norte celeste fica próximo, mas não exatamente sobre a estrela polar Polaris. No Polo Norte, por exemplo, o eixo celeste é vertical. No equador, é horizontal. O mastro da Sundial Bridge [en], em Redding, Califórnia, forma o gnômon do maior relógio solar desse tipo. Um gnômon de Jaipur, que antes detinha esse título, se eleva 26°55' acima da horizontal, conforme a latitude local.

Em um dado dia, o Sol parece girar em torno desse eixo a aproximadamente 15° por hora, completando 360° em cerca de 24 horas. Um gnômon linear alinhado com o eixo projeta uma lâmina de sombra, um semiplano, do lado oposto ao Sol. Essa sombra também gira em torno do eixo celeste a cerca de 15° por hora. Ela se torna visível ao atingir uma superfície, geralmente plana, mas que pode ser esférica, cilíndrica, cônica ou de outro formato. Se a superfície for simétrica em relação ao eixo celeste, como na esfera armilar ou no relógio equatorial, a sombra se desloca de maneira uniforme sobre ela, e as linhas horárias têm espaçamento angular igual. Se a superfície não tiver essa simetria, como na maioria dos relógios horizontais, a sombra geralmente se desloca de maneira desigual, e as linhas não são igualmente espaçadas. Uma exceção é o relógio de Lambert, apresentado adiante.

Outros relógios têm gnômon fixo, mas sem alinhamento com os polos celestes, como um obelisco vertical. Esses modelos são apresentados na seção Relógios com nódulo.

Traçado empírico das linhas horárias

Ver também: Construção geométrica de relógios solares horizontais [en] e Equação do tempo.

As fórmulas a seguir permitem calcular a posição das linhas horárias em diferentes tipos de relógio. Alguns cálculos são simples, enquanto outros exigem muitas operações. Há também um procedimento empírico que pode ser usado em muitos modelos e poupa trabalho nos casos mais difíceis. Ele consiste em marcar, de hora em hora, a posição da sombra do gnômon de um relógio já montado. É preciso considerar a equação do tempo para que o traçado não dependa da época do ano em que as marcas são feitas. Uma maneira simples é acertar um relógio comum para que indique a "hora do relógio solar", somando à hora padrão o valor da equação do tempo naquele dia.

As linhas são traçadas nas posições da sombra do estilo quando esse relógio indica horas inteiras, e recebem a numeração correspondente. Quando ele marca 5h, por exemplo, registra-se a posição da sombra e escreve-se "5" ou "V", em algarismos romanos. Se o trabalho não for concluído em um único dia, o relógio comum deve ser reajustado a cada um ou dois dias, acompanhando a variação da equação do tempo.

Relógios equatoriais

Timepiece, relógio equinocial de Wendy Taylor [en], de 1973, nas docas de St Katharine, em Londres.

Relógio equatorial na Cidade Proibida, em Pequim. 39° 54′ 57″ N, 116° 23′ 25″ L O gnômon aponta para o norte verdadeiro, e seu ângulo com a horizontal corresponde à latitude local. Na imagem ampliada, os círculos de datas e as linhas horárias formam uma "teia de aranha".

O relógio equatorial, também chamado equinocial, tem uma superfície plana que recebe a sombra e é exatamente perpendicular ao estilo do gnômon. Esse plano é equatorial porque fica paralelo ao equador terrestre e ao equador celeste. Com o gnômon fixo e alinhado com o eixo de rotação da Terra, o movimento aparente do Sol produz uma lâmina de sombra que gira de maneira aproximadamente uniforme. Sua interseção com o plano equatorial é uma linha de sombra que também gira uniformemente. Como 24 horas de tempo solar correspondem a uma volta de 360° do ângulo horário, as linhas de um relógio equatorial ficam separadas por 15°, pois 360 ÷ 24 = 15.

$H_{E}=15^{\circ }\times t,\qquad t{\text{ em horas}}.$

O espaçamento uniforme facilita a construção. Quando o mostrador é opaco, é preciso marcar suas duas faces, pois a sombra incide por baixo no inverno e por cima no verão. Se o mostrador for translúcido, como o vidro, basta traçar os ângulos horários na face voltada para o Sol. A numeração, quando usada, deve ser feita nas duas faces, pois sua sequência muda de uma para a outra.

Outra vantagem é a possibilidade de corrigir a equação do tempo e o horário de verão apenas girando o mostrador, a cada dia, pelo ângulo adequado. Isso é possível porque os ângulos horários são igualmente espaçados. O modelo equatorial pode, assim, ser útil em locais públicos onde se deseja indicar a hora oficial local com precisão razoável. A correção é dada por

${\text{Correção em graus}}={\frac {{\text{equação do tempo em minutos}}+60\times \Delta {\text{horário de verão em horas}}}{4}}.$

Perto dos equinócios de primavera e outono, o percurso diário do Sol fica quase no próprio plano equatorial. Nessa época, o mostrador não recebe uma sombra nítida, o que limita o uso desse tipo de relógio.

Às vezes, acrescenta-se um nódulo ao gnômon para indicar a época do ano. Em cada dia, a sombra do nódulo percorre um círculo no plano equatorial, cujo raio permite determinar a declinação solar. Pode-se usar como nódulo uma extremidade da haste ou algum elemento ao longo dela. Uma variante antiga do relógio equatorial tem apenas um nódulo, sem estilo, e linhas horárias circulares concêntricas dispostas como uma teia de aranha.

Relógios horizontais

Para exemplos detalhados, veja Relógio solar londrino [en] e Relógio de sol de Whitehurst & Son [en].

Relógio horizontal em Minnesota, em 17 de junho de 2007, às 12h21. Coordenadas: 44°51'39,3"N, 93°36'58,4"O.

No relógio horizontal, também chamado relógio de jardim, o plano que recebe a sombra é horizontal. No relógio equatorial, esse plano é perpendicular ao estilo. Por isso, a linha de sombra não gira uniformemente sobre o mostrador horizontal. O espaçamento das linhas horárias segue a relação

$\tan H_{H}=\sin L\,\tan(15^{\circ }\times t),$

ou, de forma equivalente,

$H_{H}=\tan ^{-1}\left[\sin L\,\tan(15^{\circ }\times t)\right].$

Nessas expressões, L é a latitude geográfica e o ângulo entre o gnômon e o mostrador. $H_{H}$ é o ângulo, medido no plano, entre uma linha horária e a linha do meio-dia, alinhada com o norte verdadeiro. A variável t é o número de horas antes ou depois do meio-dia. Às 15h, por exemplo, $H_{H}$ é igual ao arco-tangente de sen L, pois tan 45° = 1. Quando $L=90^{\circ }$, no Polo Norte, o relógio horizontal se torna equatorial. O estilo é vertical, o mostrador fica paralelo ao plano equatorial e a fórmula se reduz a $H_{H}=15^{\circ }\times t$. No equador, onde $L=0^{\circ }$, um relógio horizontal exige um estilo também horizontal, elevado acima do mostrador, e é um exemplo de relógio polar.

Detalhe de um relógio horizontal diante do Palácio de Kew, em Londres, Reino Unido.

As vantagens do relógio horizontal são a facilidade de leitura e a possibilidade de receber luz solar ao longo de todo o ano. Todas as linhas horárias se encontram no ponto em que o prolongamento do estilo cruza o plano horizontal. Como o estilo é paralelo ao eixo de rotação terrestre, ele aponta para o polo celeste e forma com a horizontal um ângulo correspondente à latitude L. Um relógio projetado para uma latitude pode ser usado em outra, inclinando sua base para cima ou para baixo pelo valor da diferença entre elas. Por exemplo, um relógio feito para 40° pode funcionar a 45° se seu plano for inclinado em 5°, de modo que o estilo volte a ficar paralelo ao eixo terrestre.

Relógios de jardim precisam ter linhas horárias calculadas para a latitude de uso. Alguns modelos produzidos em série têm traçados incorretos que não podem ser corrigidos apenas com ajustes de posição. Um fuso horário tem, em princípio, 15° de largura, mas suas fronteiras podem acompanhar limites geográficos ou políticos. A adaptação à hora do fuso depende do tipo de mostrador. Nos modelos equiangulares, a rotação do mostrador em torno do estilo, mantido na direção do polo celeste, permite corrigir a longitude. Nos horizontais, cujos ângulos horários são desiguais, é preciso recalcular as linhas ou aplicar a correção à leitura. O horário de verão pode ser indicado por uma segunda numeração ou por uma tabela de correção. A falta de espaçamento angular uniforme também impede corrigir a equação do tempo apenas girando o mostrador em torno do eixo do gnômon. Esses relógios costumam trazer uma tabela da equação do tempo gravada no pedestal ou instalada nas proximidades. São comuns em jardins, adros de igrejas e espaços públicos.

Relógios verticais

Dois mostradores verticais em Houghton Hall, Norfolk, Reino Unido. 52° 49′ 39″ N, 0° 39′ 27″ L O da esquerda está voltado para o sul, e o da direita, para o leste. Os estilos são paralelos e formam com a horizontal um ângulo igual à latitude. O mostrador leste é polar, com linhas horárias paralelas e superfície paralela ao estilo.

No relógio vertical comum, o plano que recebe a sombra fica na vertical, e o estilo permanece paralelo ao eixo de rotação terrestre. Como no relógio horizontal, a linha de sombra não se desloca uniformemente sobre o mostrador. O relógio não é equiangular. Se o mostrador estiver voltado diretamente para o sul, o ângulo das linhas horárias é dado por

$\tan H_{V}=\cos L\,\tan(15^{\circ }\times t).$

A variável L é a latitude geográfica, $H_{V}$ é o ângulo, no plano do mostrador, entre uma linha horária e a linha do meio-dia, contida no plano norte-sul, e t é o número de horas antes ou depois do meio-dia. Às 15h, por exemplo, $H_{V}$ é o arco-tangente de cos L, pois tan 45° = 1. A sombra avança no sentido anti-horário em um mostrador vertical voltado para o sul. Nos relógios horizontais e nas faces norte dos equatoriais, ela avança no sentido horário.

Os mostradores perpendiculares ao solo e voltados exatamente para o sul, o norte, o leste ou o oeste são chamados verticais diretos. É comum a afirmação de que um mostrador vertical nunca recebe mais de doze horas de sol por dia, qualquer que seja a duração do dia. Há, porém, uma exceção nos trópicos. Um mostrador voltado para o polo mais próximo, como um mostrador norte entre o equador e o Trópico de Câncer, pode receber luz do nascer ao pôr do sol por mais de doze horas durante um breve intervalo próximo ao solstício de verão. A 20° de latitude norte, por exemplo, uma parede vertical voltada para o norte recebe 13 horas e 21 minutos de sol em 21 de junho. No hemisfério norte, os mostradores que não estão voltados diretamente para o sul podem receber bem menos de doze horas de sol, dependendo da orientação e da época do ano. Um mostrador voltado exatamente para o leste só indica as horas da manhã, pois não recebe sol à tarde. Os mostradores voltados diretamente para leste ou oeste são relógios polares, apresentados a seguir. Os voltados para o norte são pouco comuns, pois só funcionam na primavera e no verão e não indicam as horas próximas do meio-dia, exceto nas latitudes tropicais e, mesmo ali, apenas perto do solstício de verão. Nos mostradores verticais que não seguem uma direção cardeal, o cálculo da posição do estilo e das linhas horárias exige mais operações. Pode ser mais simples traçar as linhas por observação, mas a posição do estilo precisa ser calculada antes. Esses relógios são chamados declinantes.

Relógios de sol "duplos" em Nové Město nad Metují, na República Tcheca. A vista está voltada quase exatamente para o norte.

Relógios verticais são frequentemente instalados nas paredes de edifícios, como prefeituras, cúpulas e torres de igrejas, onde podem ser vistos de longe. Às vezes, uma torre retangular recebe um mostrador em cada uma de suas quatro faces, para indicar as horas ao longo do dia. O mostrador pode ser pintado na parede ou feito com incrustações de pedra. O gnômon costuma ser uma barra de metal, ou um tripé de barras para dar maior rigidez. Se a parede estiver voltada para o quadrante sul, mas não diretamente para o sul, o gnômon não acompanha a linha do meio-dia, e o traçado das linhas horárias precisa ser ajustado. O estilo mantém o alinhamento norte-sul verdadeiro, paralelo ao eixo terrestre, e seu ângulo com a horizontal corresponde à latitude local. Em um mostrador voltado diretamente para o sul, o ângulo entre o estilo e a superfície vertical é a colatitude, igual a 90° menos a latitude.

Relógios polares

Relógio polar no Planetário de Melbourne [en].

Relógio polar de grandes dimensões em Lalim, na Espanha.

Nos relógios polares, o plano que recebe a sombra fica paralelo ao estilo do gnômon. A sombra desliza lateralmente pela superfície, em uma direção perpendicular a si mesma, à medida que o Sol parece girar em torno do estilo. As linhas horárias, como o gnômon, são paralelas ao eixo de rotação da Terra. Quando os raios solares ficam quase paralelos ao mostrador, a sombra se desloca muito depressa, e as linhas horárias ficam muito afastadas. Os mostradores voltados diretamente para leste e oeste são exemplos desse tipo. Um mostrador polar, porém, não precisa ser vertical, apenas paralelo ao gnômon. Um plano inclinado em relação à horizontal pelo valor da latitude, sob um gnômon com a mesma inclinação, também forma um relógio polar. A distância perpendicular X das linhas horárias no plano é dada por

$X=H\,\tan(15^{\circ }\times t).$

A variável H é a altura do estilo acima do plano, e t é o intervalo, em horas, antes ou depois da hora central do mostrador. Essa hora corresponde ao instante em que a sombra do estilo incide diretamente sob ele. Em um mostrador leste, são 6h. Em um mostrador oeste, são 18h. No mostrador inclinado mencionado acima, é meio-dia. Quando t se aproxima de seis horas antes ou depois da hora central, a distância X cresce sem limite, tendendo em módulo a infinito [en]. Isso ocorre quando os raios solares se tornam paralelos ao plano.

Relógios verticais declinantes

Efeito da declinação do mostrador sobre as linhas horárias. Um relógio vertical a 51°N, voltado diretamente para o sul, à esquerda, indica as horas das 6h às 18h. Suas linhas convergem e são simétricas em relação à linha do meio-dia. O mostrador oeste, à direita, é polar, tem linhas paralelas e indica apenas as horas depois do meio-dia. Nas orientações intermediárias, sul-sudoeste, sudoeste e oeste-sudoeste, as linhas são assimétricas em relação ao meio-dia, e as linhas da manhã ficam progressivamente mais afastadas.

Dois relógios solares, um grande e outro pequeno, na Mesquita de Fatih, em Istambul, do fim do século XVI. Estão na fachada sudoeste, com desvio azimutal de 52°.

Um mostrador declinante é plano, não horizontal e não está voltado para uma direção cardeal exata, como norte, sul, leste ou oeste verdadeiro. O estilo permanece alinhado com o eixo de rotação terrestre, mas as linhas horárias não são simétricas em relação à linha do meio-dia. Em um mostrador vertical, o ângulo $H_{\mathrm {VD} }$ entre a linha do meio-dia e outra linha horária é dado pela fórmula a seguir. O ângulo é positivo no sentido horário, medido a partir da direção vertical superior. Para convertê-lo em hora solar, é necessário considerar o quadrante do mostrador em que a linha se encontra.

$\tan H_{\mathrm {VD} }={\frac {\cos L}{\cos D\,\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin L\,\sin D}}.$

A variável L é a latitude geográfica, e t é o intervalo antes ou depois do meio-dia. D é o ângulo de declinação do mostrador em relação ao sul verdadeiro, positivo para o lado leste. O número inteiro $s_{o}$ distingue a orientação: vale +1 nos mostradores parcialmente voltados para o sul e −1 nos parcialmente voltados para o norte. Quando o mostrador aponta diretamente para o sul, $D=0^{\circ }$, a expressão se reduz à fórmula do relógio vertical sul,

$\tan H_{V}=\cos L\,\tan(15^{\circ }\times t).$

Quando o mostrador não segue uma direção cardeal, o subestilo do gnômon não coincide com a linha do meio-dia. O ângulo B entre essas linhas é dado por

$\tan B=\sin D\,\cot L.$

Se o relógio vertical estiver voltado diretamente para o sul ou para o norte, com $D=0^{\circ }$ ou $D=180^{\circ }$, respectivamente, o ângulo B será zero, e o subestilo coincidirá com a linha do meio-dia.

A altura angular do gnômon, isto é, o ângulo G entre o estilo e o mostrador, é dada por

$\sin G=\cos D\,\cos L.$

Relógios reclinantes

Relógio reclinante no hemisfério sul, voltado diretamente para o norte, com linhas horárias e linhas hiperbólicas de declinação. Um mostrador vertical comum, nessa latitude tropical, não poderia ter uma linha de declinação para o solstício de verão. O relógio fica no Observatório do Valongo, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, no Brasil.

Os relógios apresentados até aqui têm gnômons paralelos ao eixo de rotação terrestre, que projetam sombra sobre um plano. Quando esse plano não é vertical, horizontal ou equatorial, o relógio é chamado reclinante ou inclinado. Pode estar, por exemplo, sobre um telhado voltado para o sul. O traçado das linhas horárias resulta de uma pequena alteração na fórmula do relógio horizontal.

$\tan H_{\mathrm {RV} }=\cos(L+R)\,\tan(15^{\circ }\times t).$

A variável R é o ângulo de reclinação em relação à vertical local, L é a latitude geográfica, $H_{\mathrm {RV} }$ é o ângulo entre uma linha horária e a linha do meio-dia, alinhada com o plano norte-sul, e t é o intervalo em horas antes ou depois do meio-dia. Às 15h, por exemplo, $H_{\mathrm {RV} }$ é o arco-tangente de cos L + R, pois tan 45° = 1. Quando R é zero, o mostrador é vertical e voltado para o sul, e a expressão se reduz à fórmula correspondente apresentada acima.

A nomenclatura da orientação varia entre autores. Quando a face se inclina para baixo, em direção ao solo, pode ser chamada proclinante ou inclinante. Quando se inclina para trás, afastando-se do solo, é chamada reclinante. O termo inclinado também é usado para todos esses casos. Outra convenção mede a inclinação em relação à horizontal do lado iluminado do mostrador. Com $I=90^{\circ }+R$, a fórmula passa a ser

$\tan H_{\mathrm {RV} }=\sin(L+I)\,\tan(15^{\circ }\times t).$

O ângulo B entre o estilo e o mostrador é

$B=90^{\circ }-(L+R),$

ou

$B=180^{\circ }-(L+I).$

Relógios declinantes e reclinantes

Alguns relógios têm um mostrador que não segue uma direção cardeal e tampouco é horizontal, vertical ou equatorial. É o caso de um relógio instalado em um telhado que não esteja voltado para o norte, sul, leste ou oeste verdadeiro.

As fórmulas do espaçamento das linhas horárias desses mostradores exigem mais operações do que as dos tipos mais simples.

Há métodos de cálculo com matrizes de rotação e outros que partem de um modelo tridimensional do plano declinante e reclinante e de seu plano vertical correspondente. Nesses últimos, obtêm-se as relações geométricas entre as componentes dos ângulos horários nos dois planos e simplificam-se as expressões trigonométricas.

Um sistema de fórmulas para esses relógios foi apresentado por Armyan Fennerwick. O ângulo $H_{\mathrm {RD} }$ entre a linha do meio-dia e outra linha horária é dado abaixo. Em relação à direção de ângulo horário zero, ele avança no sentido anti-horário nos mostradores parcialmente voltados para o sul e no sentido horário nos voltados para o norte.

$\tan H_{\mathrm {RD} }={\frac {\cos R\,\cos L-\sin R\,\sin L\,\cos D-s_{o}\sin R\,\sin D\,\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\,\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\,\sin L}}.$

A expressão se aplica a $D<D_{c}$ e $-90^{\circ }<R<90^{\circ }-L$.

Usando o ângulo de inclinação I, com $I=90^{\circ }+R$, obtém-se

$\tan H_{\mathrm {RD} }={\frac {\sin I\,\cos L+\cos I\,\sin L\,\cos D+s_{o}\cos I\,\sin D\,\cot(15^{\circ }\times t)}{\cos D\,\cot(15^{\circ }\times t)-s_{o}\sin D\,\sin L}},$

para $D<D_{c}$ e $0^{\circ }<I<180^{\circ }-L$.

Nessas fórmulas, L é a latitude geográfica, $s_{o}$ é o número inteiro que distingue a orientação, e t é o intervalo em horas antes ou depois do meio-dia. R e D são os ângulos de reclinação e declinação do mostrador. A reclinação R é medida a partir da vertical. É positiva quando a face se inclina para trás, em direção ao horizonte atrás do mostrador, e negativa quando se inclina para a frente, em direção ao horizonte do lado do Sol. A declinação D é positiva a leste do sul verdadeiro. Para mostradores inteiramente ou parcialmente voltados para o sul, $s_{o}=+1$. Para os voltados para o norte, $s_{o}=-1$. Como a expressão fornece o ângulo por meio de um arco-tangente, é preciso determinar a qual quadrante pertence cada hora antes de escolher o ângulo correto.

Nesse tipo de mostrador, nem toda declinação entre leste e oeste permite indicar as horas na face iluminada. No hemisfério norte, quando um mostrador parcialmente voltado para o sul se reclina para trás, afastando-se do Sol, o gnômon passa a ficar no plano do mostrador antes que a declinação alcance leste ou oeste exato. O mesmo ocorre no hemisfério sul com mostradores parcialmente voltados para o norte. Se esses mostradores se inclinarem para a frente, o intervalo de declinações possíveis ultrapassa as direções leste e oeste. Há uma restrição semelhante para mostradores do hemisfério norte voltados parcialmente para o norte e do hemisfério sul voltados para o sul, quando se inclinam para a frente em direção aos gnômons que apontam para cima. A declinação crítica $D_{c}$ depende da reclinação do mostrador e da latitude:

$\cos D_{c}=\tan R\,\tan L=-\tan L\,\cot I.$

Como no relógio vertical declinante, o subestilo não coincide com a linha do meio-dia. O ângulo B entre eles é dado por

$\tan B={\frac {\sin D}{\sin R\,\cos D+\cos R\,\tan L}}={\frac {\sin D}{-\cos I\,\cos D+\sin I\,\tan L}}.$

O ângulo G entre o estilo e o mostrador é dado por

$\sin G=\cos L\,\cos D\,\cos R-\sin L\,\sin R=\cos L\,\cos D\,\sin I+\sin L\,\cos I.$

Quando $G=0^{\circ }$, o gnômon está no plano do mostrador, e

$\cos D=\tan L\,\tan R=-\tan L\,\cot I.$

Isso ocorre quando $D=D_{c}$, o valor da declinação crítica.

Método empírico

O uso dessas fórmulas na construção de um relógio exige cuidado e pode levar a erros. Uma alternativa é traçar as linhas por observação, marcando a posição da sombra do estilo a cada hora indicada por um relógio comum e somando ou subtraindo a correção da equação do tempo daquele dia. O procedimento é explicado na seção Traçado empírico das linhas horárias.

Relógios esféricos

Relógio de arco equatorial em Hasselt, na Bélgica. 50° 55′ 47″ N, 5° 20′ 31″ L Os raios passam pela fenda estreita e formam uma lâmina de luz que gira uniformemente sobre o arco circular. As linhas horárias têm espaçamento igual. A imagem indica aproximadamente 15h de hora solar local. Em 10 de setembro, uma pequena esfera soldada na fenda projeta sua sombra no centro da faixa horária.

A superfície que recebe a sombra pode ter qualquer forma, desde que seja possível traçar nela as linhas horárias. Quando o estilo é paralelo ao eixo de rotação terrestre, a forma esférica permite linhas com espaçamento angular uniforme, como no relógio equatorial. O relógio é, nesse caso, equiangular. Esse é o princípio da esfera armilar e do relógio de arco equatorial. Outros relógios equiangulares, como o de Lambert, funcionam por princípios diferentes.

No relógio de arco equatorial, o gnômon é uma barra, uma fenda ou um fio esticado, paralelo ao eixo celeste. O mostrador é um semicírculo, correspondente ao equador da esfera, com marcações na superfície interna. Antes da Primeira Guerra Mundial, relógios desse tipo, com cerca de dois metros de largura e feitos de invar, uma liga metálica de dilatação térmica muito baixa, eram usados na França para regular os horários dos trens.

Dois arcos equatoriais de mármore do Jantar Mantar de Jaipur estão entre os relógios solares de maior precisão já construídos. Esse conjunto de relógios e outros instrumentos astronômicos foi construído pelo marajá Jai Singh II [en], entre 1727 e 1733, em sua nova capital, Jaipur, na Índia. O maior arco, chamado Samrat Yantra, "instrumento supremo", tem 27 m de altura. Sua sombra se move de forma perceptível, cerca de 1 mm por segundo, ou 6 cm por minuto, aproximadamente a largura de uma mão.

Relógios cilíndricos, cônicos e de outras superfícies curvas

Relógio solar de precisão em Bütgenbach, na Bélgica, com precisão de ±30 segundos. 50° 25′ 23″ N, 6° 12′ 06″ L

Outras superfícies curvas também podem receber a sombra do gnômon.

Uma alternativa é colocar o estilo na circunferência de um cilindro ou de uma esfera, em vez de no eixo central de simetria. Um orifício ou uma fenda na circunferência pode exercer essa função.

Nesse caso, as linhas horárias voltam a ter espaçamento angular uniforme, mas com o dobro do ângulo habitual, em razão do teorema do ângulo inscrito. Esse princípio é usado em alguns relógios recentes e já era empregado na Antiguidade.

Outra variante do relógio cilíndrico alinhado com o eixo polar usa uma superfície em forma de fita helicoidal, com um gnômon fino no centro ou na periferia.

Relógios com gnômon móvel

Há relógios em que a posição do gnômon em relação ao centro das linhas horárias muda a cada dia do ano. O gnômon não precisa ser paralelo aos polos celestes e pode até ser perfeitamente vertical, como no relógio analemático. A combinação apropriada de um desses mostradores com outro de gnômon fixo permite determinar o norte verdadeiro sem outro instrumento. Com os ajustes de data corretos, os mostradores são orientados até indicarem a mesma hora.

Anel equinocial universal

Ver artigo principal: Anéis astronômicos [en].

Relógio de anel universal, suspenso pelo cordão no alto à esquerda. O ponto de suspensão no anel meridiano vertical pode ser ajustado à latitude local. A barra central é girada até que um raio solar atravesse o pequeno orifício e atinja o anel equatorial horizontal. As anotações no Commons indicam as peças.

O relógio de anel equinocial universal, às vezes chamado apenas relógio de anel, embora esse nome também designe outros modelos, é uma versão portátil do relógio armilar, ou um instrumento inspirado no astrolábio náutico. Sua invenção é atribuída a William Oughtred, por volta de 1600, e seu uso se difundiu pela Europa.

Na forma mais simples, o estilo é uma fenda estreita que deixa a luz solar atingir as linhas horárias de um anel equatorial. O estilo deve ficar paralelo ao eixo terrestre. Para isso, o usuário pode orientar o instrumento para o norte verdadeiro e suspendê-lo verticalmente pelo ponto adequado do anel meridiano. Outra construção permite que o relógio encontre sua orientação sem esse alinhamento prévio. Ela usa uma barra central mais elaborada no lugar da fenda simples, às vezes acrescentada a um conjunto de anéis de Gemma [en]. A barra gira sobre suas extremidades e tem uma peça deslizante perfurada, ajustada ao dia e ao mês em uma escala gravada. Para ler a hora, gira-se a barra em direção ao Sol até que a luz atravesse o orifício e atinja o anel equatorial. Esse movimento exige girar o instrumento inteiro, alinhando seu anel vertical com o meridiano.

Quando o relógio não está em uso, os anéis equatorial e meridiano podem ser dobrados um sobre o outro, formando um pequeno disco.

Em 1610, Edward Wright criou o anel marítimo, um relógio de anel universal montado sobre uma bússola magnética. Ele permitia aos navegadores determinar a hora e a declinação magnética em uma única operação.

Relógios analemáticos

Ver artigo principal: Relógio de sol analemático [en].

Relógio analemático sobre uma linha meridiana no jardim da abadia de Herkenrode, em Hasselt, na Flandres, Bélgica.

Os relógios analemáticos são relógios horizontais com gnômon vertical e marcações horárias dispostas em uma elipse. O mostrador não tem linhas horárias: a hora é lida na elipse. O gnômon não fica fixo e deve mudar de posição diariamente para indicar a hora com precisão.

Alguns desses relógios usam uma pessoa como gnômon. Essa solução é pouco prática nas baixas latitudes, onde a sombra humana fica muito curta nos meses de verão. Uma pessoa de aproximadamente 1,68 m projeta uma sombra de cerca de 10 cm a 27° de latitude, no solstício de verão.

Relógios de Foster-Lambert

O relógio de Foster-Lambert também tem gnômon móvel. Seu mostrador é circular, com linhas horárias igualmente espaçadas, enquanto o analemático comum é elíptico. Trata-se de um relógio equiangular, como os equatoriais, esféricos, cilíndricos e cônicos apresentados acima. Seu gnômon não é vertical nem paralelo ao eixo de rotação terrestre. Ele se inclina para o norte por um ângulo $\alpha =45^{\circ }-\Phi /2$, em que $\Phi$ é a latitude geográfica. Assim, a 40° de latitude, o gnômon se inclina 25° para o norte em relação à vertical. Para indicar a hora correta, ele também deve ser deslocado para o norte pela distância

$Y=R\tan \alpha \tan \delta ,$

em que R é o raio do mostrador e $\delta$ é a declinação solar na época do ano.

Relógios de altura

Relógio solar de estilo otomano, com gnômon dobrado e bússola, no museu do Palácio Debbane [en], no Líbano.

Os relógios de altura medem a altura do Sol no céu. Os modelos de estilo axial medem diretamente seu ângulo horário em torno do eixo terrestre. Um relógio de altura é orientado para o Sol, sem necessidade de apontar para o norte verdadeiro, e geralmente fica na vertical. A altura solar é indicada pela posição de um nódulo, que pode ser a ponta da sombra do gnômon ou um ponto de luz.

A hora é lida onde a indicação do nódulo atinge um conjunto de curvas horárias que mudam com a época do ano. A construção de muitos desses relógios exige cálculos extensos, como ocorre com muitos relógios de azimute. Os relógios capuchinhos, apresentados adiante, podem ser construídos e usados por métodos gráficos.

Os relógios de altura têm algumas limitações. Como o Sol atinge a mesma altura em horas igualmente afastadas do meio-dia, por exemplo, às 9h e às 15h, é preciso saber se a leitura corresponde à manhã ou à tarde. Às 15h, isso geralmente não é difícil. Perto do meio-dia, porém, pode ser impossível distinguir uma leitura de 11h45 de outra de 12h15.

A precisão também diminui perto do meio-dia, quando a altura solar muda lentamente.

Muitos desses instrumentos são portáteis e simples de usar. Como outros relógios solares, costumam ser feitos para uma única latitude. O relógio capuchinho, porém, tem uma versão universal que permite ajustar a latitude.

Sombras humanas

O comprimento da sombra de uma pessoa, ou de qualquer objeto vertical, permite determinar a altura solar e, a partir dela, estimar a hora. Beda, o Venerável, elaborou uma tabela para estimar as horas pelo comprimento da própria sombra, medido em comprimentos do pé do observador. O cálculo supunha que a altura de um monge equivalia a seis vezes o comprimento de seu pé. A sombra varia com a latitude geográfica e com a época do ano. Ao meio-dia, por exemplo, é mais curta no verão e mais longa no inverno.

Geoffrey Chaucer menciona esse método em passagens dos Contos de Cantuária, como no "Conto do pároco".

Um relógio equivalente, feito com uma haste vertical de comprimento fixo, é chamado relógio de quadrante de Davis.

Relógios de pastor e bastões horários

Ver artigo principal: Relógio de pastor [en].

Bastão horário de pastor tibetano do século XIX.

O relógio de pastor [en], também chamado relógio de coluna de pastor, relógio de pilar, relógio cilíndrico ou chilindre, é um relógio solar cilíndrico portátil, com gnômon semelhante a uma lâmina que se projeta perpendicularmente ao cilindro. Em geral, fica suspenso por uma corda ou fio, na vertical. O gnômon pode ser girado até ficar sobre a indicação do mês ou do dia na superfície cilíndrica. Esse ajuste adapta a leitura à época do ano. Em seguida, gira-se o relógio suspenso até que o gnômon aponte para o Sol, mantendo o cilindro vertical. A ponta da sombra indica a hora nas curvas gravadas na superfície. Alguns relógios de pastor são ocos e permitem recolher o gnômon para dentro quando não estão em uso.

O relógio de pastor é mencionado em Henrique VI, Parte 3, entre outras obras literárias.

O mostrador cilíndrico pode ser desenrolado e disposto em uma placa plana. Em uma versão simples, cada face da placa tem três colunas, correspondentes a pares de meses com declinação solar aproximadamente igual: junho e julho, maio e agosto, abril e setembro, março e outubro, fevereiro e novembro, janeiro e dezembro. No alto de cada coluna há um orifício para inserir o gnômon, um pequeno pino. Muitas vezes, a coluna tem apenas duas indicações, uma para o meio-dia e outra para o meio da manhã ou da tarde.

Os bastões horários, também chamados lanças-relógio ou bastões horários de pastor, usam os mesmos princípios. O bastão tem oito escalas verticais gravadas para diferentes épocas do ano. Cada uma é calculada a partir da duração da luz do dia nos meses correspondentes. A leitura depende da hora, da latitude e da época do ano. Um pino é colocado no orifício ou na face adequada à estação, no alto do bastão. O instrumento é então voltado para o Sol, de modo que a sombra caia diretamente sobre a escala. Sua ponta indica a hora.

Relógios de anel

No relógio de anel, também chamado anel da Aquitânia ou anel perfurado, o aro fica suspenso na vertical, com sua borda voltada para o Sol. Um feixe de luz atravessa um pequeno orifício e atinge as curvas horárias gravadas na parte interna. O orifício costuma ficar em um aro móvel encaixado no anel, para que sua posição possa ser ajustada ao mês e à variação sazonal da leitura.

Relógios de cartão e capuchinhos

O relógio de cartão é outro tipo de relógio de altura. Sua borda é orientada para o Sol, e o cartão é inclinado até que um raio de luz atravesse uma abertura e atinja um ponto determinado. Assim se mede a altura solar. Um fio com peso fica suspenso na vertical a partir de um orifício do cartão e traz uma conta ou um nó. A posição dessa conta sobre as linhas horárias indica a hora. Em versões mais elaboradas, como o relógio capuchinho, há um único conjunto de linhas horárias, que não muda com as estações. O que muda é a posição do orifício de suspensão do fio.

Os relógios capuchinhos são construídos e usados por métodos gráficos. Os horizontais e equatoriais medem diretamente o ângulo horário, enquanto alguns relógios de altura e de azimute usam linhas horárias obtidas por cálculo.

Além do capuchinho comum, há o capuchinho universal, ajustável à latitude.

Navícula

Navícula de Veneza [en] exposta no Museu de História das Ciências de Genebra.

A Navicula de Venetiis [en], ou "pequena embarcação de Veneza", era um relógio de altura com a forma de um pequeno barco. Uma peça deslizante com fio de prumo era ajustada à latitude ao longo do mastro. O usuário mirava o Sol pelos dois orifícios nas extremidades do "convés", e o fio de prumo indicava a hora.

Relógios com nódulo

Relógio em Cracóvia. 50° 03′ 41″ N, 19° 56′ 24″ L A sombra do nódulo em forma de cruz percorre uma hipérbole que indica a época do ano, representada pelos signos do zodíaco. A leitura é de 13h50 em 16 de julho, 25 dias depois do solstício de verão.

Outro tipo de relógio acompanha o deslocamento de um único ponto de luz ou de sombra, chamado nódulo. Pode-se acompanhar a ponta da sombra de um gnômon, como a de um obelisco vertical, caso do Solário de Augusto, ou a ponta da haste horizontal de um relógio de pastor. Também se pode usar um pequeno orifício ou um espelho circular do tamanho de uma moeda, que produz um ponto luminoso. Ao longo do dia, os raios formam um cone. Quando atingem uma superfície, o percurso do ponto é a interseção desse cone com ela. Em geral, a superfície é um plano, e o percurso, chamado linha de declinação, forma uma seção cônica, como uma hipérbole ou uma elipse. Os gregos chamavam o conjunto de hipérboles de pelekonon, "machado", por sua semelhança com um machado de dois gumes, estreito no centro, perto da linha do meio-dia, e alargado nas extremidades, correspondentes às primeiras horas da manhã e às últimas da tarde.

Linhas de declinação dos solstícios e do equinócio em relógios situados em diferentes latitudes.

Há uma verificação simples para essas linhas hiperbólicas. A distância da origem à linha dos equinócios deve ser igual à média harmônica das distâncias da origem às linhas dos solstícios de verão e de inverno.

Os relógios com nódulo podem usar um pequeno orifício ou espelho para isolar um raio de luz. Os que usam orifício também são chamados relógios de abertura. Um dos exemplos mais antigos talvez seja o relógio antiboreal, ou antiboreum, um mostrador esférico voltado para o norte verdadeiro. Um raio solar entra pelo sul, através de um pequeno orifício no polo da esfera, e atinge as linhas de horas e datas gravadas em seu interior. Essas linhas lembram, respectivamente, os meridianos e paralelos de um globo.

Relógios de reflexão

Isaac Newton desenvolveu um relógio solar simples e barato, com um pequeno espelho no parapeito de uma janela voltada para o sul. O espelho funciona como nódulo, projetando um ponto de luz no teto. Conforme a latitude e a época do ano, esse ponto percorre uma seção cônica, como as hipérboles do pelekonon. Se o espelho for paralelo ao equador terrestre e o teto for horizontal, os ângulos resultantes serão os de um relógio horizontal comum. O teto permite aproveitar uma área livre e construir um mostrador grande o suficiente para obter boa precisão.

Relógios com mostradores combinados

Dois ou mais mostradores podem ser reunidos em um único instrumento. Quando operam por princípios diferentes, como um analemático combinado com um horizontal ou vertical, a combinação pode permitir encontrar a orientação correta. Para uma determinação sem conhecimento prévio da data, os dois precisam indicar a hora e a declinação. Nesse caso, dispensa-se a determinação prévia do norte verdadeiro: a orientação é correta quando as leituras de hora e declinação coincidem. As combinações mais comuns, porém, usam mostradores baseados no mesmo princípio. Além disso, o analemático normalmente não indica a declinação solar, de modo que a combinação não garante essa orientação por si só.

Relógios dípticos

Relógio díptico em forma de alaúde, de cerca de 1612. O estilo é um fio esticado entre uma face horizontal e outra vertical. Uma pequena conta no fio funciona como nódulo e indica a hora no pelekonon hiperbólico, logo acima da data gravada na face vertical.

O relógio em díptico consiste em duas pequenas placas planas unidas por uma dobradiça. Fechado, costuma formar uma caixa achatada que cabe no bolso. O gnômon é um fio entre as duas placas. Quando o fio está esticado, elas formam um relógio horizontal e outro vertical. Esses instrumentos eram feitos de marfim branco, com marcações incrustadas em laca preta. Os gnômons eram fios pretos de seda trançada, linho ou cânhamo. Com um nó ou uma conta no fio para funcionar como nódulo e com as marcações adequadas, um díptico, como qualquer relógio solar de tamanho suficiente, pode indicar as datas com precisão útil para o plantio. É incorreto supor que um díptico formado por mostradores horizontal e vertical, unidos pelo mesmo fio, encontre sua orientação apenas pela coincidência das horas. Como o fio é contínuo, as sombras sempre se encontram na dobradiça. Assim, qualquer orientação produz a mesma leitura nos dois mostradores.

Relógios de muitas faces

Uma combinação comum reúne mostradores em todas as faces de um sólido platônico, um poliedro regular, geralmente um cubo.

É possível construir relógios muito ornamentados colocando um mostrador em cada superfície de um objeto sólido.

Em outros casos, os mostradores são cavidades abertas no objeto. Podem ser cilíndricas, alinhadas com o eixo de rotação terrestre e com as bordas funcionando como estilos, ou esféricas, como nos antigos hemisphaerium e antiboreum, mencionados na seção de história. Alguns desses relógios cabem sobre uma mesa. Outros são grandes monumentos de pedra.

As faces de um relógio poliédrico podem indicar simultaneamente a hora de diferentes fusos. Os relógios solares escoceses [en] dos séculos XVII e XVIII são exemplos, frequentemente com formas poliédricas elaboradas e até faces convexas.

Relógios prismáticos

Os relógios prismáticos são um caso particular dos polares. As arestas de um prisma cuja base é um polígono côncavo funcionam como estilos, e suas faces laterais recebem a sombra. São exemplos as cruzes tridimensionais e as estrelas de Davi colocadas sobre sepulturas.

Modelos incomuns

Relógio de Benoy

Relógio solar de Benoy indicando 18h.

O relógio de Benoy foi inventado por Walter Gordon Benoy, de Collingham, em Nottinghamshire [en], na Inglaterra. Seu instrumento produz uma lâmina de luz equivalente à lâmina de sombra de um gnômon. Para isso, a luz atravessa uma fenda estreita, é refletida por um espelho longo e fino, geralmente semicilíndrico, ou é concentrada por uma lente cilíndrica. No Reino Unido, há exemplares nos seguintes locais:

• Carnfunnock Country Park, no condado de Antrim, Irlanda do Norte.
• Upton Hall, no Instituto Britânico de Horologia [en], em Newark-on-Trent [en], Nottinghamshire.
• Coleções do St Edmundsbury Heritage Service, em Bury St Edmunds.
• Longleat [en], Wiltshire.
• Centro de Ciências de Jodrell Bank.
• Jardim Botânico de Birmingham [en].
• Museu da Ciência de Londres, número de inventário 1975-318.

Relógio bifilar

Relógio bifilar de aço inoxidável na Itália.

Ver artigo principal: Relógio de sol bifilar [en].

Inventado pelo matemático alemão Hugo Michnik em 1922, o relógio bifilar [en] tem dois fios que não se cruzam e ficam paralelos ao mostrador. Em geral, um é ortogonal ao outro. O ponto de encontro das sombras indica a hora solar local.

Relógio digital

Ver artigo principal: Relógio de sol digital [en].

Um relógio solar digital indica a hora com algarismos formados pela luz do Sol. Há exemplares no Museu Alemão, em Munique, e no Parque dos Relógios de Sol de Genk, na Bélgica. Uma versão pequena também é comercializada. Existe uma patente para esse tipo de relógio.

Relógio de globo

O relógio de globo consiste em uma esfera alinhada com o eixo de rotação terrestre e equipada com uma aleta esférica. Como os relógios de estilo axial fixo, ele determina a hora pelo ângulo do Sol em seu movimento aparente ao redor da Terra. Esse ângulo é obtido girando a aleta até que sua sombra seja a menor possível.

Marcas do meio-dia

Ver artigo principal: Marca do meio-dia [en].

Marca do meio-dia [en] no Observatório Real de Greenwich. O analema é a figura estreita em forma de oito. Ele relaciona a equação do tempo, expressa em graus, com a altura solar ao meio-dia no local. Cada grau corresponde a quatro minutos. A altura é medida na vertical, e a equação do tempo, na horizontal.

Os relógios solares mais simples indicam apenas o instante exato do meio-dia. Em séculos anteriores, eram usados para acertar relógios mecânicos, que podiam adiantar ou atrasar bastante em um único dia. Nas versões mais simples, uma sombra passa por uma marca. Um almanaque permite converter a hora solar local e a data em hora civil, usada para acertar o relógio. Outras marcas incorporam uma figura em oito baseada na equação do tempo e dispensam o almanaque.

Em algumas casas do período colonial dos Estados Unidos, havia uma marca do meio-dia entalhada no piso ou no parapeito de uma janela. Ela fornecia uma referência simples e precisa para acertar os relógios da casa. O instrumento típico tinha uma lente sobre uma placa com um analema, uma figura em oito que relacionava a equação do tempo à declinação solar. Quando a borda da imagem do Sol tocava a parte da figura correspondente ao mês, era meio-dia.

Canhão solar

Ver artigo principal: Canhão solar [en].

O canhão solar [en], também chamado canhão meridiano, acende automaticamente uma pequena carga de pólvora ao meio-dia, produzindo um sinal sonoro. Esses aparelhos eram peças de curiosidade, sem a precisão dos melhores relógios solares, e foram instalados em parques europeus sobretudo no fim do século XVIII e no início do XIX. Em geral, reúnem um mostrador horizontal, um gnômon e uma lente posicionada para concentrar os raios solares, exatamente ao meio-dia, sobre a escorva de um pequeno canhão carregado com pólvora, mas sem bala [en]. A posição e o ângulo da lente precisam ser ajustados com as estações.

Linhas meridianas

Linha meridiana na Catedral de Milão. O feixe de luz indica a proximidade do meio-dia solar e o início do período de Gêmeos.

Uma linha horizontal traçada na direção de um meridiano, com um gnômon voltado para o Sol do meio-dia, é chamada linha meridiana. Ela permite determinar o dia do ano, sem fornecer uma escala completa das horas. Essas linhas foram usadas para medir com precisão a duração do ano solar. São exemplos a meridiana de Bianchini [en] na Basílica de Santa Maria dos Anjos e dos Mártires, em Roma, e a de Cassini na Basílica de São Petrônio, em Bolonha.

Lemas

Ver também: Lista de lemas de relógios de sol [en].

Ao longo dos séculos, construtores acrescentaram aos relógios solares lemas sobre a passagem do tempo. Muitos são um memento mori, uma lembrança da transitoriedade do mundo e da inevitabilidade da morte, como "Não mate o tempo, pois ele certamente matará você". Outros são bem-humorados, como "Só conto as horas de sol" e "Sou um relógio de sol e faço mal o que um relógio de bolso faz muito melhor". Coletâneas desses lemas foram publicadas em diferentes épocas.

Uso como bússola

Ver também: Bússola solar [en].

Angbuilgu, relógio solar portátil usado na Coreia durante o período Joseon. A bússola integrada permite orientar o instrumento para o norte. Exemplar do Museu Nacional da Coreia.

Um relógio horizontal construído para a latitude local, com o mostrador nivelado e o gnômon apontado para o polo celeste acima do horizonte, indica corretamente a hora solar aparente. O procedimento inverso permite usá-lo como bússola. Se as direções cardeais forem desconhecidas, calcula-se a hora solar aparente a partir de um relógio comum e gira-se o mostrador horizontal em torno de um eixo vertical até que ele indique essa hora. O gnômon então aponta para o norte verdadeiro no hemisfério norte ou para o sul verdadeiro no hemisfério sul. O procedimento permite determinar a direção sem depender de uma bússola magnética, inclusive onde a declinação magnética é grande. Outra possibilidade é combinar dois mostradores de projetos diferentes, como explicado na seção Relógios com mostradores combinados. Os instrumentos são fixados e alinhados entre si. Com os ajustes de data necessários, gira-se o conjunto até que as leituras coincidam, o que permite obter a hora solar aparente e as direções cardeais sem um relógio comum.

Exemplos no Brasil e em Portugal

Relógio de sol na praia de Areia Preta, em Natal, no Rio Grande do Norte.

No Brasil, há relógios solares na praia de Areia Preta, em Natal, e na Oficina Francisco Brennand, em Recife, Pernambuco.

Relógio solar na Oficina Francisco Brennand, no Recife.

Em Portugal, a Fortaleza de Sagres tem um relógio de sol no terraço do torreão. A grande estrutura circular chamada "rosa dos ventos", nas proximidades, também foi interpretada como um possível relógio solar, mas sua função não está estabelecida.

Relógio de sol com algarismos romanos em Sagres, Portugal. Ao fundo, a estrutura circular chamada "rosa dos ventos".

Ver também

• Clepsidra, instrumento que mede o tempo pelo escoamento da água.
• Horologia, estudo da medição do tempo e de seus instrumentos.
• Relógio de Sol do Parque da Cidade, relógio solar instalado em Brasília.
• Relógio Solar de Franca, relógio solar situado em Franca, São Paulo.

Bibliografia

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• Mayall, R.N.; Mayall, M.W. (1994) [1938]. Sundials: Their construction and use 3.ª ed. Cambridge, Massachusetts: Sky Publishing. ISBN 0-933346-71-9 
• Michnik, Hugo (1922). «Theorie einer Bifilar-Sonnenuhr» [Teoria de um relógio solar bifilar]. Astronomische Nachrichten (em alemão). 217 (5190): 81–90. Bibcode:1922AN....217...81M. doi:10.1002/asna.19222170602 
• Rohr, R.R.J. (1996) [1965, 1970]. Sundials: History, theory, and practice. Tradução de Godin, G. reimpressão ed. Nova York: Dover. ISBN 0-486-29139-1 – via Internet Archive. (pede registo (ajuda))  Reimpressão com pequenas alterações da tradução de 1970, publicada pela University of Toronto Press, em Toronto. A edição original foi publicada em francês:
  Rohr, R.R.J. (1965). Les Cadrans solaires [Relógios de sol] (em francês) original ed. Montrouge: Gauthier-Villars 
• Savoie, Denis (2009). Sundials: Design, construction, and use. [S.l.]: Springer. ISBN 978-0-387-09801-2 
• Sawyer, Frederick W. (1978). «Bifilar gnomonics». Journal of the British Astronomical Association. 88 (4): 334–351. Bibcode:1978JBAA...88..334S 
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• Waugh, Albert E. (1973). Sundials: Their Theory and Construction. Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-22947-5 – via Internet Archive. (pede registo (ajuda)) 

Ligações externas

Organizações nacionais e regionais

• Asociación Amigos de los Relojes de Sol, AARS, associação espanhola de relógios de sol.
• British Sundial Society, BSS, sociedade britânica de relógios de sol.
• Commission des Cadrans Solaires de la Société Astronomique de France, comissão francesa de relógios solares.
• Coordinamento Gnomonico Italiano, CGI, organização italiana de gnomônica, em cópia arquivada em 30 de julho de 2017.
• North American Sundial Society, NASS, sociedade norte-americana de relógios de sol.
• Societat Catalana de Gnomònica, sociedade catalã de gnomônica.
• De Zonnewijzerkring, sociedade neerlandesa de relógios de sol, página em inglês.
• Zonnewijzerkring Vlaanderen, sociedade flamenga de relógios de sol.

Textos históricos e estudos

• "The Book of Remedies from Deficiencies in Setting Up Marble Sundials", manuscrito árabe de 1319 sobre a medição do tempo e os relógios solares.
• "Small Treatise on the Calculation of Tables for the Construction of Inclined Sundials", manuscrito árabe do século XVI sobre os cálculos para construir relógios solares, escrito por Sibt al-Maridini [en].
• Vodolazhskaya, L. "Analemmatic and Horizontal Sundials of the Bronze Age (Northern Black Sea Coast)". Archaeoastronomy and Ancient Technologies, vol. 1, n.º 1, 2013, pp. 68–88.
• "Reconstruction of Ancient Egyptian Sundials".

Outros recursos

• Real Sun Time, relógio solar para celular ou computador.
• Cadastro de relógios solares da Escócia.
• Sundialing Space, gerador de relógios solares.
• British Sundial Society, com cadastro de relógios solares britânicos.
• The Equation of Time, sobre a equação do tempo.
• World Sundial Atlas, atlas mundial de relógios solares.
• Relógio solar horizontal do Trinity College, Cambridge.