Razsežnost

Ta članek govori o razsežnosti / dimenziji prostora . Za razsežnost objekta ali telesa glej velikost . Za razsežnost količine glej razsežnostna analiza . Za druge pomene glej razsežnost (razločitev).

Od leve proti desni: kvadrat, kocka in teserakt. Kvadrat je dvorazsežni objekt (2D) in omejen z enorazsežnimi daljicami; kocka je trirazsežni objekt (3D) in omejena z dvorazsežnimi kvadrati; teserakt je štirirazsežni objekt (4D) in omejen s trirazsežnimi kockami.

Prve štiri prostorske razsežnosti, predstavljene v dvorazsežni sliki.

1. dve točki se lahko povežeta in tvorita daljico.
2. dve vzporedni daljici se lahko povežeta in tvorita kvadrat.
3. dva vzporedna kvadrata se lahko povežeta in tvorita kocko.
4. dve vzporedni kocki se lahko povežeta in tvorita teserakt.

Razséžnost (ali dimenzíja) matematičnega prostora (objekta ali telesa) je v fiziki in matematiki neformalno definirana kot minimalno število koordinat, potrebnih za določitev poljubne točke znotraj njega. Tako ima točka razsežnost nič (0D), premica razsežnost ena (1D), ker je za določitev lege točke na njej potrebna le ena koordinata – na primer točka pri 5 na realni premici. Površina, kot je meja valja ali sfere, ima razsežnost dva (2D), ker sta za določitev lege točke na njej potrebni dve koordinati – na primer, za določitev lege točke na površini sfere sta potrebni tako zemljepisna širina kot dolžina. Dvorazsežni evklidski prostor je dvorazsežni prostor na ravnini. Notranjost kocke, valja ali sfere je trirazsežna (3D), ker so za določitev lege točke znotraj teh prostorov potrebne tri koordinate.

V klasični mehaniki sta prostor in čas različni kategoriji in se nanašata na absolutni prostor in čas. Ta koncept sveta je štirirazsežni prostor, vendar ne tisti, ki je bil potreben za opis elektromagnetizma. Štiri razsežnosti (4D) prostora-časa sestavljajo dogodki, ki niso absolutno definirani prostorsko in časovno, temveč so znani glede na gibanje opazovalca. Prostor Minkowskega najprej aproksimira vesolje brez gravitacije; psevdoriemannovske mnogoterosti splošne teorije relativnosti opisujejo prostor-čas s snovjo in gravitacijo. 10 razsežnosti se rabi za opis teorije superstrun (6D hiperprostor + 4D), 11 razsežnosti lahko opiše supergravitacijo in M-teorijo (7D hiperprostor + 4D), prostor stanj kvantne mehanike pa je neskončnorazsežni funkcijski prostor.

Koncept razsežnosti ni omejen na fizične objekte. Višjerazsežni prostori se pogosto pojavljajo v matematiki in znanosti. Lahko so evklidski prostori ali bolj splošni parametrični prostori ali konfiguracijski prostori, kot na primer v Lagrangeevi ali Hamiltonovi mehaniki – to so abstraktni prostori, neodvisni od fizičnega prostora.

V matematiki

V matematiki je razsežnost objekta, grobo rečeno, število prostostnih stopenj točke, ki se premika po tem objektu. Z drugimi besedami, razsežnost je število neodvisnih parametrov ali koordinat, ki so potrebne za določitev lege točke, omejene na objekt. Razsežnost točke je na primer nič – razsežnost premice je ena, saj se točka lahko premika po premici samo v eno smer (ali v nasprotno) – razsežnost ravnine je dve itd.

Razsežnost je intrinzična lastnost objekta v smislu, da je neodvisna od razsežnosti prostora, v katerem objekt je ali v katerega je lahko vložen. Na primer, Krivulja, kot je krožnica, ima na primer razsežnost ena, ker je lega točke na njej določena z njeno predznačeno razdaljo vzdolž nje do fiksne točke na njej. To je neodvisno od dejstva, da krivulje ni mogoče vložiti v evklidski prostor razsežnosti, manjše od dve, razen če je premica. Podobno ima ploskev razsežnost dve, tudi če je vložena v trirazsežni prostor.

Razsežnost evklidskega $n\!\,$-prostora $\mathbb {E} ^{n}\!\,$ je $n\!\,$. Pri poskusu posploševanja na druge tipe prostorov se sooči z vprašanjem »kaj naredi $\mathbb {E} ^{n}\!\,$ $n\!\,$-razsežen?«. Eden od odgovorov je, da se za pokrivanje fiksne krogle v $\mathbb {E} ^{n}\!\,$ z majhnimi kroglami s polmerom $\varepsilon \!\,$ potrebuje približno $\varepsilon ^{-n}\!\,$ takšnih majhnih krogel. To opažanje vodi do definicije Minkowski-Bouligandove razsežnosti in njene bolj sofisticirane različice, Hausdorff-Bezikovičeve razsežnosti, vendar obstajajo tudi drugi odgovori na to vprašanje. Meja krogle v $\mathbb {E} ^{n}\!\,$ je na primer krajevno videti kot $\mathbb {E} ^{n-1}\!\,$, kar vodi do pojma induktivne razsežnosti. Medtem ko se ta pojma v $\mathbb {E} ^{n}\!\,$ ujemata, se izkažeta za drugačna, ko se pogleda bolj splošne prostore.

Teserakt je primer štirirazsežnega objekta. Medtem ko se zunaj matematike izraz »razsežnost« rabi kot: »teserakt ima štiri razsežnosti«, matematiki to običajno izrazijo kot: »teserakt ima razsežnost 4« ali: »razsežnost teserakta je 4«.

Čeprav pojem višjih razsežnosti sega nazaj k Renéju Descartesu, se je bistveni razvoj višjerazsežnostne geometrije začel šele v 19. stoletju z deli Arthurja Cayleyja, Williama Rowana Hamiltona, Ludwiga Schläflija in Bernharda Riemanna. Riemannov habilitacijski spis (Habilitationsschrift,) iz leta 1854, Schläflijevo delo Teorija mnogokratne kontinuiranosti (Theorie der vielfachen Kontinuität) iz leta 1852 ter Hamiltonovo odkritje kvaternionov in odkritje oktonionov Johna Thomasa Gravesa leta 1843 so zaznamovali začetek višjerazsežnostne geometrije.

Preostanek tega razdelka obravnava nekatere pomembnejše matematične definicije razsežnosti.

Vektorski prostori

Razsežnost vektorskega prostora je število vektorjev v poljubni bazi za ta prostor, i. e. število koordinat, potrebnih za določitev lege poljubnega vektorja. Ta pojem razsežnosti (kardinalnost baze) se pogosto imenuje Hamelova razsežnost ali algebrska razsežnost, da se loči od drugih pojmov razsežnosti.

Za neprosti primer se to posploši na pojem dolžine modula.

Mnogoterosti

Enolično definirano razsežnost vsake povezane topološke mnogoterosti je mogoče izračunati. Povezana topološka mnogoterost je krajevno homeomorfna evklidskemu $n\!\,$-prostoru, v katerem je število $n\!\,$ razsežnost mnogoterosti.

Za povezane odvedljive mnogoterosti je razsežnost tudi razsežnost tangentnega vektorskega prostora v poljubni točki.

V geometrijski topologiji je teorija mnogoterosti značilna po tem, da sta razsežnosti 1 in 2 relativno osnovni, visokorazsežni primeri $n>4\!\,$ so poenostavljeni z dodatnim prostorom v katerem »delujejo« – primera $n=3\!\,$ in $4\!\,$ pa sta v nekaterih pogledih najtežja. To stanje je bilo zelo izrazito v različnih primerih Poincaréjeve domneve, v katerih so rabljene štiri različne metode dokaza.

Kompleksna razsežnost

Kompleksno ravnino se lahko preslika na površino sfere, imenovane Riemannova sfera, pri čemer je kompleksno število 0 preslikano na en pol, enotska krožnica na ekvator in točka v neskončnosti na drugi pol.

Razsežnost mnogoterosti je odvisna od osnovnega polja, glede na katerega je definiran evklidski prostor. Medtem ko analiza običajno predpostavlja, da je mnogoterost nad realnimi števili, je včasih pri preučevanju kompleksnih mnogoterosti in algebrskih varietet koristno delati nad kompleksnimi števili. Kompleksno število $(x+iy)\!\,$ ima realni del $x\!\,$ in imaginarni del $y\!\,$, kjer sta $x\!\,$ in $y\!\,$ realni števili – zato je kompleksna razsežnost polovica realne razsežnosti.

Nasprotno pa se v algebrsko neomejenih kontekstih lahko en sam kompleksni koordinatni sistem rabi za objekt z dvema realnima razsežnostima. Navadna dvorazsežna sferična ploskev, ko ji je dana kompleksna metrika, na primer postane Riemannova sfera z eno kompleksno razsežnostjo.

Varietete

Razsežnost algebrske varietete se lahko definira na različne enakovredne načine. Najbolj intuitiven način je verjetno razsežnost tangentnega prostora v poljubni regularni točki algebrske varietete. Drugi intuitiven način je definiranje razsežnosti kot števila hiperravnin, potrebnih za presečišče z varieteto, ki je reducirano na končno število točk (razsežnost nič). Ta definicija temelji na dejstvu, da presečišče varietete s hiperravnino zmanjša razsežnost za ena, razen če hiperravnina vsebuje varieteto.

Algebrska množica je končna unija algebrskih varietet, njena razsežnost pa je največja med razsežnostmi njenih komponent. Enaka je največji dolžini verig $V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{d}\!\,$ podvarietet dane algebrske množice (dolžina takšne verige je število »$\subsetneq \!\,$«).

Vsako varieteto se lahko obravnava kot algebrski sklad, njegova razsežnost kot varietete pa se ujema z njeno razsežnostjo kot sklada. Vendar pa obstaja veliko skladov, ki ne ustrezajo varietetam, nekateri od teh pa imajo negativno razsežnost. Natančneje, če je $V\!\,$ varieteta razsežnosti $m\!\,$ in $G\!\,$ algebrska grupa razsežnosti $n\!\,$, ki deluje na $V\!\,$, potem ima kvocientni sklad $[V/G]\!\,$ razsežnost $m-n\!\,$.

Krullova razsežnost

Krullova razsežnost komutativnega kolobarja je največja dolžina verig praidealov v njem, pri čemer je veriga dolžine $n\!\,$ zaporedje ${\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}\!\,$ praidealov, povezanih z inkluzijo. Je močno povezana z razsežnostjo algebrske mnogoterosti zaradi naravne korespondence med podrazličicami in praideali kolobarja polinomov na mnogoterosti.

Za algebro nad poljem je razsežnost kot vektorski prostor končna, če in samo če je njena Krullova razsežnost enaka 0.

Topološki prostori

Za poljubni normalni topološki prostor $X\!\,$ je Lebesgueova pokrivna razsežnost $X\!\,$ definirana kot najmanjše celo število $n\!\,$, za katero velja naslednje: vsako odprto pokritje ima odprto prečiščevanje (drugo odprto pokritje, v katerem je vsak element podmnožica elementa v prvem pokritju), tako da nobena točka ni vključena v več kot $n+1\!\,$ elementov. V tem primeru je $\dim X=n\!\,$. Za $X\!\,$, ki je mnogoterost, to sovpada z zgoraj omenjeno razsežnostjo. Če takšno celo število $n\!\,$ ne obstaja, potem se reče, da je razsežnost $X\!\,$ neskončna in se zapiše $\dim X=\infty \!\,$. Poleg tega ima $X\!\,$ razsežnost enako $-1\!\,$, i. e. $\dim X=-1\!\,$, če in samo če je $X\!\,$ prazen. To definicijo pokrivne razsežnosti se lahko razširi iz razreda normalnih prostorov na vse prostore Tihonova zgolj z zamenjavo izraza »odprt« v definiciji z izrazom »funkcionalno odprt«.

Induktivno razsežnost se lahko induktivno definira na naslednji način. Predpostavi se, da je diskretna množica točk (kot je končna zbirka točk) 0-razsežna. Z vlečenjem 0-razsežnega objekta v neko smer se dobi 1-razsežni objekt. Z vlečenjem 1-razsežnega objekta v novo smer se dobi 2-razsežni objekt. Na splošno se dobi $(n+1)\!\,$-razsežni objekt z vlečenjem $n\!\,$-razsežnega objekta v novo smer. Induktivna razsežnost topološkega prostora se lahko nanaša na majhno induktivno razsežnost ali veliko induktivno razsežnost in temelji na analogiji, da imajo v primeru metričnih prostorov $(n+1)\!\,$-razsežne krogle $n\!\,$-razsežne meje, kar omogoča induktivno definicijo na podlagi razsežnosti meja odprtih množic. Poleg tega je meja diskretne množice točk prazna množica, zato se lahko za prazno množico vzame da ima razsežnost enako $-1\!\,$.

Podobno je za razred CW-kompleksov razsežnost objekta največje število $n\!\,$, za katero je $n\!\,$-skelet netrivialen. Intuitivno se lahko to opiše takole: če je mogoče prvotni prostor zvezno deformirati v zbirko višjerazsežnih trikotnikov (2-simpleksov), ki so na svojih ploskvah združeni z zapleteno ploskvijo, potem je razsežnost objekta razsežnost teh trikotnikov.

Glej tudi: razsežnost sheme

Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost

Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost je uporabna za preučevanje strukturno zapletenih množic, še posebej fraktalov. Definirana je za vse metrične prostore in ima lahko za razliko od zgoraj obravnavanih razsežnosti tudi neceloštevilske realne vrednosti. Razsežnost štetja škatel ali Minkowski-Bouligandova razsežnost je različica enake zamisli. Na splošno obstaja več definicij fraktalnih razsžnosti, ki delujejo za zelo nepravilne množice in dosegajo neceloštevilske pozitivne realne vrednosti.

Hilbertovi prostori

Vsak Hilbertov prostor dopušča ortonormalno bazo in poljubni dve taki bazi za določen prostor imata enako kardinalnost. Ta kardinalnost se imenuje razsežnost Hilbertovega prostora. Ta razsežnost je končna, če in samo če je Hamelova razsežnost prostora končna, in v tem primeru se razsežnosti ujemata.

V fiziki

Prostorske razsežnosti

Klasične fizikalne teorije opisujejo tri fizikalne razsežnosti: iz določene točke v prostoru se lahko premika v osnovne smeri gor/dol, levo/desno in naprej/nazaj. Gibanje v poljubno smer se lahko izrazi le s temi tremi smermi. Gibanje navzdol je enako kot premikanje navzgor za negativno razdaljo. Diagonalno gibanje navzgor in naprej je, kot že ime smeri pove, tj. gibanje v linearni kombinaciji navzgor in naprej. V najpreprostejši obliki: premica opisuje eno razsežnost, ravnina dve razsežnosti, kocka pa tri razsežnosti. (Glej prostor in kartezični koordinatni sistem.)

število razsežnosti	zgledi koordinatnih sistemov
1	(realna) premica kot
2	kartezični (dvorazsežni) polarni geografski
3	kartezični (trirazsežni) valjni krogelni

Čas

Časovna razsežnost ali razsežnost časa je razsežnost časa. Zaradi tega se čas pogosto imenuje »četrta razsežnost«, vendar to ne pomeni, da gre za prostorsko razsežnost. Časovna razsežnost je eden od načinov merjenja fizičnih sprememb. Zaznava se drugače kot tri prostorske razsežnosti, saj obstaja samo ena in se ne da prosto gibati v času, ampak se subjektivno giblje v eno smer.

Enačbe, ki se rabijo v fiziki za modeliranje realnosti, časa ne obravnavajo na enak način, kot ga ljudje običajno zaznavajo. Enačbe klasične mehanike so simetrične glede na čas, enačbe kvantne mehanike pa so običajno simetrične, če sta čas in druge količine (kot sta naboj in parnost) obrnjeni. V teh modelih je zaznavanje časa, ki teče v eno smer, artefakt zakonov termodinamike (čas se zaznava kot tok v smeri naraščajoče entropije).

Najbolj znana obravnava časa kot razsežnosti je Poincaréjeva in Einsteinova posebna teorija relativnosti (in razširjena na splošno teorijo relativnosti), ki obravnava zaznani prostor in čas kot komponente štirirazsežne mnogoterosti, znane kot prostor-čas, v posebnem, ravnem primeru pa kot prostor Minkowskega. Čas se razlikuje od drugih prostorskih razsežnosti, saj deluje v vseh prostorskih razsežnostih. Čas deluje v prvi, drugi in tretji, pa tudi v teoretičnih prostorskih razsežnostih, kot je četrta prostorska razsežnost. Vendar čas ni prisoten v eni sami točki absolutne neskončne singularnosti, kot je definirana kot geometrijska točka, saj se neskončno majhna točka ne more spreminjati in zato nima časa. Tako kot se telo giblje skozi lege v prostoru, se giblje tudi skozi lege v času. V tem smislu je sila, ki premika poljubno telo, da se spremeni, čas.

Dodatne razsežnosti

V fiziki so tri razsežnosti prostora in ena razsežnost časa sprejeta norma. Vendar pa obstajajo teorije, ki poskušajo poenotiti štiri osnovne sile z uvedbo dodatnih razsežnosti/hiperprostora. Predvsem teorija superstrun zahteva 10 razsežnosti prostora-časa in izvira iz bolj osnovne 11-razsežne teorije, okvirno imenovane M-teorija, ki vključuje pet prej različnih teorij superstrun. Teorija supergravitacije prav tako obravnava 11-razsežni prostor-čas = 7-razsežni hiperprostor + 4 skupne razsežnosti. Do sedaj ni na voljo nobenih neposrednih eksperimentalnih ali opazovalnih dokazov, ki bi podpirali obstoj teh dodatnih razsežnosti. Če hiperprostor obstaja, ga mora pred nami skriti nek fizikalni mehanizem. Ena dobro preučenih možnosti je, da so dodatne razsežnosti morda »zvite« (zložene) v tako majhnih merilih, da so za trenutne poskuse dejansko nevidne.

Prikaz Calabi-Jaujeve mnogoterosti

Leta 1921 je Kaluza-Kleinova teorija predstavila 5 razsežnosti, vključno z dodatno razsežnostjo prostora. Na ravni kvantne teorije polja Kaluza-Kleinova teorija združuje gravitacijo z umeritvenimi interakcijami, na podlagi spoznanja, da je gravitacija, ki se širi v majhnih, kompaktnih dodatnih razsežnostih, enakovredna umeritvenim interakcijam na dolgih razdaljah. Še posebej, ko je geometrija dodatnih razsežnosti trivialna, reproducira elektromagnetizem. Vendar pa pri dovolj visokih energijah ali kratkih razdaljah ta postavitev še vedno trpi zaradi istih patologij, ki znano ovirajo neposredne poskuse opisa kvantne gravitacije. Zato ti modeli še vedno zahtevajo ultravijolično dopolnitev, kakršne naj bi zagotovila teorija strun. Zlasti teorija superstrun zahteva šest kompaktnih razsežnosti (6-razsežni hiperprostor), ki tvorijo Calabi-Jaujevo mnogoterost. Tako se lahko Kaluza-Kleinovo teorijo obravnava bodisi kot nepopoln opis sam po sebi bodisi kot podmnožico gradnje modelov teorije strun.

Poleg majhnih in zvitih dodatnih razsežnosti lahko obstajajo tudi dodatne razsežnosti, ki niso očitne, ker je snov, povezana s krajevnim vidnim vesoljem, lokalizirana na (3 + 1)-razsežnem podprostoru. Zato dodatne razsežnosti niso nujno majhne in kompaktne, temveč so lahko velike dodatne razsežnosti. D-brane so dinamična razširjena telesa različnih razsežnosti, ki jih napoveduje teorija strun in bi lahko igrale to vlogo. Imajo lastnost, da so vzbujanja odprtih strun, ki so povezana z umeritvenimi interakcijami, omejena na brano s svojimi končnimi točkami, medtem ko se zaprte strune, ki posredujejo gravitacijsko interakcijo, prosto širijo v celoten prostor-čas oziroma »v večji del«. To bi lahko bilo povezano z razlogom, zakaj je gravitacija eksponentno šibkejša od drugih sil, saj se učinkovito razredči, ko se širi v višjerazsežno prostornino.

Nekateri vidiki fizike bran so bili uporabljeni v kozmologiji. Kozmologija plina bran na primer poskuša pojasniti, zakaj obstajajo tri razsežnosti prostora, z uporabo topoloških in termodinamičnih premislekov. Po tej zamisli bi bilo tako, ker je tri največje število prostorskih razsežnosti, v katerih se strune lahko generično sekajo. Če je na začetku veliko navitij strun okrog kompaktnih razsežnosti, se lahko prostor razširi do makroskopskih velikosti šele, ko se ta navitja izločijo, kar zahteva, da se nasprotno navite strune najdejo in anihilirajo. Vendar se strune lahko najdejo in anihilirajo le s smiselno hitrostjo v treh razsežnostih, zato sledi, da se lahko glede na tovrstno začetno konfiguracijo povečajo le tri razsežnosti prostora. Dodatne razsežnosti so univerzalne, če se vsa polja enako prosto širijo znotraj njih.

V računalniški grafiki in prostorskih podatkih

Več vrst digitalnih sistemov temelji na shranjevanju, analizi in vizualizaciji geometrijskih oblik, vključno s programsko opremo za ilustracije, računalniško podprtim načrtovanjem (CAD) in geografskimi informacijskimi sistemi (GIS). Različni vektorski sistemi rabijo široko paleto podatkovnih struktur za predstavitev oblik, vendar skoraj vsi v osnovi temeljijo na naboru geometrijskih primitivov, ki ustrezajo prostorskim razsežnostim:

• »točka« (ničrazsežna), ena koordinata v kartezičnem koordinatnem sistemu.
• »daljica« ali »lomljenka« (enorazsežna), običajno predstavljena kot urejeni seznam točk, vzorčenih iz zvezne daljice, nakar naj bi programska oprema interpolirala vmesno obliko daljice kot ravne ali ukrivljene odseke daljice.
• »mnogokotnik« (dvorazsežen), običajno predstavljen kot daljica, ki se sklene na svojih končnih točkah in predstavlja mejo dvorazsežnega območja. Pričakuje se, da bo programska oprema to mejo uporabila za razdelitev dvorazsežnega prostora na notranji in zunanji del.
• ploskev (trirazsežna), predstavljena z različnimi strategijami, kot je polieder, sestavljen iz povezanih mnogokratniških stranskih ploskev. Programska oprema naj bi to ploskev rabila za razdelitev trirazsežnega prostora na notranjost in zunanjost.

V teh sistemih, zlasti v GIS in kartografiji, ima lahko predstavitev fenomena iz resničnega sveta drugačno (običajno nižjo) razsežnost kot predstavljeni fenomen. Mesto (dvorazsežno območje) je lahko na primer predstavljeno kot točka ali pa je cesta (trirazsežna prostornina materiala) lahko predstavljena kot daljica. Ta razsežnostna posplošitev je povezana s tendencami v prostorskem spoznavanju. Vprašanje o razdalji med dvema mestoma na primer predpostavlja konceptualni model mest kot točk, medtem ko podajanje navodil za potovanje »gor«, »dol« ali »vzdolž« po cesti implicira enorazsežni konceptualni model. To se pogosto počne zaradi učinkovitosti podatkov, vizualne preprostosti ali kognitivne učinkovitosti in je sprejemljivo, če se razume razlika med predstavitvijo in predstavljenim, vendar lahko povzroči zmedo, če uporabniki informacij domnevajo, da je digitalna oblika popolna predstavitev resničnosti (tj. verjamejo, da so ceste res daljice).

Več razsežnosti

• prostostne stopnje
  • v mehaniki
  • v fiziki in kemiji
  • v statistiki
• zunanja razsežnost
• Hurstov eeksponent
• izoperimetrična razsežnost
• metrična razsežnost
• razsežnost urejenosti
• $q\!\,$-razsežnost
  • fraktalna ($q=1\!\,$)
  • korelacijska ($q=2\!\,$)

Seznam vsebin po razsežnosti

• 0 razsežnosti
  • točka
  • ničrazsežni prostor
  • celo število
• 1 razsežnost
  • daljica, premica, lomljenka
  • krivulja
  • graf (kombinatorika)
  • realno število
  • dolžina, razdalja
• 2 razsežnosti
  • ravnina
  • ploskev
  • mnogokotnik
  • mreža telesa
  • kompleksno število
  • kartezični koordinatni sistem
  • seznam evklidskih uniformnih tlakovanj
  • površina
• 3 razsežnosti
  • platonsko telo
  • polieder
  • stereoskopija|Stereoscopy (3D-slikanje)
  • 3-mnogoterost
  • os zasuka
  • vozli
  • mimobežnici
  • nagnjeni mnogokotnik
  • prostornina
• 4 razsežnosti
  • prostor-čas
  • četrta prostorska razsežnost
  • konveksni regularni 4-politop
  • kvaternioni
  • 4-mnogoterost
  • polihoron
  • zasuki v štirirazsežnem evklidskem prostoru
  • četrta razsežnost v umetnosti
  • četrta razsežnost v literaturi
• 5 razsežnosti
  • Kaluza-Kleinova teorija
• 8 razsežnosti
  • oktonioni
• 10 razsežnosti
  • teorija superstrun
• 11 razsežnosti
  • M-teorija
• 12 razsežnosti
  • F-teorija
• 16 razsežnosti
  • sedenioni
• 26 razsežnosti
  • bozonska teorija strun
• 32 razsežnosti
  • trigintaduonioni
• višje razsežnosti
  • vektorski prostor
  • ravnina zasuka
  • prekletstvo razsežnosti
  • teorija strun
  • mnogočasovne razsežnosti
• neskončno razsežnosti
  • Hilbertov prostor
  • funkcijski prostor

Glej tudi

• razsežnost (podatkovno skladišče)
• razsežnostna analiza
• Flatland
• hiperprostor (razločitev)
• intrinzična razsežnost
• povprečna razsežnost
• večrazsežna analiza
• krivulja zapolnjevanja prostora
• tehniško risanje

Viri

• Brandenberger, Robert Hans; Vafa, Cumrun (10. april 1989), »Superstrings in the early universe«, Nuclear Physics B, 316 (2): 391–410, Bibcode:1989NuPhB.316..391B, doi:10.1016/0550-3213(89)90037-0, ISSN 0550-3213
• Devaney, Robert Luke (1995), »Fractal Dimension«, math.bu.edu (v angleščini), Oddelek za matematiko in statistiko Univerze v Bostonu, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 27. oktobra 2006
• Fantechi, Barbara (2001), »Stacks for everybody« (PDF), European Congress of Mathematics Volume I, (= Progr. Math.), vol. 201, Birkhäuser, str. 349–359, arhivirano (PDF) iz spletišča dne 17. januarja 2006
• Hatcher, Allen (2001), »Algebraic Topology« (PDF), pi.math.cornell.edu (v angleščini), Univerza Cornell, str. 551, pridobljeno 19. maja 2026
• Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (2015), Dimension Theory (PMS-4), Volume 4, Princeton University Press, ISBN 978-1-40-087566-5, OL 29294352M – prek Google Knjige
• Jau, Šintung; Nadis, Steven J. (2010), »4. Too Good to be True«, The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions, New York: Basic Books, str. 355, ISBN 978-0-46-502023-2, LCCN 2010009956, MR 2722198, OCLC 535492236, OL 25566610M, Zbl 1235.00025
• Kornreich, Dave (januar 1999), Curious About Astronomy (v angleščini), astro.cornell.edu, arhivirano iz prvotnega spletišča dne 11. januarja 2014, pridobljeno 3. marca 2014
• Lafleur, Laurence J. (1940), »Time as a Fourth Dimension«, The Journal of Philosophy, 37 (7): 169–178, doi:10.2307/2017930, eISSN 1939-8549, ISSN 0022-362X, JSTOR 2017930
• Lane, Paul M.; Lindquist, Jay D. (22. maj 2015), »Definitions for The Fourth Dimension: A Proposed Time Classification System1«, v Bahn, Kenneth D. (ur.), Proceedings of the 1988 Academy of Marketing Science (AMS) Annual Conference, (= Developments in Marketing Science: Proceedings of the Academy of Marketing Science), Springer International Publishing, doi:10.1007/978-3-319-17046-6_8, ISBN 978-3-319-17045-9 – prek Springer Link
• Rylov, Yuri A. (2007). »Non-Euclidean method of the generalized geometry construction and its application to space-time geometry«. arXiv:math/0702552.
• Wilson, Edwin Bidwell; Lewis, Gilbert Newton (1912), »The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics«, Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, 48 (11): 389–507, doi:10.2307/20022840, eISSN 1548-6192, ISSN 0011-5266, JSTOR 20022840

Nadaljnje branje

• Abbott, Edwin Abbott (1884), Flatland: A Romance of Many Dimensions, London: Seely & Co.
  • ———, Flatland: ..., Project Gutenberg
  • ———; Stewart, Ian Nicholas (2008), The Annotated Flatland: A Romance of Many Dimensions, Basic Books, ISBN 978-0-7867-2183-2 – prek Google Knjige
• Banchoff, Thomas Francis (1996), Beyond the Third Dimension: Geometry, Computer Graphics, and Higher Dimensions, Scientific American Library, ISBN 978-0-7167-6015-3 – prek Google Knjige
• Kaku, Michio (1994), Hyperspace, a Scientific Odyssey Through the 10th Dimension, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-286189-4
• Krauss, Lawrence Maxwell (2005), Hiding in the Mirror, Viking Press, ISBN 978-0-670-03395-9
• Murty, Katta G. (2014), »1. Systems of Simultaneous Linear Equations« (PDF), Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, doi:10.1142/8261, ISBN 978-981-4366-62-5
• Pickover, Clifford Alan (2001), Surfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-992381-6 – prek Google Knjige
• Rucker, Rudy (2014) [1984], The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality, Courier Corporation, ISBN 978-0-486-77978-2 Pregled na Google Knjige

Zunanje povezave

• Copeland, Ed (2009), »Extra Dimensions«, Sixty Symbols (v angleščini), Brady Haran za Univerzo v Nottinghamu