典型相關

典型相關（參見英文：canonical correlation）係一種多變量統計方法，用嚟衡量兩組變數之間嘅統計相關程度。傳統嘅皮亞遜積差相關係數只係處理到兩個變數之間關係，而典型相關就可以話係推而廣之，用嚟探究兩組變數之間有乜嘢關係，當中每組可以有多個變數。

研究背景

内文：統計相關同皮亞遜積差相關係數

喺統計分析中成日都會遇到噉嘅場景：研究者有兩組變數，想知道佢哋之間有冇一啲「整體上嘅關聯」或者「典型關聯」。譬如第一組變數可以係學生嘅整體學業成績（考慮晒數學、英文等嘅多個學科），第二組變數可以係學生嘅家庭背景「整體好唔好」（包括父母嘅教育程度、家庭收入等）。若果研究者想探究整體學業成績同整體家境之間有咩啦掕，一個簡單嘅諗法係同啲變數逐對逐對計統計相關，但係噉做未必可以揭示深層結構，而且假如變數嘅數量多就會好撈絞。

典型相關就係提供一套框架，幫手搵出兩組變數中相關值最高嘅線性組合。

計算方法

睇埋：主成分分析

假設有兩組變數，假設啲變數冚唪唥都可以輕易變成數值：

• 第一組變數：$\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\dots ,X_{p})$
• 第二組變數：$\mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{q})$

典型相關做嘅嘢，係要搵出線性組合 U 同 V：

• $U=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+\dots +a_{p}X_{p}=\mathbf {a} ^{\top }\mathbf {X}$
• $V=b_{1}Y_{1}+b_{2}Y_{2}+\dots +b_{q}Y_{q}=\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {Y}$

而 U 同 V 之間嘅統計相關數值要有咁大得咁大，即係：

$\rho =\max _{\mathbf {a} ,\mathbf {b} }\operatorname {corr} (\mathbf {a} ^{\top }\mathbf {X} ,\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {Y} )$

呢個最大相關值 $\rho$ 就係第一對典型相關係數或者典型相關值。之後仲可以繼續搵第二對、第三對... 等等嘅典型變數不過要保證每對新搵出嚟嘅線性組合都同之前嗰啲無相關。

應用

典型相關分析喺心理學、教育學、生物統計學以至經濟學等嘅領域都有用，探討一組預測變數同一組結果變數之間有乜嘢關係，例如：

• 心理學：探討智能（由多個指標反映）同工作表現（都係由多個指標反映）之間有咩關係。
• 經濟學：成日會研究經濟「好唔好」，而呢點可以由好多經濟指標－GDP、通脹率等－反映。
• 醫學：健康都係由多個指標反映。

等等。

限制

典型相關分析假設咗啲變數之間嘅關係係線性。如果樣本太細、變數太多，分析結果就會唔穩定。

參見

• 主成分分析
• 因素分析