微積分

微積分嘅基本諗頭簡化講：想像有條曲線，分析者想計某兩點之間該線所包含嘅面積，可以噉想像—設 Δx，畫若干個長方形入去條線包住嘅空間，每個呢啲長方形都係 Δx 咁闊，如果 Δx 嘅值一直縮細，呢啲長方形加埋嘅面積會越嚟越貼近條曲線包住嘅面積。詳情可以睇下黎曼積分。

微積分（粵拼：mei4 zik1 fan1 ）係數學一門，屬基礎學科，其內容主要包括極限、微分同埋積分嘅應用。微積分個名係微分同積分呢兩門學問嘅統稱，其研究嘅範疇有三個，包括微分、積分，同埋微分與積分間嘅關係，當中微分主要講一個個變量點樣隨時間—或者隨其他變量—改變，而積分簡化講就主要係講緊計算面積嘅方法。佢哋兩個嘅關係由微積分基本定理呢條定理講明：喺適當嘅條件下，求積分同求微分互相為相反嘅過程。

喺現代嘅科學同工程學上，微積分非常重要，微分簡化講，可以用嚟推導出一條條式，表達某啲變量點樣隨住時間而變化，仲能夠計到呢啲變量隨時間變化嘅率，以及係呢啲變量最大同最細會去到邊。例如喺牛頓力學中，加速度係速度隨時間變化嘅率，寫式嗰陣可以用微分噉嘅方法表達，而諸如統計學等嘅領域或者科學上用嘅電腦模擬，亦都周不時會用到微積分嘅做法。

微積分起源自十七世紀，嗰時艾碩·牛頓同郭菲迪·萊布尼茲分別獨自噉建立針對無窮小量而做嘅微積分。及後又有人諗出咗極限等嘅諗頭，進一步確立微積分嘅概念根基。到咗二十世紀，微積分經已成為咗科學上嘅重要工具，讀自然科學同工程嘅學生都實會學微積分嘅概念。

微積分喺英文個名叫英文：calculus，呢隻詞據講嚟自拉丁文入便用嚟計數嘅石仔。

基礎概念

睇埋：數學分析、集合論同度量空間

數列

内文：數列

數列係一種數學物體，同函數好有啦掕。數列有少少似集 set，一個數列由一系列若干個元素組成；而同集唔同嘅係，數列有特定次序，例如一個由數組成嘅數列，會分邊個係排第 1 嗰個數、邊個係排第 2 嗰個數... 等等－每個元素都掕住個自然數 n 嚟表示佢喺個數列入便邊個位，

例：$(x_{n})=(2,4,6,8,10,\cdots )$

而且一個數列可以同一款元素出現喺個數列嘅唔同位置，

例：$(x_{n})=(2,4,6,2,4,\cdots )$（2 同 4 都出現咗最少兩次）；

數列可以當係函數嘅一種，特徵係會將自然數 n 轉換成第個數（數列嘅第 n 個數）嘅函數。

極限

内文：極限 (數學)

睇埋：無窮小量同郝氏數列

數列嘅一個重要特徵係可以匯合：想像有個由數組成嘅數列 $(a_{n})=(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$，依家攞住個數列嘅第 n 個元素嚟睇，隨住 n 嘅值愈嚟愈大，發現元素 n 嘅值會愈嚟愈接近某個特定嘅數值 x，即係

$|x-a_{n}|$

愈嚟愈接近 0，而呢樣嘢用數學符號嚟表達嘅話係噉：

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x$

呢個諗頭用直覺化嘅方式嚟思考，係話隨住 n 嘅值趨近無限大 $\infty$，$a_{n}$ 會趨近 x 。喺數學上嚟講，如果上述呢點成立，噉數列 $a_{n}$ 就算係有個極限而呢個極限就係 x 。用圖像化嘅形式表達，如果打戙軸做 $a_{n}$ 嘅值而打橫軸就做 n，個數列嘅極限係 0（x = 0）就會出以下呢幅噉嘅圖：

微分

内文：微分同微分方程

想像家陣將 $f$ 畫做一條直線，當中 Y 軸表示 $f(x)$，X 軸表示 $x$，而 $f$ 出嘅線喺 $(x_{1},y_{1})$ 同 $(x_{2},y_{2})$ 呢兩點之間係直線（附圖 1），噉條線喺 $(x_{1},y_{1})$ 同 $(x_{2},y_{2})$ 之間嘅斜率$m$ 响定義上係

$m={\frac {{\text{bin faa }}y}{{\text{bin faa }}x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

當中「$\Delta$」呢個符號係希臘字母 Δ（delta），喺數學上意思係「... 嘅改變」噉解，即係「$\Delta y$」表示「$y$ 嘅改變」（$y_{2}-y_{1}$），而個斜率 $m$ 就反映咗「喺嗰段線之間 $y$ 隨 $x$ 嘅變率」。而家想像 $f$ 畫出嚟唔係一條直線，而係一條好複雜嘅曲線，例如噉：

呢條線嘅斜率會隨 $x$ 嘅數值有所變化。而家喺條線上面是但攞兩點 $(a,f(a))$ 同 $(a+h,f(a+h))$ 嚟睇，而 $h$ 嘅值細到喺嗰段仔可以想像成直線。$f(x)$ 喺呢兩點之間隨 $x$ 嘅斜率係：

${\begin{aligned}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}&={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\end{aligned}}$

微分（differentation）嘅做法建基於函數極限嘅諗頭，嚟表達一個函數嘅瞬間變率：而家想像將 $h$ 嘅數值變到愈嚟愈細，即係將條線斬做愈嚟愈細嘅橛，會得出$f(x)$ 喺呢兩點之間隨 $x$ 嘅導數（derivative），$f'(x)$，即係

${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

$h$ 一旦細到咁上下，就會變成無窮小量（infinitesimal）－無限咁接近 0、但仲係大過 0。用日常用語講嘅話，即係話如果將一條曲線斬開做好多極細嘅橛，如果啲橛仔夠細，噉每一橛仔都可以當成一條好短嘅直線，有一個可以有方法決定嘅斜率。如果用圖像方法表示，可以想像下圖條紅色曲線嘅情況（兩個細圓圈表示考慮緊嗰兩點）－隨住考慮緊嗰兩點之間嘅 $x$ 距離愈嚟愈細（$h$ 愈嚟愈接近 0），噉「兩點之間嗰段紅色曲線嘅斜率」會愈嚟愈似「兩點之間嗰條直線嘅斜率」：

因為自然科學同工程學會用函數描述好多嘢（自然現象同人造嘅系統），所以瞬間變率同埋建基於瞬間變率嘅函數分析方法喺好多科學同工程學上嘅研究裏面都有用。牛頓力學就會用到導數嘅概念，將速度（$\mathbf {v}$）想像成位移（$\mathbf {r}$）隨時間（$t$）嘅瞬間變率，而加速度（$\mathbf {a}$）就想像成速度隨時間嘅瞬間變率，即係：

$\mathbf {v} ={\Delta \mathbf {r} \over \Delta {t}}$

$\mathbf {a} ={\Delta \mathbf {v} \over \Delta {t}}$

呢幾嚿嘢因為唔同形狀嘅慣性矩而以唔同嘅速度同加速度郁動，不過佢哋嘅 $\mathbf {v}$ 都可以想像成 $\mathbf {r}$ 隨 $t$ 嘅瞬間變率。

簡單例子：假想依家已知

$\mathbf {r} ={\text{C}}t$，

當中 ${\text{C}}$ 係一個常數；噉嘅話

$f'(t)={\frac {{\text{C}}(t+h)-{\text{C}}t}{h}}$，當中 $h$ 數值極細但大過 0；

$f'(t)={\frac {{\text{C}}t+{\text{C}}h-{\text{C}}t}{h}}$

$f'(t)={\frac {{\text{C}}h}{h}}$

$f'(t)={\text{C}}$

－得出「$\mathbf {v}$（$f'(t)$）係一個常數」。用日常用語講，有咗微分嘅技術，知道咗「$\mathbf {r}$ 點隨 $t$ 變化」就會知道埋「$\mathbf {v}$ 點隨 $t$ 變化」同「$\mathbf {a}$ 點隨 $t$ 變化」；而事實表明咗，有咗用微分嚟做力學分析嘅技巧，就基本上可以分析嗮所有喺地球環境下郁動嘅物體。

積分

黎曼積分嘅圖解：一條曲線同 X 軸之間嘅面積可以用「好多個極窄長方形嘅面積總和」嚟得出個大致數值。

内文：積分同積分方程

積分（integral）係一個同微分好有啦掕嘅概念。喺最簡單最基本嗰種黎曼積分（Riemann integral）當中，積分係噉樣定義嘅：想像家陣有個函數 $f$，$y=f(x)$；「函數 $f$ 由 $a$ 去 $b$ 嘅積分」用數學符號嚟表達最基本如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

而黎曼積分嘅定義如下：

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\equiv \lim _{{\text{max }}\Delta x_{k}\to 0}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}$

上述呢條式講嘅嘢係噉嘅：想像依家將函數 $f$ 畫做條線，得出附圖 2 噉嘅線；設 $a=0$ 同 $b=2$，個研究者想計 $(a,f(a))$、$(a,0)$、$(b,f(b))$、$(b,0)$ 呢四點之間包住嘅面積係幾多，佢可以噉樣想像－

• 將 $a$ 同 $b$ 之間嗰段 X 軸斬開做 $n\times 2$ 咁多橛（${\text{step}}=1/n$），並且畫 $(2n-1)$ 咁多個長方形喺條線之內；
• 由幅圖睇得出，响 $n=1$ 嗰陣，個長方形嘅面積完全唔似研究者想要嘅面積；
• 但又想像依家 $n$ 變得極大，畫咗極多個長方形喺條之內，而每個呢啲長方形嘅闊度（$\Delta x_{k}$）極細（$\Delta x_{k}\to 0$）；
• 每一個呢啲極窄長方形嘅面積係 $f(x_{k})\times \Delta x_{k}$（嗰一點嘅 $f(x_{k})$ 乘以 $\Delta x_{k}$），而呢啲長方形嘅面積加埋（「$\sum$」呢個符號所表達嘅嘢）就會非常接近研究者想要嗰個面積。

簡單講，如果話微分計嘅係一條曲線上指定某一點嘅瞬間斜率，噉積分計嘅就係一條曲線指定某一個間距內（$a$ 同 $b$ 之間）條線同 X 軸之間嘅面積。

附圖 2，積分嘅想像圖解；函數 $f$ 係「$y=x^{2}$」。

應用例子

因為積分其實可以諗做加法嘅連續版本，而喺物理學入邊有好多嘅過程都係被想像成連續發生嘅，所以積分喺物理學入邊好有用。例如畀一個物體，佢嘅總質量、質心位置、旋轉慣性、總能量等等都可以用積分計出嚟。

喺牛頓運動定律入面，一個物體嘅動量變化係所有施加喺佢上面嘅力加埋，亦即係話，動量變化可以透過對總力做積分搵出嚟。喺電磁學方面，用微積分可以搵出一個電場或者磁場嘅總通量。

基本定理

内文：微積分基本定理

積分可以話係將微分做嘅嘢掉返轉頭嚟做，而呢點係微積分基本定理嘅重要一部份：簡單講嘅話，想像家陣有個函數 $f$，

$y=f(x)$

$f'(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$（導數嘅定義）；

考慮呢個導數喺是但兩點 $a$ 同 $b$ 之間嘅積分，當中 $b-a=\Delta x$，

$\int _{a}^{b}f'(x)\,dx$

呢個積分嘅數值會等同

$f'(x)\times \Delta x$（積分嘅定義）；即係話

$={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\times \Delta x$

$=\Delta y$

用日常用語講嘅話，攞一個函數 $f$ 嘅導數 $f'$ 上嘅一極細橛（$b-a=\Delta x$）嚟睇，嗰橛嘅 $f'$ 積分數值等同函數 $f$ 喺 $a$ 同 $b$ 之間嘅 $\Delta y$ ：

$\int _{a}^{x}f'(x)\,dx=f(x)-f(a)$

積分喺應用數學上都有廣泛嘅用途。例如係正話提到嗰個牛頓力學嘅例子噉，速度 $\mathbf {v}$ 係位移 $\mathbf {r}$ 隨時間 $t$ 嘅導數，亦即係話是但搵兩點時間點，嗰兩點時間之間嘅 $\mathbf {v}$ 嘅積分數值上會等同件物體喺嗰兩點時間之間嘅 $\mathbf {r}$ 變化總數。事實係，自然科學同工程學喺分析系統嗰時往往都會想知啲變數會點樣隨時間變化，所以結合微分同積分嘅分析做法－微積分－响呢啲領域上極之有用，可以攞嚟（例如）搵出能夠清楚精確噉表達嗮唔同嘅變數分別點樣隨時間變化嘅函數。

睇埋

• 數學分析

拎

• 維基同享中有關微積分嘅資源類