數學證明

數學證明，通常就噉簡稱證明（粵拼：zing3 ming4 ），係數學家研究數學用嘅工具，指緊數學上嘅證明。諗證明方法嗰陣，數學家嘅出發點係一系列嘅定義同埋公理，當中公理係指一啲喺該數學體系入便預設咗係真確嘅命題，唔洗證明都可以攞嚟用；亦可以係用到一啲前人證明咗嘅命題，即係所謂嘅定理。靠住用呢啲公理同埋定理，再加上邏輯推理方法，推斷出喺該數學體系下實係真^{[註 2]}嘅新命題。呢啲新推出嚟嘅命題，數學家往往會爭拗一輪，如果爭論過後數學家覺得個證明冇問題，呢條新命題就會變成一條新嘅定理。跟住新定理又有得攞去用，證明再新啲嘅定理－如是者，數學知識就係噉增長^[1]^[2]。

如果某條命題要接受係定理，佢就實要有個令數學家滿意嘅證明，如果淨係有人覺得佢可能真確，但係仲未成功證明到，噉個諗法就只會係猜想^[3]。

不過，數學證明都有佢嘅局限：有陣時有啲嘢，證明唔到，冇任何方法可以證明佢係真，亦冇方法可以證明佢係假；哥德不完備定理表示，喺數學家會有興趣嘅命題當中，至少有一部份係無法證明嘅^[4]。呢啲噉嘅命題，就係所謂嘅決定唔到或者不可決^{[註 3]}嘅命題，譬如話歐幾里得幾何裡便嘅平行公設，就係一個例子。

基本概論

形式化與否

數學證明係一種論證，目的係根據公理、定義、已知嘅定理同埋邏輯推理，證明某命題必然成立，可以分兩大種：

非形式化嘅證明^{[註 4]}係指依靠自然語言寫出嚟嘅論證，用嚟說服讀者，話某定理或論斷係真確嘅。呢種證明喺科普、口頭嘅辯論或者初等教育等嘅場合度零舍常見，便於協助數學程度冇咁高嘅人士學習，而且數學嘅學術論文同教科書都會用到^[5]。
形式化嘅證明^{[註 5]}特徵係完全按照某套形式系統嘅語法同推理規則寫成，靠嘅係大量數學語言中嘅符號^[6]，呢啲符號個個都有明確、無歧義嘅定義。數學家唔洗擔心個證明夠唔夠清楚明確。此外喺形式化嘅證明入便，每步推論都要明確列出，仲要追溯得到前面嘅公理、定義、已知定理或者推理規則。

有部份人認為，由於非形式化嘅證明用咗自然語言，而自然語言冇數學語言咁精確^{[註 6]}，所以非形式化嘅證明唔得嚴謹，一定要用形式化嘅證明先至夠精確，但係喺實用上，數學論文同教科書入便寫嘅證明，多數都唔係完全 100% 形式化嘅證明，而係會用自然語言配合數學符號寫嘅嚴謹論證。呢類證明通常會省略一啲讀者可以自行補足嘅細步驟，但原則上仍然要求每步都追溯到定義、公理、已知定理同埋有效推理。

全稱定存在

視乎量化嘅方式，數學證明想證明嘅命題亦有以下兩種基本類型：

普遍嘅法則—— X 冚嘭唥都有 YYY 噉嘅特性。用符號如下，
$\forall x\in S,;P(x)$ $\forall x\in S,;P(x)$
- 呢段嘢係話對於所有集合 S 裡便嘅 x，命題 P(x) 都成立，當中 $\forall$ 係對於所有... 嘅意思。例子：對於所有整數中嘅數 n，只要 n 係雙數，n 嘅平方都會係雙數。
具有某特徵嘅嘢存在——有最少一個 X，佢具有 YYY 噉嘅特性。用符號寫如下，
$\exists x\in S,;P(x)$ $\exists x\in S,;P(x)$
- 呢段段嘢係話集合 S 裡便有至少一個 x，命題 P(x) 係成立嘅，當中 $\exists$ 係有最少一個... 存在噉解。例子：整數中有最少一個數 n 存在，當中 n 嘅平方等如 4。

亦可以睇下全稱量化同埋存在量化方面嘅內容。

呢兩種情況，用嘅證明法有啲唔同，例子可以睇下構造法嘅概念。

常用方法

直接證明

直接證明係指由一啲公理或定理嗰度做起始，當中公理喺用緊嘅數學框架下係假設咗為真嘅，所以唔使證明都可以攞嚟用，而定理則係前人證明咗。攞住公理同定理，證明者就運用推理，推出想證明嗰個命題，可以話係最簡單直接嗰種證明方法^[7]。基本上，條思路就係：

有若干數量嘅命題，P、Q ... 等，因為呢啲命題係公理或者前人證明咗，所以可以假設佢哋成立；
由呢啲命題嗰度，可以合理推導出某條新嘅命題 R；

因此，命題 R 都成立。

例子，要求證明以下呢句：是但搵兩個雙數 x 同 y，佢哋加埋一齊，出嘅一定會係雙數。證明如下—

雙數嘅定義：如果某個數係雙數，噉佢實係 2 嘅倍數。

設 x = 2a，y = 2b，而 a, b 係整數。

噉嘅話，
${\begin{matrix}x+y&=&2a+2b\\&=&2(a+b)\end{matrix}}$

如是者：2(a + b) 呢個數好明顯係 2 嘅倍數－佢一定係雙數，所以 x + y 係雙數。證明成功。
由頭到尾，證明者淨係用咗雙數嘅定義同整數加法嘅性質做基礎，跟住就推理咗條新定理出嚟，是謂直接證明。

歸納法

數學歸納法主要係用嚟證明一啲同自然數有關、可以按次序逐個推落去嘅命題^[8]^[9]。佢成個諗頭，在於要證明以下兩樣嘢先：

喺第一個情況中，即係 n = 0 或者 n = 1 嘅時候^{[註 7]}，命題 P(n) 係成立嘅；
跟住就要證明，當命題 P(k) 係成立嘅時候，P(k+1) 都實會成立。

假如上述呢兩點成立，噉就可以由第一個情況一路推落去：例如由 P(1) 成立推出 P(2) 成立，再由 P(2) 成立推出 P(3) 成立... 如此類推，命題 P(n) 對應所有嘅自然數，都係成立嘅。

例子，要求證明以下呢句：設 $x\in \mathbb {Z}$ 而且 $x\neq 0$ ，噉對應所有正整數 $n\in \mathbb {Z} _{>0}$ ， $x^{2n}$ 都會係正數。證明如下—

當 n = 1 嗰陣：如果 $n=1$ ， $x^{2n}=x^{2}$ ，即係 $x^{2}$ 係正數。

推斷：如果 n = k + 1，
${\begin{aligned}x^{2n}&=x^{2(k+1)}\\&=x^{2k+2}\\&=x^{2k}\cdot x^{2}\end{aligned}}$

根據歸納個假設， $x^{2k}$ 係正數；又因為 $x\neq 0$ ，所以 $x^{2}$ 係正數。兩個正數乘埋一齊仍然係正數，所以 $x^{2(k+1)}$ 係正數。

證明成功。

亦要留意，數學歸納法同科學哲學上講嘅歸納，係兩個唔同嘅概念。

否定證明

否定證明呢種做法，用咗實質條件方面嘅邏輯^[3]。設想邏輯非嘅概念，以符號 ¬ 表示，想像以下呢兩句邏輯語句：

$P\rightarrow Q$ ，呢句意思係話，P 蘊含 Q。
$\neg Q\rightarrow \neg P$ ，呢句意思係話，非 Q 蘊含非 P。

假如 1 成立，噉 2 都成立：1 表示 P 蘊含 Q，喺呢種情況下，如果發現 Q 唔成立，P 都一定唔成立。用冇咁抽象嘅語言講，想像以下呢個論證：

如果蘇格拉底係人，噉佢嘅壽命會係有限嘅， $P\rightarrow Q$ 。
如果蘇格拉底嘅壽命係無限嘅，噉佢一定唔係人， $\neg Q\rightarrow \neg P$ 。

如果將 P 同 Q 換做數學上嘅命題，呢種思考方式就可以攞嚟做數學證明。

例子，依家要求證明以下呢句：

任何一個整數 $x$ ，如果 $x^{2}$ 係雙數，噉 $x$ 都一定會係雙數。

假設 $x$ 唔係雙數，噉佢就係單數^{[註 8]}。

兩個單數乘埋一齊一定係出單數，所以如果 $x$ 係單數， $x^{2}$ 都一定會係單數。 $P\rightarrow Q$

所以如果 $x^{2}$ 唔係單數，噉 $x$ 都唔會係單數。 $\neg Q\rightarrow \neg P$

個個數一係就係單數一係就係雙數。

所以如果 $x^{2}$ 係雙數，噉 $x$ 都會係雙數。
證明成功。

反證法

反證法係一種古老嘅證明方法，基於一個簡單嘅諗頭：想像某條命題，如果佢成立，就會有個荒謬嘅結果，所以呢條命題，冇可能係真確嘅。透過呢個簡單嘅諗法，反證法條思路係噉嘅樣：

首先假設，想證明嘅命題 P 唔成立；
跟住由呢個假設作出推理，最後推理出一個荒謬嘅結果，引致矛盾；
於是，證明者就有理由話 P 係成立嘅。

例子，要求證明以下呢句說話：

假設 $n\in \mathbb {Z}$ —對應任何一個整數 $n$ —係單數，噉 $n^{2}$ 唔會係雙數。

證明嘅過程：

假設 $n$ 係單數，再假設 $n^{2}$ 係雙數。

既然 $n$ 係單數，即係話對應某個整數 $k\in \mathbb {Z}$ ，使得 $n=2k+1$ ，再推導下：
${\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=4k^{2}+4k+1\\\end{aligned}}$

去到最尾，就得出一個結果，好明顯 $n^{2}$ 並唔係雙數，原先嗰個假設，引起咗矛盾，是謂唔合理嘅結果。

因此以下呢句嘢：

如果 $n\in \mathbb {Z}$ 係單數， $n^{2}$ 可以係雙數

佢冇可能成立－假設 $n\in \mathbb {Z}$ 係單數，噉 $n^{2}$ 唔會係雙數。

構造法

構造法嘅用途，係要證明一啲存在性質嘅定理，即係一啲主張某啲嘢存在嘅定理。用呢種證明嗰陣，證明者會諗出一件物件出嚟，呢件物件用數學描述到，證明者然後會列出呢件物件有乜嘢特性，再證明一件噉嘅物件係存在嘅^[10]。佢條思路係噉：

搵到有一個情況，命題 P 成立。
成功證明，喺至少一個情況下，命題 P 成立。

例子，要求證明：

唔係所有單數都係質數，即係

喺至少一個個案入面，有個單數唔係質數。

證明嘅重點，係要搵個唔係質數嘅單數出嚟。

9 係個簡單嘅例子，佢符合單數嘅定義—冇得畀 2 整除，但又唔係質數，因為佢係 1、3 同埋佢自己嘅倍數，有 3 呢個非 1、非自身嘅因數。

即係話搵到有一個情況，命題 P 有個單數唔係質數係成立嘅，噉就證明咗原先嗰句命題。

分類證明

分類證明呢種做法，適用於個案數量有限嘅情況。佢嘅過程係要首先列晒所有個案出嚟，再證明喺每個個案入便，想證明嗰條命題都係成立嘅^[11]。條思路係噉：

想要證明嘅命題 P，P 描述緊某啲數量有限嘅個案。
將命題 P 描述嘅個案，冚唪唥列晒出嚟。
Show 畀人睇，喺任何一個個案中 P 講嘅嘢都成立。

噉就成功證明，P 呢句命題係真確嘅。

例子，要求證明

是但搵一個整數 $n\in \mathbb {Z}$ ， $n^{2}+3n+7$ 都會係單數。

如果 $n$ 係雙數，噉可以有個整數 $k\in \mathbb {Z}$ 符合 $n=2k$ 。

${\begin{aligned}n^{2}+3n+7&=(2k)^{2}+3(2k)+7\\&=4k^{2}+6k+7\\&=2(2k^{2}+3k+3)+1\end{aligned}}$

因此 $n^{2}+3n+7$ 係單數。

如果 $n$ 係單數，噉就有個整數 $k\in \mathbb {Z}$ 符合 $n=2k+1$ 。

${\begin{aligned}n^{2}+3n+7&=(2k+1)^{2}+3(2k+1)+7\\&=4k^{2}+10k+11\\&=2(2k^{2}+5k+5)+1\end{aligned}}$

因此 $n^{2}+3n+7$ 係單數。

由於整數一係單一係雙，而喺呢兩個個案入便， $n^{2}+3n+7$ 都係單數，所以

是但搵一個整數 $n\in \mathbb {Z}$ ， $n^{2}+3n+7$ 都會係單數。

證明成功。

垃雜概念

其他數學證明方面嘅概念一覽：

無字證明：無字證明，又叫無言證明、視覺證明等，係指用圖像呢啲直接用眼睇嘅方法，嚟到嘗試證明一啲數學定理。呢種「證明」方法好多時都會因為條線畫得唔夠直等嘅技術原因而出錯，所以喺正式嘅數學研究上，好少可會有學者接納呢種做法，頂多係用佢嚟協助思考^[12]。
電腦輔助證明：直至廿世紀為止，學界一般都仲係覺得原則上，無論係咩數學證明都好，都有可能由能力夠高嘅數學家嚟確立其有效度^[13]；不過到咗二十一世紀初，數學界多咗用電腦輔助證明，即係用電腦幫手證明一啲定理，尤其係用電腦做一啲長得滯，人手難以做到嘅運算，例如四色定理嘅第一個證明就係由電腦輔助做嘅；現時嘅數學家會用好多方法令到電腦輔助證明更有說服力，好似係重複噉檢查同埋使用多個唔同程式嚟做證明^{[註 9]}呀噉^[13]。
實驗數學：有一啲早期嘅數學家，係唔靠證明嘅；但由生於古希臘嘅幾何學之父歐幾里德開始，數學證明就一路都係數學發展嘅基礎，直到十九至二十世紀都仲係噉^[14]；自從喺一九六零年代起，電腦嘅運算能力就開始變到愈嚟愈強，所以開始有數學家探討，數學嘢可唔可以用證明以外嘅方法研究－形成咗實驗數學呢個領域^[15]。

證明結尾

有陣時，數學研究者寫證明，最尾嗰度會寫住 Q.E.D. 噉嘅羅馬字母縮寫。呢段嘢係嚟自

拉丁文：quod erat demonstrandum

呢段嘅意思，大致係上述就係要展示嘅嘢噉解，諸如法文同德文等都有機會使用 Q.E.D.，而喺中文書寫，則時常會用證明完畢噉嘅字，或者簡稱：

證畢，粵拼：zing3 bat1

到咗廿世紀，證畢符號亦成日會用實心黑色四方形 ■ 嚟表示，呢個符號個名叫墓碑，又或者叫哈摩斯符號^{[註 10]}－噉係因為呢種做法，係由美國數學家保羅哈摩斯推廣開嘅。個四方形有時係空心嘅 □，有啲人習慣證明引理嗰陣用空心方形，證明全個定理嗰時先用實心方形。

仲有另外嘅方法係寫 proven —即係英文證明咗之意—或者意思近似嘅文字^[16]。

睇埋

註釋

↑ 喺正式嘅數學研究上，單靠圖像直觀未必足以構成嚴謹證明，但係可以用嚟協助思路。
↑ 英文：always true
↑ 英文：undecidable
↑ 英文：informal proof
↑ 英文：formal proof
↑ 例：可以睇下語義學講到歧義等嘅問題。
↑ 視乎條命題嘅定義域而定。
↑ 假定：x 係雙數同 x 係單數係互斥嘅，而且只得呢兩個可能性。
↑ 有少少似實證科學上講嘅再現。
↑ 英文：Halmos symbol

引用

↑ Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. "A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained."
↑ Gossett, E. (2009). Discrete Mathematics with Proof. Definition 3.1, p. 86. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-45793-7
1 2 Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
↑ What is Gödel's proof?. Scientific American.
↑ Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R., Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 9780080533186. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."
↑ Bogomolny, Alexander. "Mathematics Is a Language". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2017-05-19.
↑ Cupillari, page 20.
↑ Cupillari, page 46.
↑ Proof by induction 互聯網檔案館嘅歸檔，歸檔日期2017年11月14號，., University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology.
↑ 余紅兵; 嚴鎮軍. 《構造法解題》. 中國科學技術大學出版社. 2009.
↑ Reid, D. A. & Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics Education: Research, Learning, and Teaching. Sense Publishers, p. 133.
↑ Weisstein, Eric W. "Proof without Words". MathWorld.
1 2 The History and Concept of Mathematical Proof, (2007). Steven G. Krantz.
↑ "What to do with the pictures? Two thoughts surfaced: the first was that they were unpublishable in the standard way, there were no theorems only very suggestive pictures. They furnished convincing evidence for many conjectures and lures to further exploration, but theorems were coins of the realm ant the conventions of that day dictated that journals only published theorems", David Mumford, Caroline Series and David Wright, Indra's Pearls, 2002.
↑ "Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of time."A Note on the History of Fractals Archived 2009-02-15 at the Wayback Machine.
↑ Paul R. Halmos, I Want to Be a Mathematician: An Automathography, 1985, p. 403.

參考

歐美嘅相關數學文獻：

Alibert, D., & Thomas, M. (2002). Research on mathematical proof. In Advanced mathematical thinking (pp. 215-230). Springer Netherlands.
Fallis, Don (2002), "What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians", Logique et Analyse, 45: 373–388.
Franklin, J.; Daoud, A. (2011), Proof in Mathematics: An Introduction, Kew Books, ISBN 0-646-54509-4.
Hanna, G., & Jahnke, H. N. (1996). Proof and proving. In International handbook of mathematics education (pp. 877-908). Springer Netherlands.
Hardy, G. H. (1929). Mathematical proof. Mind, 38(149), 1-25.
Pólya, G. (1954), Mathematics and Plausible Reasoning, Princeton University Press.
Solow, D. (2004), How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes, Wiley Publishing, ISBN 0-471-68058-3.
Velleman, D. (2006), How to Prove It: A Structured Approach, Cambridge University Press, ISBN 0-521-67599-5.

[1] 喺正式嘅數學研究上，單靠圖像直觀未必足以構成嚴謹證明，但係可以用嚟協助思路。

[2] 英文：always true

[7] 英文：undecidable

[8] 英文：informal proof

[10] 英文：formal proof

[12] 例：可以睇下語義學講到歧義等嘅問題。

[16] 視乎條命題嘅定義域而定。

[17] 假定：x 係雙數同 x 係單數係互斥嘅，而且只得呢兩個可能性。

[22] 有少少似實證科學上講嘅再現。

[25] 英文：Halmos symbol

[3] Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. "A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained."

[4] Gossett, E. (2009). Discrete Mathematics with Proof. Definition 3.1, p. 86. John Wiley and Sons. ISBN 0-470-45793-7

[nuts-5] 1 2 Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.

[6] What is Gödel's proof?. Scientific American.

[9] Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R., Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 9780080533186. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[11] Bogomolny, Alexander. "Mathematics Is a Language". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2017-05-19.

[13] Cupillari, page 20.

[14] Cupillari, page 46.

[15] Proof by induction 互聯網檔案館嘅歸檔，歸檔日期2017年11月14號，., University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology.

[18] 余紅兵; 嚴鎮軍. 《構造法解題》. 中國科學技術大學出版社. 2009.

[19] Reid, D. A. & Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics Education: Research, Learning, and Teaching. Sense Publishers, p. 133.

[20] Weisstein, Eric W. "Proof without Words". MathWorld.

[hiscon-21] 1 2 The History and Concept of Mathematical Proof, (2007). Steven G. Krantz.

[23] "What to do with the pictures? Two thoughts surfaced: the first was that they were unpublishable in the standard way, there were no theorems only very suggestive pictures. They furnished convincing evidence for many conjectures and lures to further exploration, but theorems were coins of the realm ant the conventions of that day dictated that journals only published theorems", David Mumford, Caroline Series and David Wright, Indra's Pearls, 2002.

[24] "Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of time."A Note on the History of Fractals Archived 2009-02-15 at the Wayback Machine.

[26] Paul R. Halmos, I Want to Be a Mathematician: An Automathography, 1985, p. 403.

[註 1]

[註 2]

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[註 7]

[註 8]

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[註 9]

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[註 10]

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